章末综合测评(2)一元二次函数、方程和不等式-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册分层作业（人教A版）

0]0]0□0□0□ 1D1口1D1□1口 学号后5 2222□2 执一纹教了 题卡信息 年级： 33333 44☐4☐44 班级： 5☐55☐5☐5 6]6]6☐6]6 姓名： 7刀7刀7刀7刀7□ 装 878878☐8□ 99999 章末综合测评（二） 一元二次函数、 方程和不等式 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.不等式-3x2+5x-4>0的解集为 ( ) [A]{x|x≤-3或x≥2} [B]{x|x≤-3或x≥1} [c]{x|-3≤x≤1或x≥2} [D] 2.若A=一x2+2x,B=6x+4,则A与B的关系是 [A]A≤B [B]B≤A [c]B=A [D]与x的值有关 3.已知x>2,则x十 2的最小值为 4 [A]6 [B]5 [c]4 [D]3 4.已知a>b,且ab≠0，c∈R,则下列不等式中一定成立的是() [A]a2>b2 [B11<1 rea≥a而 a、 b 2 [2+1e2+1 5.已知不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-1或x>3},则下 列结论正确的是 () [A]a>0 [B]c<0 []a十b+c<0 [D]cx2-bx十a<0的解集为x 6.已知命题“3x∈R,使(m-2)x2+(m-2)x十1≤0”是假命题，则实 数m的取值范围为 [A]m>6 [B]2<m<6 [0]2m<6 [D]m2 7.若两个正实数xy满足4红十y=2zy,且不等式x十￥<m2-m 有解，则实数m的取值范围是 () [A]-1<m<2 [B]m<-2或m>1 [o]-2<m<1 [D]m<-1或m>2 8.小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购 买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不 同，则 () [A]小齐两次购买葡萄的平均价格比小港低 [B]小港两次购买葡萄的平均价格比小齐低 [c]小齐与小港两次购买葡萄的平均价格一样 [D]小齐与小港两次购买葡萄的平均价格无法比较 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分 分，有选错的得0分. 9.已知2<x<3,2<y<3,则 [A]6<2x+y<9 [B]2<2x-y<3 [c]-1<x-y<1 [D]4<xy<9 10.如图，二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象与x x=1 轴交于A,B两点，与y轴交于C点，且对称轴为 x=1,点B的坐标为（一1,0），则下面结论中正确 的是 [A]2a+b=0 [B]8a+c<0 [c]b2-4ac>0 [D]当y<0时，x<-1或x>4 11.Hx∈R,关于x的不等式x2一ax十a>0恒成立的一个必要不充 分条件是 () [A]0<a<4 [B]a>-1 1 [c]0<a<2 [D]a≤10 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.当a<-1时，不等式(a-x)(x+1)>0的解集为 13.(教材P49习题2.2T7改编)一家商店使用一架两臂不等长的天 平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝 码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡； 再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘 中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.则顾客购得的 黄金 10g(填“大于”“小于”或“等于”) □ 14.若实数x>0,y>0,且满足x十y=8-xy.则xy的最大值 为 ;☐x十y的最小值为 □ 3 ■ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 11 9876543210+0.5 15.(本小题满分13分)已知正数a,b满足a+2b=ab (1)求ab的最小值； (2)求a十b的最小值； （③)求22+6兰的最小值， 1 9876543210+0.5 16.(本小题满分15分)已知函数y=(m十1)x2-mx+1. (1)当m=5时，求不等式y>0的解集； (2)若不等式y>0的解集为R,求实数m的取值范围， 校本单元评估 9876543210+0.5 17.