12.2 第5课时 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（沪科版2024）

该初中数学课件聚焦一次函数与一元一次方程、不等式的关系，通过坐标点位置问题链导入，从函数图象与x轴交点过渡到方程的解，再延伸到不等式解集，搭建前后知识联系的学习支架。 其亮点是以数形结合为主线，通过问题链引导抽象（数学眼光），多角度例题（如例2从方程、解析式、图象解速度问题）培养推理意识（数学思维），表格对比规范表达（数学语言）。学生能深化知识理解，教师可借助结构化内容提升教学效率。

第6课时 一次函数与一元一次方程、 一元一次不等式 12.2 一次函数 第12章 一次函数 八年级上册数学（沪科版） 1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，会根据一次函数的图象解决一元一次方程和一元一次不等式的求解问题;（重点） 2. 学习用函数的观点看待解一元二次方程和一元一次不等式的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想.（难点） 学习目标 y＜0 y＞0 让我们来观察一下平面直角坐标系，思考下列问题： (1)纵坐标等于 0 的点在哪里？ (2)纵坐标大于 0 的点在哪里？ (3)纵坐标小于 0 的点在哪里？ x y O y = 0 导入新课 3 问题1：(1)解方程 2x + 6 = 0； (2)当自变量 x 为何值时，函数 y = 2x + 6 的值为 0？ 解：(1) 2x + 6 = 0 2x = -6 x = -3 (2) 当 y = 0 时 ，即 2x + 6 = 0 2x = -6 x = -3 从“函数值” 角度看 两个问题实际上是同一个问题 一次函数与一元一次方程 1 新知探究 （3）画出函数 y = 2x + 6 的图象，并确定它与 x 轴的交点坐标. 思考： 直线 y = 2x +6 与 x 轴交点坐标为（____，___），这说明方程 2x＋6＝0 的解是 x＝_____. 从“函数图象”上看 -3 0 -3 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 问题2 下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？ （1）2x + 1 = 3；（2）2x + 1 = 0；（3）2x + 1 = -1 用函数的观点看： 解一元一次方程 ax + b = k 就是求当函 数(y = ax + b)值为 k 时对应的自变量的值． 2x + 1 = 3 的解 y = 2x + 1 2x + 1 = 0 的解 2x + 1 = -1 的解 6 1.直线 y = 2x + 20 与 x 轴交点坐标为（____，____），这说明方程 2x＋20＝0 的解是 x = _____. -10 0 -10 2.若方程 kx＋2＝0 的解是 x = 5，则直线 y = kx＋2 与 x 轴交点坐标为（____，_____）. 5 0 练一练 求一元一次方程 kx + b = 0 的解 一次函数与一元一次方程的关系 要点归纳 一次函数 y = kx + b 中，y = 0 时 x 的值 求直线 y = kx + b与 x 轴交点的横坐标 从“函数图象”看 从“函数值”看 例1 直线 y＝2x＋b 与 x 轴的交点坐标是 (2，0)，则关于 x 的方程 2x＋b＝0 的解是 x＝___． 解析：∵直线 y＝2x＋b 与 x 轴的交点坐标是 (2，0)， 则 x＝2 时，y＝0，∴关于 x 的方程 2x＋b＝0 的解是 x＝2. 2 直线 y＝kx＋b 与 x 轴交点的横坐标就是方程 kx＋b＝0 的解，反之亦然．所以在解题时，常需作出一次函数的草图，结合图形分析更加直观、方便． 典例精析 1.已知一次函数 y = 0.8x - 2 与 x 轴的交点为 (2.5，0)，你能说出 0.8x - 2 = 0 的解吗？ 2.已知一次函数 y = kx - 5 与 x 轴的交点为 (3，0)，那么你能说出 kx - 5 = 0 的解吗？ 3.已知关于 x 的一元一次方程 mx + n = 0 的解是 -3，则直线 y = mx + n 与 x 轴的交点坐标是_______. x = 2.5 x = 3 (-3，0) 变式训练 例2 一个物体现在的速度是 5 米/秒，其速度每秒增加 2 米/秒，再过几秒它的速度为 17 米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答) 解：设再过 x 秒它的速度为 17 米/秒， 由题意得 2x + 5 = 17， 解得 x = 6. 答：再过 6 秒它的速度为 17 米/秒. 方程 解：速度 y (单位：米/秒)是时间 x (单位：秒)的函数， y = 2x + 5. 由 2x + 5 = 17 得 2x－12 = 0. 