11.3.2 两数和（差）的平方（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

该初中数学导学案聚焦“两数和（差）的平方”，引导学生理解完全平方公式的推导、结构特点及几何解释，掌握公式应用。通过知识链接（乘方计算、多项式乘法法则）和新知预习（多项式乘法推导公式），搭建新旧知识桥梁，形成学习支架。 资料特色显著，借助图形面积两种表示推导公式，培养几何直观与抽象能力，体现用数学眼光观察现实世界。公式变形应用（如x²+y²=(x-y)²+2xy）发展推理意识，分层例题与检测题提升应用意识，结构设计便于自主学习和教师评估。

2.两数和（差）的平方 学习目标： 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释.（重点） 2.灵活运用完全平方公式进行计算.（难点） 自主学习 一、知识链接 1.计算：(1)22＝___________；(2)（-3）2＝___________． 2.多项式乘以多项式的法则： . 二、新知预习 试一试 根据多项式乘以多项式的法则及乘方的定义填空： （1） （p+1)2=(p+1)(p+1)=___________；（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)=___________； （3） （p-1)2=( )( )=___________；（4） （m-2)2=( )( )=___________．2 合作探究 一、探究过程 探究点1：两数和（差）的平方公式（也称完全平方公式） 问题1 观察下面两个图形，你能用不同的方式表示图1的面积及图2中Ⅲ的面积吗？ 用两种方法求图1的面积：S＝(_________)2，S＝(_________)2＋_________＋(_________)2. 用两种方法求图2中Ⅲ的面积： SⅢ＝(_________)2，SⅢ＝(_________)2－_________＋(_________)2. 问题2 根据上面的规律，你能直接写出下列式子的答案吗？ （a+b)2= ___________ ； （a-b)2=___________. 【要点归纳】完全平方公式：(a＋b)2＝( )2＋_____＋(_____)2，(a－b)2＝(_____)2－_____＋(_____)2.即两数和（或差）的平方，等于这两数的_______，加上（或减去）它们的积的________. 例1计算： (1)(2a＋b)2； (2)(－a－b)2； (3)(5＋3p)2； (4)(2x－7y)2． 【方法总结】直接运用完全平方公式进行计算，关键是掌握完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 【针对训练】利用完全平方公式计算： (1) (5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2； （4）（a+2b﹣1）2.（提示：把其中两项看成一个整体） 探究点2：两数和（差）的平方公式的应用 例2利用乘法公式计算： (1)2012； (2)982－101×99. 【针对训练】利用乘法公式计算：20262－2026×4050＋20252. 【方法总结】运用乘法公式进行简便运算，要熟记乘法公式（平方差公式和完全平方公式）的特征，将原式转化为能利用乘法公式运算的形式后，再进行计算． 例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求: (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值. 【方法总结】运用完全平方公式的变形：x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy，(x－y)2＝(x+y)2－4xy快速解题. 二、课堂小结 完全平方公式 公式 结构特征 常用变形 (a+b)2=_________; (a-b)2=_________. (1) 公式左边都是二项式的平方，右边是一个二次三项式； (2)公式右边第一、三项分别是左边二项式中两项的平方和，中间一项是左边两项乘积的2倍． a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2. 当堂检测 1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（　　） A．a2-4a+4 B．a2-2a+4 C．a2-4 D．a2-4a-4 2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是( ) A．(a－b)2 B．(－a－b)2 C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2 3.运用完全平方公式计算: (1)(x＋6)2=_______________；(2) (6a+5b)2=_______________； (3) (4x-3y)2=_______________；(4)(-2m-1)2 =_______________. 4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.321 2＋8.642×0.679＋0.6792＝________． 5.计算： （1）（﹣m﹣4n）2； （2）（x﹣2y+1）2． 6.已知a+b＝5，ab＝﹣6，求下列各式的值． （1）a2+b2； （2）（a﹣b）2． 7.已知x+y＝12，x﹣y＝4，不解出x，y的值，求x y的值． 参考答案 自主学习 一、知识链接 1.（1）4 （2）9 2.多项式与多项式相乘，将一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 二、新知预习 试一试 （1）p2＋2p+11 （2）m2＋4m+4 （3）p-1 p-1 p2－2p+11 （4）m-2 m-2 m2－4m+4 合作探究 一、探究过程 探究点1： 问题1 a+b a 2ab b a-b a 2ab b 问题2 a2+2ab+b2 a2－2ab+b2 【要点归纳】 a 2ab b a 2ab b 平方和 2倍 例1 解：（1）原式=4a2+4ab＋b2． （2）原式=a2+2ab＋b2． （3）原式=25+30p＋9p2． （4）原式=4x2－28xy＋49y2． 【针对训练】解：（1）原式=25-10a+a2． （2）原式=9m2+24mn+16n2． （3）原式=9a2-6ab+b2． （4）原式=（a+2b）2-2（a+2b）+1=a2+4ab+4b2-2a-4b+1． 探究点2： 例2 解：（1）2012=（200+1）2=2002+2×200×1+12=40401. （2）原式=（100-2）2－（100+1）（100-1）=100²-400+4-100²+1=-395. 【针对训练】解：原式=（2022-2021）²=1. 例3 解：（1）∵x-y=6，xy=-8，∴x2+y2=（x-y）2+2xy=36-16=20. （2）（x+y）2=x2+y2+2xy=20+2×（-8）=4． 二、课堂小结 a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 当堂检测 1.A 2.D 3.（1）x2+12x＋36 （2）36a2+60ab＋25b2 （3）16x2-24xy＋9y2 （4）4m2+4m＋1 4.25 5.解：（1）原式＝m2+8mn+16n2．（2）原式＝（x﹣2y）2+2（x﹣2y）+1＝x2﹣4xy+4y2+2x﹣4y+1． 6.解：（1）∵a+b＝5，ab＝﹣6，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×（﹣6）＝37. （2）∵a+b＝5，ab＝﹣6，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×（﹣6）＝49． 7.解：把已知两式平方，得（x+y）2＝x2+y2+2xy＝144①，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝16②， ①﹣②，得4xy＝128，即xy＝32． 学科网（北京）股份有限公司 $