12.2 第1课时 正比例函数的图象和性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（沪科版2024）

第1课时 正比例函数的图象和性质 第12章 一次函数 12.2 一次函数 八年级上册数学（沪科版） 1.理解正比例函数的概念，能在用描点法画正比例函数图象过程中发现正比例函数图象性质; 2.能用正比例函数图象的性质简便地画出正比例函数图象; 3.能够利用正比例函数解决简单的数学问题. 学习目标 1.函数有哪些表示方法？ 图象法、列表法、解析法 三种方法可以相互转化 它们之间有什么关系？ 2.你能将解析法转化成图象法吗？ 可以先列出表格，选择一些自变量的值，代入表达式中算出函数值.得到一些点.然后在平面直角坐标系内描出对应的点，最后用根据点的特点描出图像. 导入新课 在现实生活当中有许多问题都可以归结为函数问题，观察下面几个情境，分析一下函数关系. 一次函数与正比例函数 1 新知探究 4 情景一：某弹簧的自然长度为 3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量 x 每增加 1 kg，弹簧长度 y 增加 0.5 cm.你能写出 y 与 x 之间的关系吗？ y = 3 + 0.5x 情景二：某辆汽车油箱中原有油 100 L，汽车每行驶 50 km 耗油 9 L.设汽车行使路程 x (km)，油箱剩余油量 y (L)，你能写出 y 与 x 的关系吗？ y =100－0.18x 5 情景三：每个练习本的厚度为 0.5 cm，一些练习本摞 在一起的总厚度 h（单位：cm）随练习本的本数 n 的 变化而变化．写出函数解析式. 情景四：冷冻一个 0 ℃ 的物体，使它每分钟下降 2 ℃， 物体温度 T（单位：℃）随冷冻时间 t（单位：min） 的变化而变化．写出函数解析式. h = 0.5n T = -2t (1) y = 3 + 0.5x； (2) y = 100－0.18x. (3) h = 0.5n； (4) T = -2t. 一般地，形如 y = kx + b (k，b 为常数，k ≠ 0)的函数叫做一次函数. 当 b = 0 时，一次函数 y = kx + b 就成为 y = kx (k为常数，k ≠ 0)，像这样的函数叫做正比例函数. 正比例函数是一次函数的特殊情形 要点归纳 1.判断一个函数是一次函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零； 2.判断一个函数是正比例函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零． 方法归纳 例1 已知函数 y = (m - 1)x + 1 - m2. （1）当 m 为何值时，这个函数是一次函数? 解：（1）由题意可得 m - 1≠0，解得 m≠1. 即 m≠1 时，这个函数是一次函数. （2）当 m 为何值时，这个函数是正比例函数? （2）由题意可得 m - 1≠0，1- m2 = 0，解得 m = -1. 即 m = -1 时，这个函数是正比例函数. 典例精析 例2 在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象： （1） ；（2） y = x ； （3）y = 3x. x 0 1 y = x y = 3x 0 3 0 y = 3x y = x 正比例函数的图象的画法 2 0 1 【操作】仿照例1，在同一平面直角坐标系中，画下列函数的图象： （1） ； （2） y = －x ； （3）y = －3x. y = x y = -x y = -3x 【思考】观察例2和【操作】栏目中函数的图象. (2) 当 k > 0 时，正比例函数 y = kx ( k为常数，且 k≠0)的图象经过哪几个象限？ k＜0 呢? (1) 请说出正比例函数 y = 3x 和y = －3x 的图象经过的象限； y = －3x y = 3x y = 3x 过第一、三象限 y = －3x 过第二、四象限 y = kx (k 是常数，k ≠ 0) 的图象是一条经过原点的直线 y = kx (k ≠ 0) 经过的象限 k＞0 k＜0 第一、三象限 第二、四象限 要点归纳 两点作图法：由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点 (0，0) 和点 (1，k)，连线即可. 例3 已知正比例函数 y = (m + 1)xm2 ，它的图象经过第几象限？ 解：因为该函数是正比例函数 m2 = 1 所以{ m + 1 ≠ 0 所以根据正比例函数图象的特点，由 k＞0 可知该函数图象经过第一、三象限. 解得 m =1，所以 m + 1 = 2＞0. 典例精析 （1）若函数图象经过第一、三象限，则 k 的取值 范围是________. 变式1： 已知正比例函数 y = (k + 1)x. k＞-1 （2）若函数图象经过点（2，4），则 k_____. 解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以 k + 1＞0，解得 k＞-1. 解析：将坐标(2，4)带入函数表达式中，得 4 = (k + 1)·2，解得 k = 1. = 1 正比例函数图象的性质 （1）当 k > 0 时，函数图象从左向右看，变化趋势是怎样的？当自变量 x 增大时，函数值 y 是怎样变化的? k ＜ 0 呢? 3 思考 观察例 2 和操作绘制的图形，思考下面的问题. 16 （2）| k | 的大小对正比例函数 y = kx (k为常数，且k ≠ 0)的图象有什么影响? 1. 当 k >0 时，y 随 x 的增大而增大（图象是自左向右上升的）； 一般地，正比例函数 y = kx（k为常数，且k ≠ 0）有下列性质： 3. |k|越大，y 随 x 的增大而增大（或减小)的速度越快. 2. 当 k < 0 时，y 随 x 的增大而减小（图象是自左向右下降的）; 要点归纳 1.已知正比例函数 y = kx (k＞0) 的图象上有两点(x1，y1)， (x2，y2)，若 x1＜x2，则 y1 y2. ＜ 2. 正比例函数 y = k1x 和 y = k2x 的图 象如图，则 k1和 k2 的大小关系是（ ） A. k1＞k2 B. k1 = k2 C. k1＜k2 D. 不能确定 y = k1x y = k2x x y O A 练一练 例4 已知正比例函数 y = mx 的图象经过点(m，4)，且 y 的值随着 x 值的增大而减小，求 m 的值. 解：因为正比例函数 y = mx 的图象经过点(m，4)， 所以 4 = m·m，解得 m =±2. 又 y 的值随着 x 值的增大而减小， 所以 m＜0，故 m =－2. 1.下列图象哪个可能是函数 y = -x 的图象（ ） B 2.对于正比例函数 y = (k - 2)x，当 x 增大时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围 （ ） 　A．k＜2　　B．k≤2　　C．k＞2　　D．k≥2 C 课后练习 3.函数 y = -7x 的图象经过第_________象限，y 随 x 的增大而_______. 二、四 减小 4.已知正比例函数 y = (2m + 4)x. （1）当 m ，函数图象经过第一、三象限； （2）当 m ，y 随 x 的增大而减小； （3）当 m ，函数图象经过点（2，10）. ＞-2 ＜-2 = 0.5 5. 如图分别是函数 y = k1 x，y = k2 x，y = k3 x，y = k4 x 的图象.　 （1）k1 k2，k3 k4 (填“＞”或“＜”或“=”)； （2）用不等号将 k1， k2， k3， k4 及 0 依次连接起来． ＜ 解： k1＜k2 ＜0＜k3 ＜k4 4 2 -2 -4 4 x y O y = k4 x -4 -2 2 y = k3 x y = k2 x y = k1 x ＜ 正比例函数的图象和性质 正比例函数： y = kx ( k ≠ 0 ) 图象：经过原点的直线. 一次函数：y = kx + b ( k、b 为常数，且 k ≠ 0 ) 当 k＞0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大； 当 k＜0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小. 课堂小结 $