章末综合测评(1)集合与常用逻辑用语-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册分层作业（人教A版）

0]0]0□00□ 1D1口1D1□1口 年级： 22222 执一纹教了 题卡信息 学号后5 33333 班级： 44口4☐44 5☐55☐5☐5 姓名： 66]6☐6]6 7刀7刀7刀7刀7□ 878☐878☐8□ 9☐99☐9☐9■ 章末综合测评（一） 集合与常用逻辑用语 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.下列关系式正确的是 [A]√5∈Q [B]-1∈N [c]ZCN [D]QCR 2.已知集合U={-1,0,1,2,3},A={x|-1<x<3,x∈N},则CA= [A]{-1,3}[B]{1,2} [c]{-1,0,3}[D]{0,1,2} 3.若A={a2,a十1,0}，B={2a,1},满足AUB=A,则a=( [A]0 [B]士1 [c]1 [D]-1 4.下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是 ) [A]菱形的四条边都相等 [B]3x∈N,使2x为偶数 [c]Vx∈R,x2+2x+1>0 [D]π是无理数 的 5.三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的 ( [A]充分不必要条件 [B]必要不充分条件 [c]充要条件 [D]既不充分也不必要条件 6.已知a,b∈R,则“a2=b2”是“a2十b2=2ab”的 ( ) [A]充分不必要条件 [B]必要不充分条件 [c]充要条件 [D]既不充分也不必要条件 7.命题p:对所有的2<x<3,3x一a<0恒成立.若命题p是真命 题，则a的取值范围为 () [A]a>9 [B]a≥9 [c]a>6 [D]a≥6 8.已知集合A={xax十2≤0，a>0},B={xlx≤-3，或x>1},且 x∈A是x∈B的充分条件，则a的最大值为 () 1 [B]3 LD3 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分 分，有选错的得0分 9.已知全集U,则图中阴影部分表示的集合为 [A]A∩(CB) [B]B∩(CA) [c]CA(A∩B) [D]A∩(AUB) 10.下列命题中，正确的是 ( ]“a<h<0”是“。>”的充分不必要条件 []“-2≤λ≤3”是“一1≤λ≤3”的必要不充分条件 [c]“x2≠y2”是“x≠y”的充要条件 [D]“x∈(AUB)∩C”是“x∈(A∩B)UC”的必要不充分条件 11.设集合A={x|x=m十√3n,m,n∈N},若x1∈A,x2∈A, x⊕x2∈A,则运算①可能是 () [A]加法[B]减法 [c]乘法 [D]除法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.命题p:3x≥0，x2-x<1的否定为 ▣ 13.定义集合运算：AB={xx∈A且x庄B},若集合A={1,3,4,6}, B={2,4,5,6},则集合A￥B的子集个数为 □ 14.学校举办运动会时，高一(1)班共有28名同学参加比赛，有15人 参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同 时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类 比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳一项比 赛的有 人，☐只参加田径一项比赛的有 人.■ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。 [ 9876543210+0.5 15.(本小题满分13分)如果集合A={x|ax2十ax+1=0}至多有一 个元素，求实数a的取值范围. 1 ■ 1 9876543210+0.5 16.(本小题满分15分)已知集合A={x|-1≤x<4},B={x|x-a <0}. (1)当a=2时，求A∩B; (2)若AUB=B,求实数a的取值范围. 校本单元评估 ■ 1 9876543210+0.5 17.(本小题满分15分)已知命题p:关于x的方程x2+4x+m=0 (m>0)有两个不相等的实数根. (1)若p是真命题，求实数m的取值集合A; (2)在(1)的条件下，集合B={m2a-1<m<a+1},若“x∈A” 是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围. 校本单元评估 ■ 1 9876543210+0.5 18.(本小题满分17分)（教材P23习题1.4T6改编）在△ABC中，a, b,c为三角形的三边. (1)我们知道，△ABC为直角三角形的充要条件是存在一条边的 平方等于另两边的平方和.类似地，试用三边的关系分别给出 △ABC为锐角三角形的充要条件以及△ABC为钝角三角形的 充要条件；（不需证明） (2)由(1)知，若a2+b2=c2,则△ABC为直角三角形.试探究当 三边a,b,c满足a”+b”=c"(n∈N,n>2)时三角形的形状，并加 以证明. 2 ■ 1 9876543210+0.5 19.