(本小题满分15分)当a>0时，求关于x的不等式ax2-3x+2 >ax-1的解集. 校本单元评估 ■ 1 9876543210+0.5 18.(本小题满分17分)【教材原题·P55习题2.3T6】如图，据气象部 门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心 正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内 的地区都将受到影响.据以上预报估计，从现在起多长时间后，该 码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到 0.1h)? 码头 45 热带风暴中心 4 ■ 1 9876543210+0.5 19.(本小题满分17分)已知实数a,b,c满足a>b>c. 、1+1>0 (1)求证：a一-b+6-。c-a (2)将上述不等式加以推广，把。。的分子1改为另一个大于1 的自然最，使得。。十产。>0对作室的a6员成 立，求卫的值； (3)继缕推广，自然数m,m,户满足什么条件时，不等式。”b十 n十p>0对任意a,b,c恒成立？ b-c'c-a2a-1<a+1, 1 当B≠0时，则有{2a一1≥0， 解得 2≤a<2, a+14, 菇上所选，实量a的取值范调为@≥号》 18.解：(1)△ABC为锐角三角形的充要条件是：任意两边的平 方和大于第三边的平方， △ABC为钝角三角形的充要条件是：存在一条边的平方大 于另两边的平方和」 (2),am+b=c"(n∈N,n>2),.c为△ABC的最大边， .0<a<c,0<b<c. a”=a2·a-2<a2·ca-2,b"=b2.b"-2<b2·c4-2. .c"=a"+b"<a2·c"-2+b2.c"-2=(a2+b2)c-2, ∴.c2<a2十b2,故△ABC为锐角三角形. 综上，当a"十b”=c"(n∈N,n>2)时，三角形一定是锐角三 角形 19.解：(1)根据题意，由A={一1,1}， 则A+={一2,0,2}，A-={0,2}. (2)证明：由于集合A={x1x2,x3,x4},x1<x2<x3<x4, 且A=A, 所以A中也只包含四个元素， 即A={0,x2-x1,xg一x1x4-x1}, 剩下的x3一x2=x4一x3=x2一工1， 所以x1十x4=x2十x3 章末综合测评（二） 答案速对 12:34:5678910:11 DA A DD C D BACDABC BD 12.{x|a<x<-1}13.大于14.44 试题精析 1.D[不等式一3x2+5x-4>0可化为3x2-5x+4<0,△= (-5)2-4X3×4=-23<0,所以3x2-5.x十4<0的解集为 空集，故选D.] 2.A[因为A-B=-x2+2x-(6.x+4)=-x2-4x-4= 一(x2十4x十4)=一(x十2)2≤0，所以A≤B.故选A.] 3.A[由x>2,知x一2>0， 所以x十4」 4 -2x-2+-2+2224+2=6, 4 当且仅当x一2=2—2时，即x=4时，等号成立， 所以z+2的最小值为6故递A] 4.D[当a=1,6=-2时，1>-2，而1<(-2)2=4,1> 一2，而√a6无意义，故ABC错误； b 因为c2+1>0,所以中>+D正确] 5.D[因为不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<一1或x >3}, 所以一1和3是方程ax2十bx十c=0的根，且a<0,选项A 错误； 154 由根与系数的关系得 1+3=0解得6=-2a,c= -1X3=c a, 一3a>0,选项B错误； 所以a十b十c=a-2a-3a=-4a>0,选项C错误； 不等式cx2-bx十a<0可化为-3a.x2+2a.x十a<0, 即3x2-2x-1<0, 解得-弓<x<1,所以不等式的解条为✉-号<x<1, 1 选项D正确，故选D.] 6.C[由题意可知Hx∈R,(m-2)x2+(m-2)x十1>0恒 成立. ①当m-2=0,即m=2时，1>0恒成立； ②当m-2≠0时，m-2)2-4(m-2)<0, m-2>0, 解得2<m<6.综上，2≤m<6.故选C.] 7.D[因为正实数xy满足4红十y=2,所以4+上=2， y x 所以x+子-号（华+儿+学）=合(e++)≥ (+停×君)-， 1 即1'时等号成立。 y=4 因为不等式x十子<加2一m有解， 所以只(+学)<m-n:申对-0>2年可 所以m<-1或m>2.故选D.] 8.B[设两次葡萄的单价分别为a元/千克和b元/千克， 且a≠b, 则小齐两次均购买3千克葡萄，平均价格为3（十b)_a十b 6 2 元/千克， 小港两次均购买50元葡萄， 年均价格为0西华无/十克 a 因为a十b-2ab-_a十b2-4ab_(a-b)2 2a+62a+6)=2a+6>0, 所以小港两次购买葡萄的平均价格比小齐低.故选B.] 9.ACD[2<x<3,2<y<3, .4<xy<9..4<2x<6,6<2x+y<9, .