由右图看出直线 y = 2x－12与 x 轴的交点为 (6，0)， 得 x = 6. O x y 6 －12 y = 2x－12 函数解析式 解：速度 y (单位：米/秒)是时间 x (单位：秒)的函数，y = 2x + 5 由右图可以看出当 y = 17 时，x = 6. y = 2x+5 x y O 6 17 5 －2.5 图象 一次函数与一元一次不等式 2 问题3 下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？ 　 (1) 3x + 2＞2； (2) 3x + 2＜0； (3) 3x + 2＜-1． 从函数值的角度看： 解这 3 个不等式 ⟺ 在一次函数 y = 3x + 2的函数值分别大于2、小于0、小于-1时，求自变量 x 的取值范围. 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y = 3x + 2 y = 2 y = 0 y = -1 从函数图象的角度看：解这 3 个不等式 ⟺ 在直线 y = 3x + 2 上取纵坐标分别满足大于 2、小于 0、小于 -1的点，看它们的横坐标分别满足什么条件. y＞2 x＞0 y＜0 x＜- y＜-1 x＜-1 求 kx + b＞0 (或＜0)(k ≠ 0)的解集 从“函数值”看 从“函数图象”看 确定直线 y = kx + b在 x 轴上方(或下方)的图象所对应的 x取值范围 y = kx + b 的值大于(或小于) 0 时，x 的取值范围 一次函数与一元一次不等式的关系 要点归纳 例3 画出函数 y = -3x + 6 的图象，结合图象求： (1) 方程 -3x + 6 = 0 的解； (2) 不等式 -3x + 6＞0 和 -3x + 6＜0 的解集； （3）当 x 取何值时，y＜3？ 解：(1) 由图象可知， 图象与 x 轴交点的坐标为(2，0). 所以，方程 -3x + 6 = 0 的解为 x = 2. x O B(2，0) A(0，6) y (2) 不等式 -3x + 6 > 0 和 -3x + 6 < 0 的解集； (3) 当 x 取何值时，y < 3 ? (2) 由图象可知，y > 0 时 x 的取值范围是 x < 2；y < 0 时 x 的取值范围是x > 2. 所以，不等式 -3x + 6 > 0 的解集 是 x < 2；不等式 -3x + 6 < 0 的解集 是 x > 2. x O B(2，0) A(0，6) 3 1 (1，3) y (3) 由图象可知，当 x > 1 时，y < 3. 1.一次函数 y = -x + 2 的图象如图，你能说出 -x + 2＜0 的解集吗？ x y O y = -x + 2 2 x＞2 变式训练 2.一次函数 y = kx + b 的图象如图，你能说出 kx + b＜0 的解集吗？ x y O y = kx + b -4 x＜-4 1．利用图象解一元一次方程 x + 3 = 0. −3 y = x + 3 O y 解：作 y = x + 3 图象如右图. 由图象知 y = x + 3 交 x 轴于 (-3，0)， 所以原方程的解为 x = −3. x 3 课后练习 2.用画函数图象的方法解不等式 5x + 4＜2x + 10. 解：原不等式化为 3x - 6＜0 画出直线 y = 3x - 6 (如图). 可以看出，当x＜2 时这条直线上的点在 x 轴的下方, 即这时 y = 3x - 6＜0，所以不等式的解集为 x＜2. y = 3x - 6 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -3 -4 -5 2 O -2 1 4 -6 x y 即 5x + 4＜2x + 10 的解集为 x＜2. 22 解：画出两个函数 y = 5x − 1 和 y = 2x + 5 的图象． 由图象知，两直线交于点 (2，9)，所以原方程的解为 x = 2． O y = 5x − 1 y = 2x + 5 9 2 x y 3．利用函数图象求 x 的值. 5x − 1 = 2x + 5. 4.函数 y = 2x + 6 的图象如图，利用图象求： (1)方程 2x + 6 = 0 的解； 由图象可得：图象过点 (-3，0). ∴方程 2x + 6 = 0 的解为 x = -3； (2)不等式 2x + 6＞0 的解集； 由图象可得：当 x＞-3 时，函数 y = 2x + 6 的图象在 x 轴上方. ∴不等式 2x + 6＞0 的解集为 x＞-3； (3)若 -1≤y≤3，求 x 的取值范围. 由图象可得：函数图象过 F (-1.5，3)，G (-3.5，-1) 两点， 当 -3.5≤x≤-1.5 时，函数y = 2x+6的函数值满足-1≤y≤3， ∴x 的取值范围是 -3.5≤x≤-1.5. 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式 解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值，即一次函数与 x 轴交点的横坐标 解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于 0 时，求自变量相应的取值范围 课堂小结 $