(本小题满分17分)已知集合A为非空数集，定义A+={x|x= a十b,a,b∈A},A-={x|x=|a-b|,a,b∈A}. (1)若集合A={-1,1},直接写出集合A+及A; (2)若集合A={x1,x2,x3,x4},x1<x2<x3<x4,且A=A,求 证：x1十x4=x2十x3: ■章末综合测评彡 章末综合测评（一） 答案速对 1234567891011 D A C A C BB A AC AB AC 12.Vx≥0，x2-x≥113.414.92 试题精析 1.D[对于A,√3是无理数，故A错误；对于B,一1不是自然 数，故B错误；对于C,整数不都是自然数，如一1是整数但不 是自然数，故C错误；对于D,有理数都属于实数，故D正确， 故选D.] 2.A[因为A={x|-1<x<3,x∈N}={0,1,2},U={-1,0, 1,2,3},所以CA={一1,3}.故选A.] 3.C[由集合A={a2,a十1,0}，得a2≠0，且a十1≠0，则a≠0 且a≠一1，由AUB=A,得B二A,又a+1≠1且2a≠0，因 此a,十1=2a'所以a=1,故选C.] a2=1, 4.A[对于A,所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且 是真命题. 对于B,]x∈N,使2x为偶数，是存在量词命题 对于C,Hx∈R,x2十2x十1>0，是全称量词命题，当x=-1 时，x2十2x十1=0，故是假命题 对于D,π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题 故选A.] 5.C[当三角形两边上的高相等时，由三角形面积公式可得这 两边也相等，所以这个三角形为等腰三角形， 当三角形为等腰三角形时，同样由三角形的面积公式可知， 两腰上的高相等， 所以三角形两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的 充要条件，故选C.] 6.B[法一：若a2=b2,则当a=一b≠0时，有a2十b2=2a2, 2ab=-2a2,即a2+b2≠2ab,所以由a2=b2力a2+b2=2ab; 若a2+b2=2ab,则有a2+b2-2ab=0,即(a-b)2=0,所以 a=b,则有a2=b2,即a2+b2=2ab→a2=b2.所以“a2=b2” 是“a2十b2=2ab”的必要不充分条件.故选B. 法二：因为“a2=b2”曰“a=一b或a=b”,“a2+b2=2ab”曰 “a=b”,所以本题可以转化为判断“a=一b或a=b”与“a b”的关系，又“a=一b或a=b”是“a=b”的必要不充分条件 所以“a2=b2”是“a2十b2=2ab”的必要不充分条件.故选B.] 7.B[因为2<x<3,所以6<3x<9.又a>3x,所以a≥9.] 8.A[根据题意，若x∈A是x∈B的充分条件，则A二B,而 A=x1az+2<0,a>0={z≤-2}则有-名≤-3， a 解得a≤号，即a的录大位为子故这A] 9.AC[依题意，图中阴影部分在集合A中，不在集合B中，因 此该阴影部分表示的集合为A∩(C,B)或CA(A∩B),AC正 确，BD错误.故选AC.] 参考答案与精析 10.AB[对于A,由a<6<0可以兼出日>行反之不可以， 故A正确；对于B,由一2≤入≤3推不出一1≤λ≤3，反之可 以，故B正确；对于C,由x2卡y2可以推出x≠y,反之不可 以，故C错误；对于D,由题意知(AUB)∩C是(A∩B)UC 的子集，所以x∈(AUB)∩C可以推出x∈(A∩B)UC, 反之不可以，故D错误.故选AB.] 11.AC[由题意可设x1=m1十√3n1,x2=m2十√3n2, 其中m1,m2,n1,n2∈N, 则x1十x2=(m1+m2)十√3(n1十n2),x1十x2∈A, 所以加法满足条件，A正确； x1-x2=(m1-m2)十V3(n1-n2), 当n1=n2时，x1一x2年A, 所以减法不满足条件，B错误； x1x2=m1m2十3n1n2十V3(m1n2+m2n1),x1x2∈A, 所以乘法满足条件，C正确； 飞1_m1十V3n1 x2m2十√3n2 当m=%=入A>0)时，年A, m2 n2 所以除法不满足条件，D错误.故选AC.] 12.Hx≥0，x2一x≥1[根据存在量词命题的否定为全称量词 命题知，命题p:了x≥0，x2一x<1的否定为Vx≥0，x2-x ≥1.] 13.4[集合A={1,3,4,6},B={2,4,5,6},由A*B的定义 可得，A*B={1,3},所以子集有0，{1}，{3}，{1,3}，共 4个.] 14.92[如图所示： 设U={参加比赛的学生}，A={参加 游泳比赛的学生}，B={参加田径比 A 游泳 田径 赛的学生}，C={参加球类比赛的学 生}，依题意，U=AUBUC,n(U)= 28,n(A)=15,n(B)=8,n(C)=14, 球类 n(A∩B)=3,n(A∩C)=3,n(A∩B ∩C)=0,由容斥原理得28=15+8+14-3-3-n(B∩C), 解得n(B∩C)=3,所以只参加游泳比赛的人数为n(A)一 n(A∩B)-n(A∩C)=15-3-3=9,只参加田径比赛的人 数为n(B)-n(A∩B)-n(B∩C)=8-3-3=2.] 15.解：若a=0,此时A=0,特合题意； 若a≠0，要使集合至多有一个元素，则△=a2一4a≤0，由二 次函数y=a2一4a的图象（图略）知，0<a≤4，综上，实数a 的取值范围为{a|0≤a≤4}， 16.解：(1)当a=2时，A={x|-1≤x<4},B={xlx<2}, 所以A∩B={x|一1≤x<2}. (2)因为AUB=B,所以A二B, 所以a≥4，所以实数a的取值范围为{a|a≥4}. 17.解：1)若力是真命题，则A二16-4m>0, m>0, 解得0<m<4,则A={m|0<m<4). (2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B三A, 当B=⑦时，由2a一1≥a十1，解得a≥2，此时B二A,符合 题意； 1531 2a-1<a+1, 1 当B≠0时，则有{2a一1≥0， 解得 2≤a<2, a+14, 菇上所选，实量a的取值范调为@≥号》 18.解：(1)△ABC为锐角三角形的充要条件是：任意两边的平 方和大于第三边的平方， △ABC为钝角三角形的充要条件是：存在一条边的平方大 于另两边的平方和」 (2),am+b=c"(n∈N,n>2),.c为△ABC的最大边， .0<a<c,0<b<c. a”=a2·a-2<a2·ca-2,b"=b2.b"-2<b2·c4-2. .c"=a"+b"<a2·c"-2+b2.c"-2=(a2+b2)c-2, ∴.c2<a2十b2,故△ABC为锐角三角形. 综上，当a"十b”=c"(n∈N,n>2)时，三角形一定是锐角三 角形 19.解：(1)根据题意，由A={一1,1}， 则A+={一2,0,2}，A-={0,2}. (2)证明：由于集合A={x1x2,x3,x4},x1<x2<x3<x4, 且A=A, 所以A中也只包含四个元素， 即A={0,x2-x1,xg一x1x4-x1}, 剩下的x3一x2=x4一x3=x2一工1， 所以x1十x4=x2十x3 章末综合测评（二） 答案速对 12:34:5678910:11 DA A DD C D BACDABC BD 12.{x|a<x<-1}13.大于14.44 试题精析 1.D[不等式一3x2+5x-4>0可化为3x2-5x+4<0,△= (-5)2-4X3×4=-23<0,所以3x2-5.x十4<0的解集为 空集，故选D.] 2.A[因为A-B=-x2+2x-(6.x+4)=-x2-4x-4= 一(x2十4x十4)=一(x十2)2≤0，所以A≤B.故选A.] 3.A[由x>2,知x一2>0， 所以x十4」 4 -2x-2+-2+2224+2=6, 4 当且仅当x一2=2—2时，即x=4时，等号成立， 所以z+2的最小值为6故递A] 4.D[当a=1,6=-2时，1>-2，而1<(-2)2=4,1> 一2，而√a6无意义，故ABC错误； b 因为c2+1>0,所以中>+D正确] 5.D[因为不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<一1或x >3}, 所以一1和3是方程ax2十bx十c=0的根，且a<0,选项A 错误； 154 由根与系数的关系得 1+3=0解得6=-2a,c= -1X3=c a, 一3a>0,选项B错误； 所以a十b十c=a-2a-3a=-4a>0,选项C错误； 不等式cx2-bx十a<0可化为-3a.x2+2a.x十a<0, 即3x2-2x-1<0, 解得-弓<x<1,所以不等式的解条为✉-号<x<1, 1 选项D正确，故选D.] 6.C[由题意可知Hx∈R,(m-2)x2+(m-2)x十1>0恒 成立. ①当m-2=0,即m=2时，1>0恒成立； ②当m-2≠0时，m-2)2-4(m-2)<0, m-2>0, 解得2<m<6.综上，2≤m<6.故选C.] 7.D[因为正实数xy满足4红十y=2,所以4+上=2， y x 所以x+子-号（华+儿+学）=合(e++)≥ (+停×君)-， 1 即1'时等号成立。 y=4 因为不等式x十子<加2一m有解， 所以只(+学)<m-n:申对-0>2年可 所以m<-1或m>2.故选D.] 8.B[设两次葡萄的单价分别为a元/千克和b元/千克， 且a≠b, 则小齐两次均购买3千克葡萄，平均价格为3（十b)_a十b 6 2 元/千克， 小港两次均购买50元葡萄， 年均价格为0西华无/十克 a 因为a十b-2ab-_a十b2-4ab_(a-b)2 2a+62a+6)=2a+6>0, 所以小港两次购买葡萄的平均价格比小齐低.故选B.] 9.ACD[2<x<3,2<y<3, .4<xy<9..4<2x<6,6<2x+y<9, .-3<-y<-2,-1<x-y<1,1<2x-y<4. 故选ACD.] 10.ABC[因为二次函数y=ax2十bx+c(a≠0)的图象的对称 轴为x=1, 所以工=品=1，得2a+6=0,故A正确， b 当x=一2时，y=4a一2b+c<0,把A选项代入得8a+c< 0,故B正确； 该函数图象与x轴有两个交点，则△=b2-4ac>0,故C 正确； 因为二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的图象的对称轴为 x=1,点B的坐标为（一1,0）， 所以点A的坐标为(3,0)，所以当y<0时，x<-1或x> 3,故D错误.故选ABC.]