11.5 第2课时 运用平方差公式分解因式（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

该初中数学导学案聚焦“运用平方差公式分解因式”，通过“知识链接”回顾平方差公式乘法运算，“新知预习”引导反向分解，搭建从旧知到新知的学习支架，明确公式结构及分解步骤。 以问题链驱动探究，通过观察思考抽象公式特征培养数学眼光，例题分层设计结合提公因式法综合运用发展运算能力与推理意识，拓展题联系简便计算和几何面积问题，渗透模型意识与应用意识，助力学生高效掌握因式分解方法。

第2课时 运用平方差公式分解因式 学习目标： 1.学会运用平方差公式进行因式分解．（重点） 2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．（难点） 自主学习 一、知识链接 填一填：（1）（a+5）（a-5）=___________；（2）（4m+3n）（4m-3n）=___________． 二、新知预习 试一试：观察以上计算结果，分解下列因式： （1）a2－25=___________；（2）16m2－9n2=___________． 合作探究 一、探究过程 探究点1：用平方差公式分解因式 思考1：“试一试”中的两个式子，从左到右的变化有什么共同的特点？ 思考2：根据“填一填”、“试一试”中的式子，你能将a2－b2因式分解吗？若能，写出分解因式的结果. 【要点归纳】a2－b2=____________.即两个数的平方差，等于这两个数的_____与这两个数的______的________. 例1下列各式中，能用平方差公式分解因式的有(　　) ①2x2＋y2；②x2－4；③－4x2－y2；④1－a2b2. A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个 【方法总结】能用平方差公式分解因式的多项式具有以下特征：两数是平方，减号在中央． 【针对训练】下列运用平方差公式因式分解正确的是(　　) A．a2＋b2＝(a＋b)(a＋b)　　　　　B．a2－b2＝(a＋b)(a－b) C．－a2＋b2＝(－a＋b)(－a－b) D．－a2－b2＝－(a＋b)(a－b) 例2分解因式： (1)a2－4b2； (2)(m＋n)2－(m－n)2. 【方法总结】因式分解时，出现两个平方相减的形式，应将它们分别转化为两数（或式）整体的平方，再用平方差公式因式分解. 【针对训练】因式分解：(1)a2－b2； (2)(2x＋3y)2－(3x－2y)2. 【易错题醒】因式分解需注意系数的变化，例如T（1）中的b2要改写成（b）2，再进行计算. 例3因式分解：(1)x－xy2； (2)3xy3－3xy. 【针对训练】分解因式： (1)a4－b4； (2)a2－4b2－a－2b. 【方法总结】分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式.注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止． 例4计算：(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4. 【方法总结】较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化. 【针对训练】用简便方法计算：3.6×1.8－2.4×1.2. 例5已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值． 【方法总结】在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值. 【针对训练】已知|a﹣b﹣3|+（a+b﹣2）2＝0，求a2﹣b2的值． 二、课堂小结运用平方差公式分解因式 公式：a2-b2=______________. 步骤：一提：提______； 二套：套______； 三查：检查每一个多项式是否都不能再分解因式. 当堂检测 1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　) A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn C．－x2－9y2 D．－x2＋9 2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（　　） A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3) C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3) 3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（　　） A．-21 B．21 C．-10 D．10 4.把下列各式分解因式： （1）9m2﹣n2＝　 　； （2）x2﹣（y﹣2）2＝　 　； （3）ax3y﹣axy3＝　 　； （4）2m﹣32m5＝　 　． 5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是______. 6.已知4m+n＝40，2m﹣3n＝5．求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值． 7.在边长为a 厘米的正方形木板上开出边长为 b（b）厘米的四个正方形小孔（如图），求剩余部分的面积（用含a，b的代数式表示），并求当a＝14.6，b＝2.7时，剩余部分的面积. 拓展提升 8. (1)993﹣99能被100整除吗？ (2)n为整数，（2n+1）2﹣25能否被4整除？ 参考答案 自主学习 一、知识链接 填一填：a2-25 16m2-9n2 二、新知预习 试一试：（1）（a+5）（a-5） （2）（4m+3n）（4m-3n） 合作探究 一、探究过程 思考1：解：都是从两个数的平方相减，变成两个式子相乘，且两个式子中间的符号相反 思考2：解：能，a2-b2=（a+b）（a－b）. 【要点归纳】（a+b）（a－b） 和 差 积 例1 B 【针对训练】B 例2 解：(1)原式=(a+2b)(a-2b). (2)原式=（m+n-m+n）（m+n+m-n）=4nm. 【针对训练】 解：（1）原式=(a+b)(a-b). （2）原式= (5x＋y)( 5y－x). 例3 解：（1）原式=x（1+y）（1－y）. （2）原式=3xy（y+1）（y－1）. 【针对训练】解：（1）原式=（a²+b²）（a+b）（a-b）. （2）原式=（a+2b）（a-2b-1）. 例4 解：（1）原式=（101+99）（101-99）=400. （2）原式=4（53.5+46.5）（53.5-46.5）=4×100×7=2800. 【针对训练】解：原式=1.82×2－1.22×2=2×（1.82－1.22）=2×（1.8+1.2）（1.8－1.2）=2×3×0.6=3.6. 例5 解：因式分解得x²-y²=（x+y）（x-y）=-2，∵x+y=1，∴x-y =-2．联立 解得 【针对训练】解：∵|a﹣b﹣3|+（a+b﹣2）2＝0，∵，∴a﹣b＝3，a+b＝2，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×3＝6． 二、课堂小结 （a+b）（a－b） 公因式 公式 当堂检测 1.D 2.D 3.A 4.（1）（3m+n）（3m﹣n） （2）（x+y﹣2）（x﹣y+2） （3）axy（x+y）（x﹣y） （4）2m（1+4m2）（1+2m）（1﹣2m） 5.4 6. 解：（m+2n）2﹣（3m﹣n）2＝（m+2n+3m﹣n）（m+2n﹣3m+n）＝（4m+n）（3n﹣2m）＝﹣（4m+n）·（2m﹣3n）.当4m+n＝40，2m﹣3n＝5时，原式＝﹣40×5＝﹣200． 7. 解：根据题意，得剩余部分的面积＝a2﹣4b2.∵a＝14.6，b＝2.7，∴a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝（14.6+2×2.7）（14.6﹣2×2.7）＝184(平方厘米)． 8. 解：（1）能，理由如下：∵993﹣99＝99×（992﹣1）＝99×（99+1）×（99﹣1）＝98×99×100，则993﹣99能被100整除． （2）能.理由如下：∵（2n+1）2﹣25＝（2n+1+5）（2n+1-5）＝4（n+3）(n-2)，n为整数，∴（2n+1）2﹣25能被4整除． 学科网（北京）股份有限公司 $