11.5 第1课时 因式分解及提公因式法分解因式（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

该初中数学导学案聚焦因式分解概念及提公因式法，通过自主学习中“知识链接”回顾整式乘法运算，“新知预习”反向将多项式转化为乘积形式，搭建从整式乘法到因式分解的学习支架，帮助学生建立前后知识联系。 资料以合作探究为主线，通过概念辨析、公因式确定步骤拆解及易错归纳，培养学生抽象能力与推理意识，例习题结合简便运算与几何应用，提升运算能力和应用意识，课堂小结表格与分层检测助力自主学习，符合新课标核心素养要求。

11.5 因式分解 第1课时 因式分解及提公因式法分解因式 学习目标： 1.理解因式分解的意义和概念（重点），因式分解与整式乘法的区别和联系. 2.理解并掌握提公因式法，并能熟练地运用提公因式法分解因式.（难点） 自主学习 一、知识链接 填一填：x（x+1）= ； 3a(a+2)= ； m(a+b+c)= __________. 二、新知预习 想一想：根据上面三个等式，将下列式子写成两个式子相乘的形式： x2+x=（___）（______）； 3a2+6a=（_____）（_______）； ma+mb+mc=（____）（_________）. 合作探究 一、探究过程 探究点1：因式分解 思考1：“想一想”中的三个式子从左到右的变化有什么共同的特点？ 【要点归纳】把一个多项式化成 的形式，叫做多项式的 . 思考2：通过观察“填一填”“想一想”中的式子，你发现因式分解与整式乘法有什么联系？ 例1下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)； ③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【方法总结】判断变形过程是否为因式分解：一看等式右边是否为几个整式的积的形式，二看等式左边是否为多项式． 【针对训练】在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有___________. （填序号） ①24x2y=3x ·8xy； ②am+bm+c=m(a+b)+c； ③x2-1=(x+1)(x-1) ； ④(2x+1)2=4x2+4x+1； ⑤2x+4y+6z=2(x+2y+3z)； ⑥x2+x=x2(1+) . 探究点2：公因式 思考：式子ma+mb+mc中，ma= · ，mb= · ，mc= · ，它们共同的因式为 . 【要点归纳】多项式中的每一项都含有的相同的因式，称之为 . 问题：如何确定一个多项式的公因式？ 找一找：3x 2 - 6 xy的公因式. (1) 多项式3x 2 - 6 xy有____项，分别为__________、_________，它们的系数分别是______、_______，系数的最大公约数是__________，它们含有的共同字母是_________，该字母的指数分别为______、_____. (2) 该多项式的公因式为______________. 【方法总结】正确找出多项式的公因式的步骤： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的_______________. 2.定字母：字母取多项式各项中都含有的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中______的一个，即字母最_____次数. 【针对训练】将下列各多项式的公因式填在横线上. (1) 3x+6y ___________; (2)ab-2ac ___________; (3) a2 - a3 ___________ ; (4 )9m2n-6mn ___________; (5)-6x2y-8xy 2 ___________; (6)4(m+n) 2 +2(m+n) ___________; 探究点3：用提公因式法分解因式 【概念提出】将多项式的 提出来，写成两个因式的 的形式，这种因式分解的方法，叫做 . 例2把下列各式分解因式： (1)8a3b2＋12ab3c； (2)- x2+xy-xz； (3)2a(b＋c)－3(b＋c)； 【方法总结】提公因式法步骤（分两步）第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积. 【针对训练】 1.下列是某同学分解因式的结果，对的画“√”，错的画“×”，并改正. (1) 分解因式 12xy3+18xy2=3xy(4y2 + 6y). ____________， 正解：________________________________； (2) 分解因式3x2 - 6xy+x =x(3x-6y).____________， 正解：________________________________； (3) (a＋b)(a－b)－a+b=(a＋b)(a－b－1)____________， 正解：________________________________. 