13.2 第4课时 三角形的外角（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（沪科版2024）

第 13 章 三角形中的边角 关系、 命题与证明 13.2 命题与证明 第 4 课时 三角形的外角 八年级上册数学（沪科版） 1.理解并掌握三角形的外角的概念． 2.能够在复杂图形中找出外角.（难点） 3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和及三角形的内角和．（重点） 4.会利用三角形的外角性质解决问题. 学习目标 1.在△ABC 中，∠A = 80°，∠B = 52°，则∠C = . 48° 2.如图，在△ABC 中， ∠A = 70°，∠B = 60°，则∠ACB = ，∠ACD = . 50° 130° A B C D 3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？ 三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角， 它们的和是 180°. 导入新课 定义 如图，把△ABC 的一边 BC 延长至点 D，得到∠ACD. 像这样，由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. ∠ACD 是△ABC 的一个外角 C B A D 三角形的外角的概念 1 新知探究 问题1 如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？ E 在三角形每个顶点处都有两个外角. ∠ACD 与∠BCE 为对顶角，∠ACD =∠BCE； C B A D ∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的一个外角. 问题2 如图，∠ACD 与∠BCE 有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ A B C 画一画 画出△ABC 的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都有 6 个外角． 每一个顶点相对应的外角都有 2 个，且这 2 个角为对顶角. 三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. ∠ACD 是△ABC 的一个外角 C B A D 每一个三角形都有 6 个外角． 要点归纳 F A B C D E 如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？ ∠BEC 是△AEC 的外角； ∠AEC 是△BEF 和△BEC 的 外角； ∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角. 练一练 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 问题3 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其相邻的内角 ∠ACB 有什么关系？ ∠BCD 与∠ACB 互补. 三角形的外角的性质 2 问题4 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其不相邻的两内角 (∠A，∠B ) 有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，∠BCD +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B =∠BCD. 你能用作平行线的方法证明此结论吗？ D 证明：过 C 作 CE∥AB， A B C 1 2 则∠1 = ∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 = ∠A (两直线平行，内错角相等). ∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B. E 已知：△ABC 如图，求证：∠ACD =∠A +∠B. 如图①，试比较∠2 、∠1的大小； 如图②，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小. 图① 图② 解：∵∠2 = ∠1 +∠B， ∴∠2＞∠1. 解：∵∠2 =∠1 + ∠B， ∠3 =∠2 + ∠D， ∴∠3＞∠2＞∠1. 三角形的外角大于与它不相邻的内角. A B C D ( ( 1 2 3 A B C D ( ( ( 1 2 E 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. A B C D ∠B +∠C =∠CAD ∠CAD＞∠B， ∠CAD＞∠C 三角形内角和定理的推论 练一练：说出下列图形中∠1 和∠2 的度数： A B C D ( ( ( 80° 60° ( 2 1 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50° 32° (2) ∠1 = 40°， ∠2 = 140° ∠1 = 18°， ∠2 = 130° 例1 如图，∠A = 42°，∠ABD = 28°，∠ACE = 18°，求∠BFC 的度数. 解：∵∠BEC 是△AEC 的一个外角， ∴∠BEC = ∠A + ∠ACE. ∵∠A = 42° ，∠ACE = 18°， ∴∠BEC = 60°. ∵∠BFC 是△BEF 的一个外角， ∴∠BFC = ∠ABD + ∠BEF. ∵∠ABD = 28°，∠BEF = 60°， ∴∠BFC = 88°. F A C D E B 典例精析 例2 如图，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A 的度数． 解析：延长 BP 交 AC 于 E 或连接 AP 并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A 的度数． E 解：延长 BP 交 AC 于点 E， 则∠BPC，∠PEC 分别为△PCE，△ABE 的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A. ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. 【变式题】 (一题多解)如图，∠A = 51°，∠B = 20°， ∠C = 30°，求∠BDC 的度数. A B C D ( ( ( 51° 20° 30° 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. 解法一：连接 AD 并延长到点 E. 在△ABD 中，∠1 +∠B =∠3， 在△ACD 中，∠2 +∠C =∠4. ∵∠BDC =∠3 +∠4， ∠BAC =∠1 +∠2， ∴∠BDC =∠BAC +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°. A B C D ( ( 20° 30° E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 你发现了什么结论？ 解法二：延长 BD 交 AC 于点 E. 在△ABE 中，∠1 =∠B +∠A， 在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C. ∴∠BDC =∠A +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°. A B C D ( ( ( 51° 20° 30° E ) 1 解法三：连接 CD 并延长交 AB 于 F (解题过程同解法二). ) 2 F 解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE = ∠2 + ∠3， ∠CBF = ∠1 + ∠3， ∠ACD = ∠1 + ∠2. 又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°， 所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°. 例3 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 你还有其他解法吗？ 三角形的外角和 3 解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180°① ， ∠CBF +∠2 = 180°②， ∠ACD +∠3 = 180°③， 又知∠1 +∠2 +∠3 = 180°， ①+ ②+ ③得 ∠BAE +∠CBF +∠ACD + (∠1 +∠2 +∠3) = 540°， 所以∠BAE +∠CBF +∠ACD = 540° - 180° = 360°. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 解法三：过 A 作 AM∥BC， 则易得 ∠3＝∠4， B C 1 2 3 4 A ∠2＝∠BAM， 所以 ∠1＋∠2＋∠3＝ ∠1＋∠4＋∠BAM ＝360° M ∠2＋∠ 3＝∠4＋∠BAM， 结论：三角形的外角和等于 360°. 思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？ D E F 1.判断下列命题的对错. (1)三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.( ) (2)三角形的外角和等于它的内角和的 2 倍. ( ) (3)三角形的一个外角等于两个内角的和. ( ) (4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.( ) (5)三角形的一个外角大于任何一个内角. ( ) (6)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.( ) 课后练习 2.如图，AB∥CD，∠A＝37°， ∠C＝63°，那么∠F 等于( ) F A B E C D A. 26° B. 63° C. 37° D. 60° A 3. (1) 如图，∠BDC 是________ 的外角，也是 的外角； (2)若∠B = 45°，∠BAE = 36°， ∠BCE = 20°，试求∠AEC 的度数. A B C D E △ADE △ADC 解：根据三角形外角的性质有∠ADC = ∠B + ∠BCE，∠AEC = ∠ADC + ∠BAE. 所以 ∠AEC = ∠B + ∠BCE + ∠BAE = 45°+ 20° + 36° = 101°. 解：∵∠ADC 是△ABD 的外角. 4. 如图，D 是△ABC 的 BC 边上一点,∠B =∠BAD， ∠ADC = 80°，∠BAC = 70°，求∠B，∠C 的度数. 在△ABC 中， ∠B +∠BAC +∠C = 180°， ∴ ∠C = 180° - 40° - 70° = 70°. ∴∠ADC =∠B +∠BAD = 80°. 又∵∠B = ∠BAD， A B C D A B C D E 1 2 F G 解：∵∠1 是△FBE 的外角， ∴∠1 = ∠B + ∠E， 同理∠2 = ∠A + ∠D. 在△CFG 中， ∠C +∠1 +∠2 = 180°， ∴∠A + ∠B +∠C + ∠ D +∠E = 180°. 5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E 的度数. 拓展提升： 1 2 3 B A C P N M D E F 6.如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F = . 360° 29 三角形的外角 定义 角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线 性质 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的外角和 三角形的外角和等于 360° 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角 + 课堂小结 $