河北省唐山市2025-2026学年高三上学期摸底演练数学试卷

唐山市2025一2026学年度高三年级摸底演练 数学参考答案及评分标准 一、选择题（单选）： 1-4 ABCD 5-8 ACDA 二、选择题（多选）： 9.CD 10.AC 11.ABD 三.填空题： 12.号13.2π14.5或6+5或V5+22 四、解答题： 15.解： (1)如图，以C为坐标原点，CD,CB,CC1所在直线分别为x轴、y 轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxy之，则C(0,0,0), A1(1,w3,1),B(0,w3,0), 设CD=m,则D(m,0,0). CA=(1w3,1),Bi=(m,-√3,0). 因为A1C⊥BD,所以CA·BD=0, 解得m=3,所以CD=3.… 4分 (2)A(1W3,0),B1(0W3,1),AB=(-1,0,1). 因为B1D=BD=(3,-√3,0)，设平面AB1D1的一个法向量是n=(x1y1,之1)， 取n=(1W3,1).……7分 因为AB=(-1,0,-1),设平面A1BD的一个法向量是m=(x2y2,z2), 则m·助0即35y=0,形 取m=(1,W3,一1).…10分 m·A1i=0.-x2-z2=0. 则osa,m〉=册-哥 故平面AB,D,与平面ABD夹角的余弦值为. 13分 高三唐山数学参考答案第1页（共4页） 16.解： (1)X的可能取值为0,1,2. 1分 P(X=0)=c8C=15-1。 C。4539 2分 P(X=1)=C4C=24-8 C。4515 3分 P(X=2) CC=6=2 C。45151 4分 因此，X的分布列为 X 0 1 2 1 P 8 2 3 15 15 X的数学翔型E(X)-0X号+1×号+2X号-是-台 6分 (2)用Y表示乙摸出黄球的个数， 则PY=)=(后r(号A=0.12 …8分 设事件A:甲获胜，则A={X=1,Y=0}U{X=2,Y=0}U{X=2,Y=1}. 则P(A)=P(X=1)P(Y=0)+P(X=2)P(Y=0)+P(X=2)P(Y=1) -8×品+品×品+品×器-器 …11分 设事件B:乙获胜，则B={X=0,Y=1}U{X=0,Y=2}U{X=1,Y=2}. 则P(B)=P(X=0)P(Y=1)+P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=2) ×+×+×器 …14分 因为，P(A)三织-4>号P(B),所以，甲获胜的概率较大，…………………15分 17.解： （I)因为snA=n8C,所以2sn分cos会snA-=eo A 2 2 因为0<分<受，所以cos号≠0，所以s血令-日，可得A 3· ……2分 因为S%Ac三之bcsin A=10V3,所以b=8,……4分 由余弦定理得a2=b十c2-2bcc0sA=49,所以a=7.…6分 高三唐山数学参考答案第2页（共4页） (2)①因为Sac=2 ABX ADX sin∠BAD+号ACXADXsin∠CAD=1a, 所以AD=40W3 13· …9分 ②设∠BAD=0,所以∠CAD=60°-0,0°<0<60°. BD 在△ABD中，由正弦定理得，nADB=6 11分 AC CD 在△ACD中，由正弦定理得，sin∠ADCsin(60°-)' 13分 由CD=2BD,sin∠ADB=sin∠ADC,得4sin(60°-0)=5sin0, 解得tan0=2,即tan乙BAD-29. 7· …15分 18.解： (1)由曲线f(x)的图象关于点(2,0)对称，得y=f(x十2)是奇函数，…2分 因为f(x十2)=x(x十2)(x十2-a),所以2-a=2,解得a=4.…4分 (2)f'(x)=3x2-(4+2a)x+2a. 因为x=a是∫(x)的极大值点，所以f(a)=0,解得a=0或2.…6分 当a=2时，(x)=(3x-2)(x-2),所以当x∈（弓，2）时，f(x)单调递减， 当x∈(2，十o∞)时，f(x)单调递增，因此x=2是f(x)的极小值点（舍去）；…9分 当a=0时，f'(x)=x(3x一4)，所以x∈（一∞，0）时，f(x)单调递增， 当x∈(0，专)时，f(x)单调递减，因此x=0是f()的极大值点. 综上，可得=0.… …12分 (3)f'(x)=3x2-(4+2a)x+2a,△=4(a-1)2+12>0, 因为2是f(x)的极值点，所以x十，=4十20， 3,xx22a ，…14分 f(x)=x(x-2)(x-a)=x3-(a+2)x2+2ax, f(x1)+f(x2)=x-(a+2)x+2a.x1+x8-(a+2)x+2ax2 =(x1十x2)(x-x1x2十x)-(a十2)(x号+x)+2a(x1十x2). 因为x+x=(x1十x2)2-2x1x2,代人上式， 由f(x1)+f(x2)>0可得(a+2)(a-1)(a-4)<0, 16分 獬得a∈(-0∞，-2)U(1,4).…17分 高三唐山数学参考答案第3页（共4页） 19.解： (1)证明：①依题意，将直线方程x-2y十4=0代入x2=4y得x2-2x-8=0, 解得x=-2或4，所以A(4,4),B(-2,1D,则Q(1,号.… 2分 由x2=4y得)y'=受，所以PA:2x-y-4=0;PB:x十y十1=0.…4分 从而可得P(1,一2)，因此PQLx轴.…6分 ②设D(x0,4 ，可得直线MN:0=-要-2，<4， ………8分 所以w-w=2之，且1PQ1-号， 四边形MPNQ的面积为×PQXw-N-2平（定值）.…10分 (2由(1得P1,-2》.M士)N2是，-受， 线段PM的垂直平分线的方程为x十2y-5一2=0； 4 …11分 线段PN的垂直平分线的方程为L一y-十2=0，…12分 2 所以点E在直线x一3y一2=0上.… 14分 又P(1,一2)关于直线x一3y一2=0的对称点为(0,1)，…… 16分 因此圆E过定点(0,1).