【易错归纳】 (1)提取公因式后，多项式中各项还含有公因式．(2)提取公因式后，漏掉另一个因式是1的项；(3)找公因式时符号出错. 例3运用提公因式法进行简便运算： （1）2×97+8×97； （2）1.25×77+0.25×77-2.5×77. 例4先因式分解，再求值：m（a-3）-2n（3-a），其中a=1，m=0.6，n=0.2. 【针对训练】 当a，b互为相反数时，代数式a2+ab-2的值为（　　） A．2 B．0 C．-2 D．-1 二、课堂小结 因式分解 公因式 提公因式法分解因式 因式分解与______是互逆运算; 因式分解的右边是两个或多个整式乘积的形式 步骤： 1.定__________; 2.定__________; 3.定__________. 步骤：1:找公因式；2:提公因式 注意事项：1.公因式要提尽；2.不要漏项；3.提负号，要注意变号. 当堂检测 1.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1 C．x2﹣2y2＝（x+2y）（x﹣2y） D．（x﹣1）（x﹣2）﹣2＝x（x﹣3） 2．把多项式（x+2）（x﹣2）+（x﹣2）提取公因式（x﹣2）后，余下的部分是（　　） A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3 3.下列多项式的分解因式，正确的是（　　） A．12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz） B．3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2） C．-x2+xy-xz=-x（x2+y-z） D．a2b+5ab-b=b（a2+5a） 4．因式分解： （1）3xy﹣6y＝　 　； （2）a2b+b﹣2ab2＝　 　； （3）3x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝　 　. 5.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则整式M等于____________. 6.简便计算： (1) 1.99×1.98+1.99×0.02； (2)(-2)101+(-2)100. 7.若ab＝2，2a+b＝6，求多项式-4a3b2-2a2b3的值； 8．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且a+2ab＝c+2bc，判断△ABC的形状． 参考答案 自主学习 一、知识链接 填一填：x²+x 3a²+6a ma+mb+mc 二、新知预习 想一想：x x+1 3a a+2 m a+b+c 合作探究 一、探究过程 探究点1： 思考1：解：三个式子都是从几个式子相加变成几个式子相乘. 【要点归纳】几个整式的积 因式分解 思考2：解：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． 例1 B 【针对训练】③⑤ 探究点2： 思考：m a m b m c m 【要点归纳】公因式 找一找：（1）2 3x 2 - 6 xy 3 -6 3 x 2 1 （2）3x 【方法总结】最大公约数 次数最小 低 【针对训练】（1）3 （2）a （3）a² （4）3mn （5）-2xy （6）2(m+n) 探究点3： 【概念提出】公因式 积 提公因式法 例2 解：（1）原式=4ab²（2a²+3bc）. （2）原式=-x（x-y+z）. （3）原式=（b+c）（2a-3）. 【针对训练】1.（1）× 6xy2(2y+3) （2） × x(3x-6y+1) （3）× （a-b）（a+b-1） 例3 解：（1）原式=（2+8）×97=970.（2）原式=（1.25+0.25-2.5）×77=-77. 例4 解：原式=（m+2n）（a-3）=（0.6+0.2×2）×（1-3）= -2. 【针对训练】C 二、课堂小结 整式乘法 系数 字母 指数 当堂检测 1. D 2.D 3.B 4.（1）3y（x﹣2） （2）b（a2+1﹣2ab） （3）（x﹣2）（3x+1） 5.3a(x－y)2 6.解：（1）原式=3.98. （2）原式=-2100. 7.解：∵ab＝2，2a+b＝6，∴-4a3b2-2a2b3＝-2a2b2（2a+b）＝-2×22×6＝-48． 8.解：∵a+2ab＝c+2bc，∴a﹣c+2ab﹣2bc＝0，即（a﹣c）（2b+1）＝0．∵a，b，c是△ABC的边长，∴b＞0，∴2b+1≠0，∴a﹣c＝0，∴a＝c，即△ABC是等腰三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $