3.1勾股定理的探究（1）---勾股定理的发现课件2025-2026学年苏科版八年级数学上册

执教： 张二平 苏科版八年级数学上册 3.1勾股定理的探究（1） ---勾股定理的发现 学习目标 1、能说出勾股定理的内容，并能用勾股定理 进行简单的计算. 2、让学生经历探索勾股定理的过程，发展合情 推理的能力，体会数形结合的思想. 学习重点：勾股定理及其应用。 学习难点：利用图形的割补验证勾股定理。 一、情境创设： 因为反映勾股定理 内容的图形形象、 直观、易懂. 如果外星人存在， 我们如何与他们 建立联系? 有数学家曾建议 用反映勾股定理内容 的图形与他们联系. 勾股定理是如何发现的？ 二、探索新知： 问题：如图1，以 Rt△ABC的三边为边分别向外 画一个正方形，所画的三个正方形面积之间 有怎样的数量关系? 3 4 3 4 （3+4）2-4×3×4÷2 25 （4-3）2+4×3×4÷2 25 “补”的方法 “割”的方法 正方形BHIC、正方形ACFG的面积分别为9和16，正方形AEDB的面积为25， 三个正方形面积之间的关系为：S正方形AEDB=S正方形BHIC+S正方形ACFG. ∵ S正方形AEDB=AB2，S正方形BHIC=BC2，S正方形ACFG=AC2，   ∴ AB2=BC2+AC2。 即Rt△ABC两条直角边的平方和等于斜边的平方。 活动： 在下面的方格纸上，任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，（如图）并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外部作正方形，仿照上面的方法找出三个正方形面积之间的关系，并与同学交流， 根据上面的例子，可以猜想： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 数学史话 直角三角形这一特殊的三边关系，我国古代称之为勾股定理据《周髀算经》记载:西周时期的商高(约前1100)在与周公(约前1100)的对话中，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。就提出了“勾三股四弦五”，勾股定理的证明从古至今已有数百种方法，公元3世纪初， 我国数学家赵爽(3世纪前期)用剪拼图形的方法完成了证明。 归纳： 勾股定理: 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 如图，直角三角形的两条直角边a，b 与斜边c之间满足 “勾” “股” “弦” 注意：勾股定理只适用于直角三角形， 其揭示的是直角三角形三边长之间的平方关系. 试一试： 1、如图，在下列横线上填上适当的值： 2、如图，阴影部分的面积为 。 3、直角三角形两边分别为5cm和12cm， 则这个三角形的面积为 或 。 x=10 y=2.5 m=9 24 30cm2 例题精讲： 例1、如图△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝50cm， BC＝30cm，CD⊥AB于D，求CD的长。 解：∵∠ACB＝90°，AB＝50cm， BC＝30cm， ∵CD⊥AB 由 ，得 结论：直角三角形斜边上的高等于 两直角边长的乘积除以斜边长。 例2、如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠DBC=90°， AD=3.AB=4.BC=12，求CD的长。 解：∵∠BAD＝90°，AD＝3，AB＝4， ∵∠DBC＝90°，BC＝12， 注意：勾股定理只适用于直角三角形， 已知直角三角形任意两边长， 可以求第三边边长。即“知二求一”。 三、独立训练： 2.已知两边的长分别为8,15，若要组成一个直角 三角形，则第三边应该为（ ） A.不能确定 B. C.17 D.17或 3.一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4， 这个等腰三角形的周长是（ ） A.12 B.13 C.16 D.18 1.Rt△ABC中∠A=90°，∠A，∠B，C的对边 分别为a，b，c，则 ( ) A.a2+b2=c2 B.b2+c2=a2 C.a2+c2=b2 D.无法确定 5.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm， BC=8cm，现将直边AC沿直线AD折叠，使它落在 斜边AB上，且与AE重合，求CD的长。 4.已知，如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AD是角平分线， CD=15，BD=25，则AC的长为 . x=1.5 1、在波平如静的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面1米 ，一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为2米， 问这里水深多少? x+1 B C A D 1 2 ? ┓ x 解：如图，设水深为x米， 因为∠BCD＝90°， AC=1米，CD=2米， AB=BD=(x+1)米， 所以BC2+CD2=BD2 x2+22=(x+1)2 答：水深为1.5米。 四、拓展延伸 2、△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，若∠C=90°， 如图1，根据勾股定理，则 ， 若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想 的关系，并证明你的结论。 五、总结反思： 3、直角三角形斜边上的高等于两直角边长的乘积 除以斜边长。 2、勾股定理揭示了“形”与“数”的内在联系， 是数形结合的经典一例. 1、勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方”是直角三角形的又一条重要性质； 六、随堂检测 1、如图，一裸大树在一次强台风中在离地面5米处 折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在 折断前的高度为（ ） A.10米 B.15米 C.25米 D.30米 2、如图，在么ABC中，三边a，b，c的大小关系是（ ） A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<a<c 3、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，则正方形A、B、C、D的边长分别为2cm、1cm、3cm、5cm，则最大的正方形面积为_____cm2. 4、小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放， A、B、D在同一直线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，试求BD的长. 18 $