13.2.4三角形的外角（培优课件）-2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形外角的定义、性质及外角和定理，衔接内角和推论，通过画图辨析“延长边形成的角是否为外角”导入概念，以问题链构建从定义到性质的学习支架，逐步过渡到复杂图形应用。 其亮点是以“问题探究-证明推理-综合应用”为主线，通过辨析题培养几何直观（数学眼光），多种证法发展推理能力（数学思维），规范解答步骤强化数学语言表达。例题贴合期中期末高频考点，帮助学生提升几何运算与逻辑推理能力，教师可直接用于分层教学。

沪科版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 13.2.4三角形的外角 第13章 三角形中的边角 关系、 命题与证明 13.2.4 三角形的外角 同步练习题（沪科版八年级上册） 本次习题聚焦三角形外角全考点，衔接上一节内角和推论，重点考查三角形外角定义、外角两大性质、三角形外角和定理、复杂图形多外角计算、内外角综合推理、几何角度求值等重难点，题型由基础计算到综合推理，贴合期中期末高频考题，强化几何角度运算与逻辑推理能力。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列关于三角形外角的说法正确的是（） A. 外角是三角形内部的角 B. 三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角 C. 三角形只有一个外角 D. 外角和相邻内角互余 2. 三角形的外角和为（） A. 180° B. 270° C. 360° D. 90° 3. 在△ABC中，∠A=35°，∠B=55°，则与∠C相邻的外角为（） A. 80° B. 90° C. 100° D. 120° 4. 若三角形的一个外角是钝角，则这个三角形是（） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 5. 如图，三角形一个外角为120°，其中一个不相邻内角为50°，则另一个不相邻内角为（） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 三角形的每个内角对应________个外角，三角形共有________个外角。 2. 三角形的一个外角与它相邻的内角互为________，和为________°。 3. 三角形外角和定理：三角形的外角和等于________°。 4. 已知三角形一个外角为130°，其中一个不相邻内角为60°，则另一个不相邻内角为________°。 5. 在锐角三角形中，任意一个外角一定是________角。 三、解答题（共60分） 1.（20分）已知△ABC，求证：三角形的外角和为360°。（规范书写已知、求证、完整证明过程） 2.（20分）在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，∠BAD=30°，∠B=40°，∠ADC=80°，求∠C的度数。 3.（20分）如图，在△ABC中，∠BAC=70°，∠B=50°，延长BC到点E，延长CB到点D，分别求∠ACE、∠ABD的度数。 参考答案与详细解析 一、选择题 1.B 解析：三角形外角定义：三角形一边与另一边延长线组成的角，三角形共6个外角。 2.C 解析：固定定理：三角形外角和恒为360°。 3.B 解析：外角等于不相邻两内角和，35°+55°=90°。 4.D 解析：三种三角形都存在钝角外角，无法仅凭一个外角判断三角形形状。 5.C 解析：120°-50°=70°，利用外角性质直接计算。 二、填空题 1.2、6 2.补角、180 3.360 4.70 5.钝 三、解答题 1. 已知：△ABC的三个外角分别为∠1、∠2、∠3。求证：∠1+∠2+∠3=360°。证明：∵每个外角与相邻内角互补，∴∠1+∠A=180°，∠2+∠B=180°，∠3+∠C=180°。三式相加得：∠1+∠2+∠3+∠A+∠B+∠C=540°。又∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠1+∠2+∠3=540°-180°=360°。即三角形外角和为360°。 2. 解：∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD（三角形外角推论1）。代入数据验证角度成立，在△ADC中，可得∠C=180°-∠ADC-∠DAC，结合角度推导得∠C=70°。 3. 解：∠ACE是△ABC外角，∠ACE=∠BAC+∠B=70°+50°=120°；∠ABD是△ABC外角，∠ABC=50°，则∠ABD=180°-50°=130°。 （字数：815） 学习目标 1.理解并掌握三角形的外角的概念． 2.能够在复杂图形中找出外角.（难点） 3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的内角和．（重点） 学习目标 定义 如图，把△ABC 的一边 BC 延长至点 D，得到∠ACD. 像这样，由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. ∠ACD 是△ABC 的一个外角 C B A D 三角形的外角的概念 1 问题1 如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？ E 在三角形每个顶点处都有两个外角. ∠ACD 与∠BCE 为对顶角，∠ACD =∠BCE； C B A D ∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的一个外角. 问题2 如图，∠ACD 与∠BCE 有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ A B C 画一画 画出△ABC 的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都有 6 个外角． 每一个顶点相对应的外角都有 2 个，且这 2 个角为对顶角. 三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. ∠ACD 是△ABC 的一个外角 C B A D 每一个三角形都有 6 个外角． 要点归纳 F A B C D E 如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？ ∠BEC 是△AEC 的外角； ∠AEC 是△BEF 和△BEC 的 外角； ∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角. 练一练 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 问题3 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其相邻的内角 ∠ACB 有什么关系？ ∠BCD 与∠ACB 互补. 三角形的外角的性质 2 问题4 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其不相邻的两内角 (∠A，∠B ) 有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，∠BCD +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B =∠BCD. 你能用作平行线的方法证明此结论吗？ D 证明：过 C 作 CE∥AB， A B C 1 2 则∠1 = ∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 = ∠A (两直线平行，内错角相等). ∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B. E 已知：△ABC 如图，求证：∠ACD =∠A +∠B. 如图①，试比较∠2 、∠1的大小； 如图②，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小. 图① 图② 解：∵∠2 = ∠1 +∠B， ∴∠2＞∠1. 解：∵∠2 =∠1 + ∠B， ∠3 =∠2 + ∠D， ∴∠3＞∠2＞∠1. 三角形的外角大于与它不相邻的内角. A B C D ( ( 1 2 3 A B C D ( ( ( 1 2 E 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. A B C D ∠B +∠C =∠CAD ∠CAD＞∠B， ∠CAD＞∠C 三角形内角和定理的推论 例1 如图，∠A = 42°，∠ABD = 28°，∠ACE = 18°，求∠BFC 的度数. 解：∵∠BEC 是△AEC 的一个外角， ∴∠BEC = ∠A + ∠ACE. ∵∠A = 42° ，∠ACE = 18°， ∴∠BEC = 60°. ∵∠BFC 是△BEF 的一个外角， ∴∠BFC = ∠ABD + ∠BEF. ∵∠ABD = 28°，∠BEF = 60°， ∴∠BFC = 88°. F A C D E B 典例精析 例2 如图，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A 的度数． 解析：延长 BP 交 AC 于 E 或连接 AP 并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A 的度数． E 解：延长 BP 交 AC 于点 E， 则∠BPC，∠PEC 分别为△PCE，△ABE 的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A. ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE = ∠2 + ∠3， ∠CBF = ∠1 + ∠3， ∠ACD = ∠1 + ∠2. 又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°， 所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°. 例3 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 你还有其他解法吗？ 三角形的外角和 3 解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180°① ， ∠CBF +∠2 = 180°②， ∠ACD +∠3 = 180°③， 又知∠1 +∠2 +∠3 = 180°， ①+ ②+ ③得 ∠BAE +∠CBF +∠ACD + (∠1 +∠2 +∠3) = 540°， 所以∠BAE +∠CBF +∠ACD = 540° - 180° = 360°. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 解法三：过 A 作 AM∥BC， 则易得 ∠3＝∠4， B C 1 2 3 4 A ∠2＝∠BAM， 所以 ∠1＋∠2＋∠3＝ ∠1＋∠4＋∠BAM ＝360° M ∠2＋∠ 3＝∠4＋∠BAM， 结论：三角形的外角和等于 360°. 思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？ D E F 知识点1 三角形外角的定义 1.如图，点B，C分别在∠EAF的边AE，AF上，点D在线段AC上.下列是△ABD的外角的是(　　) A.∠BCF B.∠CBE　　 C.∠DBC D.∠BDF (第1题) 返回 D 基础提优题 知识点2 三角形外角的性质 2.［2025威海］如图，直线CF∥DE，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若∠1＝18°.则∠2等于(　　) A.42°　　B.38°　　 C.36°　　D.30° (第2题) 返回 A 基础提优题 3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD且分别交AB，AD，AC及BC的延长线于点E，H，F，G.若∠B＝45°，∠ACB＝75°，则∠G＝(　　) A.15°　　 B.22.5°　　 C.27.5°　　 D.30° (第3题) A 基础提优题 【点拨】∵∠B＝45°，∠ACB＝75°，∴∠BAC＝180°－45°－75°＝60°.∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠BAC＝30°.∵EG⊥AD，∴∠AEF＝90°－∠DAB＝60°.∴∠G＝∠AEG－∠ABC＝60°－45°＝15°.故选A. 返回 (第3题) 基础提优题 4.如图，将一张三角形纸片ABC折叠，使点A落在A′处，折痕为DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是(　　) A.γ＝180°－α－β　　 B.γ＝α＋2β C.γ＝2α＋β　　 D.γ＝α＋β (第4题) C 返回 基础提优题 5.如图，D是△ABC的边BC上一点，AE平分∠BAD，∠CAE＝∠CEA，∠C＝∠BAD，若∠B＝40°，求∠CAE的度数. 【解】如图.∵AE平分∠BAD， ∴∠1＝∠2.∵∠CAE＝∠CEA， ∴∠2＋∠3＝∠1＋∠B.∴∠3＝∠B＝40°. ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝∠BAD＝2∠2，∴∠2＝25°.∴∠CAE＝∠2＋∠3＝25°＋40°＝65°. 返回 基础提优题 知识点3 三角形内、外角的关系 6.如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(　　) A.∠A＞∠1＞∠2　　 B.∠2＞∠1＞∠A C.∠A＞∠2＞∠1　　 D.∠2＞∠A＞∠1 (第6题) B 返回 基础提优题 7.如图，已知在△ABC中，∠1是它的一个外角，点E为边AC上一点，点D在边BC的延长线上，连接DE，则下列结论中不一定正确的是(　　) A.∠1＞∠2　　 B.∠1＞∠3 C.∠3＞∠5　　 D.∠4＞∠5 (第7题) D 基础提优题 【点拨】根据三角形外角的性质可知∠1＞∠3，∠3＞∠2，∠3＞∠5，∴∠1＞∠2，而∠4与∠5的大小无法判断. 返回 (第7题) 基础提优题 易错点 忽略外角的性质中“不相邻”这一条件 8.如图，在△ABC中，在BC的延长线上取点D，E，连接AD，AE，则下列式子中正确的是(　　) A.∠ACB＞∠ACD B.∠ACB＞∠1＋∠2＋∠3 C.∠ACB＞∠2＋∠3 D.以上都正确 C 基础提优题 三角形的外角 定义 角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线 性质 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的外角和 三角形的外角和等于 360° 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角 课堂小结 $