-3<-y<-2,-1<x-y<1,1<2x-y<4. 故选ACD.] 10.ABC[因为二次函数y=ax2十bx+c(a≠0)的图象的对称 轴为x=1, 所以工=品=1，得2a+6=0,故A正确， b 当x=一2时，y=4a一2b+c<0,把A选项代入得8a+c< 0,故B正确； 该函数图象与x轴有两个交点，则△=b2-4ac>0,故C 正确； 因为二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的图象的对称轴为 x=1,点B的坐标为（一1,0）， 所以点A的坐标为(3,0)，所以当y<0时，x<-1或x> 3,故D错误.故选ABC.] 11.BD[Vx∈R,关于x的不等式x2一ax+a>0恒成立， 则△=(-a)2-4a<0,得0<a<4. 对于A,是充要条件，所以A错误； 对于B,因为当0<a<4时，a>一1一定成立，而由a>一1 推不出0<a<4,所以a>-1是关于x的不等式x2-ax十 a>0恒成立的一个必要不充分条件，所以B正确； 对于C,因为当0<a<分时，0<a<4成立，丙由0<a<4 推不出0a<行，所以0<a<号是关于x的不等式2 ax十a>0恒成立的一个充分不必要条件，所以C错误； 对于D,因为当0<a<4时，a≤10一定成立，而a≤10推不 出0<a<4,所以a≤10是关于x的不等式x2-a.x十a>0 恒成立的一个必要不充分条件，所以D正确，故选BD.] 12.{x|a<x<-1}[依题意，a<-1,且函数y=(a-x)(x 十1)的图象开口向下，两个零点为a和一1，所以不等式的 解集为{xla<x<一1}.] 13.大于[由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a,右臂长 为b,则a≠b, 再设先称得的黄金为xg,后称得的黄金为yg,则bx=5a, ay=5b, 56 +y+2-(后+)≥5×2-10 当且仅当号-名，申a-6时等号成立，但a≠6，等号不成 立，即x+y>10 因此，顾客购得的黄金大于10g.门 14.44[.x>0,y>0,∴.8-xy=x+y≥2√xy, 即（√xy十4）（√xy-2)≤0，解得0<xy≤4， 当且仅当x=y=2时，等号成立， …xy的最大值为4. 又8+0=（生）八 ∴[(x+y)+8][(x+y)-4]≥0， ∴.x十y≥4，当且仅当x=y=2时，等号成立. 即x+y的最小值为4.] 15.解：(1)因为a>0,b>0且a+2b=ab, 则ab=a十2b≥22√ab,即√ab≥2√2，ab≥8. 当且仅当a=2b且a十2b=ab,即a=4,b=2时等号成立， 所以ab的最小值为8. (2)因为a>0,b>0,且a+2b=ab 则子+-1，可得 \a .6 ab=a+b1(+）-=2+1++≥3+2 =3+2√2， 当且权当0-号，即a=万6， a 即a=2十√2，b=√2+1时等号成立， 所以a十b的最小值为3+2√2】 (3)因为a>0,b>0,且a+2b=ab 所以(a-2)(b一1)=2，可得 2a 8b2(a-2)+4,8(b-1)+8 a-2b-1a-2 b-1 =10+。2+8≥10+226=18 /4 8 当且仅当。2=即a=6=3时学号成主， 8 所以2三+曾的泵小维为18 16.解：(1)当m=5时，得y=6x2-5x十1， 由y>0,得6x2-5x+1>0,即(3x-1)(2x-1)>0, 解得<行或>分 1 故不学式>0的解案为{✉小<行成>} (2)由题意得，(m十1)x2-mx十1>0的解集为R, 当m=一1时，不等式可化为x十1>0，解得x>一1， 即(m+1)x2一mx+1>0的解集为{x|x>一1}，不符合题 意，舍去； 当m≠-1时，y=(m十1)x2-mx十1的图象开口向上，且 与x轴没有交，点时，(m十1)x2一mx十1>0的解集为R, 所以m+1>0, △=m2-4(m+1)<0, 解得m>-1, (2-22<m<2+2√2 即2-2√2<m<2十2√2， 综上，得2-2√2<m<2十2√2 故实数m的取值范固为{m2一2√2<m<2+2√2}. 17.解：ax2-3x+2>ax-1→ax2-(a十3)x+3>0→(ax-3)· (x-1)>0,当a>0时， 方程ax2-3z十2=ax-1的两个根分别为子1 当a=3时，两根相等，故不等式的解集为{xx≠1}； 当a>3时，<1，不等我的解集为<日成x>: a 当0a<3时，>1，不等式的解集为☑<1，或x> } 综上，当a>3时，不等式的解集为zx<3,或x>1: 当a=3时，不等式的解集为{x|x≠1}； 当0Ca<3时，不等式的解集为{xx<1,或x>3》 18.