… …17分 高三唐山数学参考答案第4页（共4页）唐山市2025一2026学年度高三年级摸底演练 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂 黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案.答案不能答在试卷上 3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作 h 答无效. 州 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1.已知集合M={xx2>1},N={x|x<一1或x>1},则 A.M-N B.0∈M C.M∩N=O D.MUN-R 2.i为虚数单位，复数之=i(i+2)在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.数据：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的30%分位数是 A.2.5 B.3 C.3.5 D.4 4.已知a为锐角，则方程x2+y2cosa=1表示的曲线为 A.焦点在x轴上的双曲线 B.焦点在y轴上的双曲线 C.焦点在x轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的椭圆 中 5.已知等差数列{an}的公差为3，且a2,a4,ag成等比数列，则a6= A.16 B.17 C.19 D.20 6.非零向量a,b满足|a-2b,a-5b与2a十3b垂直，则a与b的夹角为 A晋 B.5 c D. 7.正数a,b,c分别为函数f(x)=2x一3，g(x)=x2一3，h(x)=log2(x一1)+1的零点，则 A.a<b<c B.c<b<a C.a<c<b D.c<a<b 高三唐山数学试卷第1页（共4页） 8.数列(a}的前n项和为1-，{，的前n项和为n1n∈N,则数列{a,一6) A.有最大项也有最小项 B.无最大项也无最小项 C.有最小项但无最大项 D.有最大项但无最小项 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在(x一y)5的展开式中，下列说法正确的是 A.一共有5项 B.第3项为一10x3y2 C.所有项的系数和为0 D.所有项的二项式系数和为32 10.已知曲线C:y=sin2a,曲线C:y=sin(x+T),则 A.曲线C1和C2存在相同的对称轴 B.曲线C1和C2存在相同的对称中心 C.曲线C1上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向左平 移不个单位长度，可得到曲线C D.把曲线C向左平移牙个单位长度，得到的曲线纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2倍，可得到曲线C2 11.已知非常数函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)=0,f(2x-1)=f(x),则 A.f(1)=0 B.2是f(x)的一个周期 C.当且仅当x∈Z时，f(x)=0 D.f(x)不存在最小正周期 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知随机变量XN(0,1),则P(X>0)= 13.一个等边三角形边长为2，以其一边所在直线为轴，其余各边旋转一周围成的几何 体的体积为 14.F,B为双曲线C:芳=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F,的直线1与C的两 支分别交于A,B,若△F2AB为等腰直角三角形，则C的离心率可能为 (写出一个值即可) 高三唐山数学试卷第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 如图，在直四棱柱ABCD一A1B1CD1中，AB∥CD,∠ABC=90°，AA1=AB=1, BC=√5，A1C⊥BD (1)求线段CD的长； (2)求平面AB1D1与平面A1BD夹角的余弦值. B 16.(15分) 甲、乙两人各有一个乒乓球袋，袋内均装有10个规格相同的乒乓球，其中4个黄 球、6个白球，两人从各自袋中摸球. (1)甲无放回摸出两个球，用X表示摸出黄球的个数，求X的分布列和数学期望； (2)甲、乙两人玩游戏，规则如下：甲无放回摸球，乙有放回摸球，若两人各自都摸两 次，每次摸出一个球，谁摸出的黄球个数多谁就获胜，判断谁获胜的概率较大，并说明 理由. 17.(15分) 在△ABC中，角A,B.C所对的边分别是a,6c已知sinA=sinB时C,c=5, △ABC的面积为10√3. (1)求a,b; (2)D为边BC上一点， ①若AD是∠BAC的平分线，求线段AD的长； ②若CD=2BD,求tan∠BAD. 高三唐山数学试卷第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数f(x)=x(x一2)(x一a). (1)若函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，求a的值； (2)若x=a是f(x)的极大值点，求a的值； (3)设x1,2是f(x)的极值点，且满足f(x1)十f(x2)>0,求a的取值范围. 19.(17分) 已知直线x一2y十4=0与抛物线C:x2=4y交于A,B两点，且A,B分别在第一、 二象限，Q为线段AB的中点.设C在点A,B处的切线交于点P,D为曲线段AB(不含 端点)上一点，C在点D处的切线与直线PA,PB分别交于点M,N. (1)证明： ①直线PQ⊥x轴； ②四边形MPNQ的面积为定值； (2)设△PMN的外接圆为圆E,问：圆E是否过定点（点P除外）？若过定点，求出 定点坐标；不过定点，请说明理由 高三唐山数学试卷第4页（共4页）