13.2 第3课时 三角形内角和定理的证明及推论1、2（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（沪科版2024）

第 13 章 三角形中的边角 关系、 命题与证明 13.2 命题与证明 第 3 课时 三角形内角和定理的证明 及推论 1、2 八年级上册数学（沪科版） 1.掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2; （重点、难点） 2.了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处;（难点） 3.经历思考、操作、推理等学习活动，培养学生的推理能力和表达能力．（难点） 学习目标 通过拼图发现了三角形内角和定理. 泰勒斯 毕达哥拉斯学派 测量推测出内角和为 180°，后通过过顶点作平行线的方法完成了证明. 欧几里得 更严谨的通过一组同位角和一组内错角对三角形内角和定理进行了证明. 三角形内角和定理证明发展简轴 公元前 6 世纪 约公元前 560-480 年 约公元前 330-270 年 导入新课 活动：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 你能用数学的方法说明这个结论吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 三角形的内角和的证明 1 新知探究 三角形三个内角的和等于 180°. 求证：∠A +∠B +∠C = 180°. 已知：△ABC . 证法1：过点 A 作 l∥BC， 则∠B =∠1，∠C =∠2 (两直线平行，内错角相等). ∵∠1 +∠2 +∠BAC = 180°， ∴∠B +∠C +∠BAC = 180°. 1 2 证法2：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA， 则∠A =∠1 (两直线平行，内错角相等)， ∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B +∠ACB = 180°. C B A E D 1 2 C B A E D F 证法3：过 D 作 DE∥AC，DF∥AB. ∴∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC (两直线平行，同位角相等)， ∠A +∠AED = 180°， ∠EDF +∠AED = 180° (两直线平行，同旁内角相补). ∴∠A = ∠EDF. ∵∠EDB +∠EDF +∠FDC = 180°， ∴∠C +∠A +∠B = 180°. 想一想：同学们还有其他的证法吗？ 思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？ 借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E 为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三个角的和为 180°，转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 要点归纳 C 2 4 A B 3 E Q D F P G H 1 B G C 2 4 A 3 E D F H 1 试一试：同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？ 例1 如图，在△ABC 中， ∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数. A B C D 解：由∠BAC = 40°，AD 是△ABC 的角平分线， 得∠BAD = ∠BAC = 20°. 在△ABD 中， ∠ADB = 180° - ∠B - ∠BAD = 180° - 75° - 20° = 85°. 三角形的内角和定理的运用 2 【变式题】如图，CD 是∠ACB 的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC 的度数． 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°. ∵CD 是∠ACB 的平分线， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°. ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°. 在△BDC 中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°. 问题1：在△ABC 中，∠C = 90°，求 ∠A +∠B 的度数？由此你能得到什么结论？ 问题2：在△ABC 中，∠A +∠B = 90°，则∠C 度数为多少？由此你能得到什么结论？ 在△ABC 中，∵∠A +∠B +∠C＝180°，∠C＝ 90°， ∴∠A＋∠B＝90°. 在△ABC 中，∵∠A +∠B +∠C＝180°，∠A ＋∠B＝90°， ∴∠C＝90°. 三角形内角和定理的推论1、2 3 直角三角形的两锐角互余. 三角形内角和推论 1： 三角形内角和推论 2： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题 叫做推论. 要点归纳 在△ABC 中， （1）∠C = 90°，∠A = 30°，则∠B = ； （2）∠A = 50°，∠B = ∠C，则∠B = ； （3）∠A -∠C = 25°，∠B -∠A = 10°，则 ∠B = ； （4）∠A + ∠B = 90°，则△ABC 是 三角形. 60° 65° 75° 直角 练一练 1.如图，∠ACB = 90°，CD⊥AB 于点 D， 则∠1与∠B 的关系是（ ） A.互余 B.互补 C.相等 D.不确定 2.如图，AB∥CD，AD、BC 交于点 O， ∠A = 42°，∠C = 58°，则∠AOB = ( ) A. 42° B. 58° C.80° D.100° A B C D 1 C A B C D O C 课后练习 3.如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 O，若∠BOC = 120°，则∠A =_______. A B C O 60° 证明：∵AD∥BC， ∴∠1＝________ ( )． 又∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BAD－∠1＝∠BCD－∠2， 即∠3＝∠4. ∴AB∥________( )． 4.已知：如图，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD. 求证：AB∥CD. ∠2 内错角相等，两直线平行 CD 两直线平行，内错角相等 A B C D 4 2 1 3 解：∵ DE∥BC 且∠C＝70°， ∴∠AED＝∠C＝70° (两直线平行，同位角相等) . ∵在△ADE 中∠A＝60°， ∴∠A +∠ADE +∠AED＝180° (三角形内角和定理). ∴∠ADE＝180°－60°－70°＝50°. D C B A E 5.如图，在△ABC 中，DE∥BC，∠A = 60°，∠C = 70°.求∠ADE 的度数. 6.如图∠C =∠D = 90°，AD，BC 相交于点 E，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？ A E D C B 解：∠CAE =∠DBE. 理由如下： 在 Rt△CAE 中，∠CAE +∠CEA = 90°， 在 Rt△DBE 中， ∠DBE + ∠DEB = 90° ∵ ∠CEA =∠DEB ∴ ∠CAE =∠DBE （直角三角形两锐角互余）. （对顶角相等）， （等角的余角相等）. 三角形内角和定理的证明及推论 1、2 三角形内角和定理的证明 推论1：直角三角形的两锐角互余. 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 课堂小结 $