解：如图所示： 设风暴中心最初在A处，经th后到 达B处，向x轴作垂线，垂足为C, 若在点B处受到风暴的影响，则OB =450,OC=600c0s45°=300W2,AC =600sin45°=300W2,AB=20t, 因为OC2+BC2=OB2, 所以(300√2)2+(300√2-20t)2=4502, 即4t2-120√2t+1575=0, 由求根公式得=15(25-1D≈13.7或1=15(2万+1D 2 2 又15(2E+1D_15(22-D=15, 2 2 所以从现在起大约13.7h后，该码头将受到热带风暴的影 响，影响时间大约为15h. 19.解：(1)证明：因为a>b>c, 所以a-b>0,b-c>0,a-c>0, 所以(6+)a-e)=(+)[a-6)+6 -c)] 1551 =2+6+8+288=4. 当且仅当9二b=二5，即a-6=6-c,即4十c=26时等号 b-c a-b 成立， 所以 ,1≥4>1 a-bb-c-a-ca-c 所以1 1+1>0. a-b b-c c-a (.6++。>0成可度为<( 6二）·[a-6)+6-e)]恒成立， 由D知(26+6己2)北a-0+0-c]的最小值为4， 所以p<4. 又p>1,且p∈N,所以p=2或3. @美2，不等支十产。十”。>0成立 即p<(2%6+)[a-0)+6-e]恒成主， (26+”)[a-)+6-6门 =m十n+m6二e+na2≥m+n+2Vm， a-b b-c 当且仅当m(6-c2=n(a-b) a-bb-c’ 即√m(b-c)=√n(a-b)时等号成立， 所以p<m十n+2√mn,即p<(√m十√m)2, 即√p<√m+√m. 所以当自然教m,,p满足万<√m十反时，不等式，"b 章未综合测评（三） 答案速对 1234:5678 910:11 C A D A D B DD BCABD AC 12.-213.（0,3」 2 14.①②④ 试题精析 1.C[由题意得任-0解得≥1且工≠2，故定义战为[1， x一2≠0， 2)U(2,十∞).故选C.] 2.A[函数f(x)=-x2-kx十3在(-∞，-3]上单调递增， 一k k 故一2X(一D一2≥-3，解得6≤6， 因为{kk<6}是{k|≤6}的真子集， 所以“k<6”是“函数f(x)=一x2-kx十3在(-∞，一3]上 单调递增”的充分不必要条件.故选A.] 3.D[y=x,y=x2,y=x3在区间(0，十∞)上单调递增，y= x1在区间(0，十∞)上单调递减. 故选D.] 1156 a 0t<3, 31,0<t<3, 4.A[由题意可得v=0,3≤t≤5， 且s=a,3≤t≤5， 05<≤15， 号+05≤1， 由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②： 故选A.] 5.D[若a≤0，则2a2+1=9,解得a=-2或a=2(舍去)， 若a>0,则一3a十6=9，解得a=-1(舍去)，综上，a=-2. 故选D.] 6.B[因为f(x2-1)=x+1=[(x2-1)+1]2+1,且x2-1 ≥-1，所以f(x)=(x十1)2+1=x2+2x十2，x≥-1.故 选B.] 7.D[对于A,函数f(x)的定义域为R,函数g(x)的定义域 为0，十∞)， 故函数f(x)=√x,g(x)=(W元)4不是同一个函数； 对于B,函数f(x)的定义域为R,函数g(x)的定义域为{x x≠0}， 故函数f(x)=1,g(x)=x°不是同一个函数； 对于C,函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，函数g(x)的定义 域为R, 故函数f(x)=子，gx)=x不是同-个函数； 对于D,两函数的定义域都是R, 又f(x)=/x,x≥0 (-x,x<0 即f(x)=x|, 所以西载fx)-仁心080=表示同-个画能.花 选D.] 8.D[法一：由题意知f(x)在（一∞，0），(0，十∞)单调递减 且f(一2)=f(2)=f(0)=0.当x>0时，令f(x一1)≥0，得 0≤x-1≤2，.1≤x≤3；当x<0时，令f(x-1)≤0，得一2 x-10,.-1x≤1，又x<0,.一1≤x<0;当x=0 时，显然符合题意.综上，原不等式的解集为[一1,0]U[1,3], 故选D. 法二：当x=3时，f(3一1)=0，符合题意，排除B；当x=4 时，f(4-1)=f(3)<0,此时不符合题意，排除选项A,C.故 选D.] BC[对于A,g)二，定义拔为zz≠I,了z)的定 义域为，定义域不同，不是同一个函数，该选项不满足题意； 对于B,g(x)=x+1=x十1，定义域为R,定义域和对应 关系均相同，为同一个函数，该选项满足题意； 对于C,g(x)=(元)3十1=x十1，定义域为R,定义域和对 应关系均相同，为同一个函数，该选项满足题意； 对于D,g(x)=√x+1=|x|十1，定义域相同，但对应关系 不同，不是同一个函数，该选项不满足题意.故选BC.] 10.ABD [F(x)=min(f(2),g())= |x2,-1≤x≤1， F(x)的图象如图所示， 2-x2,x<-1或x>1, 0 -2 由图象知，F(x)是偶函数，选项A正确；