12.3 第2课时一次函数与二元一次方程组（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（沪科版2024）

12.3 一次函数与二元一次方程 第12章 一次函数 第2课时 一次函数与二元一次方程组 八年级上册数学（沪科版） 1.理解一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法解二元一次方程组;（重点） 2. 学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法； 3.经历图象法解方程组的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想．（难点） 学习目标 问题1：二元一次方程与一次函数有什么关系？ 一般地，一个二元一次方程可以转化成一次函数 y = kx + b ( k，b 为常数，且 k≠0) 的形式， 所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线. 这条直线上每个点的坐标 (x，y) 都是这个二元一次方程的解；同样的，以这个二元一次方程的解为坐标的点也都在这条直线上. 问题2：一次函数与二元一次方程组又有什么关系？ 导入新课 例1 (1)在同一直角坐标系内分别画出直线 l1： 与 l2：y = 2x + 6 的图象； （2）如果直线 l1 与 l2 相交于点 P，写出 P(__，__)； （3）检验点 P 的坐标是不是下面方程组的解. 二元一次方程组与一次函数的关系 新知探究 分析： x … 0 2 … … 1 0 … x … 0 -3 … y = 2x + 6 … 6 0 … 思考：方程组的解和这两个函数图象的交点坐标有什么关系？ 是对应两直线的交点坐标(-2，2). 方程组 y = 2x + 6 y = -x + 1， 的解是 x = -2， y = 2. 解：(1) 如图所示. (2) 由图可知，直线 l1 与 l2 相交于点 P，点 P 的坐标为(-2，2). l1：y = 2x + 6 l2：y = -x + 1 P （3）方程 x + 2y = 2 可以转化成一次函数 的形式，因此，直线 l1： 上任意一点的坐标都是方程 x + 2y = 2 的解. l1：y=2x+6 y = -x + 1 P 同理，直线 l2 上任意坐标都是方程 2x - y = -6 的解，所以直线 l1 与 l2的交点 P 的坐标是方程 x + 2y = 2 与2x - y = -6 的公共解，也就是说，点 P 的坐标是 二元一次方程组 的解. y = -x + 1 解方程组本质上是当两个函数的值相等时，求函数的自变量和对应的函数值． 数 二元一次方程 组的解 两个一次函数所在直线的交点坐标 对应 形 确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标. 要点归纳 所以方程①和方程②所对应的直线都是经过 A 和 B 两点的直线 l， 例2 利用图象解法解方程组 5x - 2y = 4； 10x - 4y = 8. ① ② 解：对于方程①，有 x ... 0 2 ... y ... -2 3 ... 如图，就是说，这两条直线重合. 显然，直线 l上每一个点的坐标都是方程组的解， 所以方程组有无穷多组解. 过点 A(0,-2)和 B(2,3) y = -x-1. l:y = -x-1. 画出方程①所对应的直线 l: 同样地，点A(0,-2)和B(2,3)也在方程②所对应的直线上． 1 .若二元一次方程组 的解为 ，则函数 y = 5 - x 与 y = -2x + 8 的图象的交点坐标为 　　 . 2.一次函数 y = 5 - x 与 y = -2x + 8 图象的交点为(3，2)则方程组 　的解为 （3，2） 　　　　. 练一练 例3 利用函数图像解方程组： ① ② 解：方程 3x + 2y = -2 对应直线 l1： 作出直线 l1 和直线 l1 ，如图，两条直线平行，故方程组无解. y = -x - 1. 方程 6x + 4y = 4 对应 直线 l2： y = -x + 1. l1: y=-x-1 l2: y=-x+1 二元一次方程组的解三种情况： （1）图象相交时，原方程组有唯一组解； （2）图象重合时，原方程组有无穷组解； （3）图象平行时，原方程组无解. 要点归纳 当 a1 : a2  ≠ b1 : b2 时 ，两直线相交，故方程组有唯一解； 当 a1 : a2  = b1 : b2 = c1 : c2 时，两直线重合，故方程组有无穷多组解； 3.当 a1 : a2 = b1 : b2 ≠ c1 : c2 时，两直线平行，故方程组无解. 思考 我们知道二元一次方程组的解的情况有三种.那么对于 ，比较每个例题里两个方程中 x 的系数之比、的系数之比以及常数项之比，你发现了怎样的规律? 1.一次函数 y = 5 - x 与 y = 2x - 1 图象的交点为(2，3)， 则方程组 的解为 . 课后练习 2．如图，两条直线的交点坐标可以看作哪个方程组的解？ 解： 3 -1 2 -3 x y O 3.若方程组 ① ② 中两个二元一次方程的 图象如图所示，则此方程组的解是多少？ 解：此方程组的解是 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -3 -4 2 O -2 1 4 x y 4.利用图象法解方程组 6x + 4y = -4， 3x + 2y = 2. 方程组的两个方程的图象有怎样的位置关系？方程组的情况怎样？ 解：作出两个方程的图象， 6x + 4y = -4 3x + 2y = 2 如图，两条直线平行，所以方程组无解. y 1 2 O 2 1 -1 -2 x -1 -2 O y x 5. 如图，求直线 l1 与 l2 的交点坐标. 解：因为直线 l1 过点(-1，0)， (0，2) ，用待定系数法可求得 直线 l1 的解析式为 y = 2x + 2.同理 可求得直线 l2 的解析式为 y = -x + 3. 解方程组 y = 2x + 2 y = -x + 3 得 x = y = 即直线 l1 与 l2 的交点坐标为 二元一次方程与一次函数 二元一次方程组与对应两条相交直线的关系 二元一次方程组与对应两条平行线的关系 课堂小结 $