12.1 第1课时 变量与函数（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（沪科版2024）

第1课时 变量与函数 第12章 一次函数 12.1 函数 八年级上册数学（沪科版） 1．联系自己的学习、生活实际，通过具体情境领悟函数的概念，了解常量、变量，知道自变量与函数，能写出简单的函数表达式; 2．探究变量的发现和函数概念的形成，提高学生分析、解决问题的能力 学习目标 说明__________随______的变化而变化. 说明 __________随__________的变化而变化. 天气温度 时间 山顶气温 海拔高度 导入新课 我们生活在一个变化的世界，通常会看到在同一变化过程中，有两个相关的量，其中一个量往往随着另一个量的变化而变化，比如汽车的行驶路程随时间的变化而变化，那我们如何来研究各种运动变化呢？ 数学上常用变量与函数来 刻画各种运动变化. 变量与函数 1 新知探究 4 问题1 如图，用热气球探测高空气象.设热气球从海拔 1800 m 处的某地升空，它上升后到达的海拔高度 h m 与上升时间 t min 的关系记录如下表： 当 t = 2 min， h = 1860 m 当 t = 1 min，h = 1830 m 当 t = 0 min，h = 1800 m t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 … h/m 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 … 当 t = 3 min， h = 1890 m 5 看表回答以下问题： （1）这个问题中，涉及哪几个量？ （3）热气球在升空的过程中平均每分钟上升多少米？ （2）热气球上升 3 min 和 6 min 时到达的海拔高度分别是多少米? 热气球升空的时间 t min，气球升空的高度 h m . 海拔高度分别为 1890 m 和 1980 m . 每分钟上升为 30 m . t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 … h/m 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 … 热气球的高度随时间的推移而升高的高度有规律吗？ 你能总结出 h 与 t 的关系吗？ 1800 + 30×1＝1830 m 1800 + 30×2＝1860 m 1800 + 30×3＝1890 m 1800 + 30×4＝1920 m … h = 30t + 1800 1800 + 30×t＝30t + 1800 m 想一想 t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 … h/m 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 … (4) 哪些量发生了变化？哪些量没有发生变化？ 保持不变的量 （常量） 热气球原先所在的高度 1800 m 气球上升的速度 30 m/min 不断变化的量　　　　　　 热气球升空的时间 t min 气球升空的高度 h m （变量） 因别人变化而变化的量__________. 自我发生变化的量___________； （5）热气球上升的高度 h 与时间 t，这两个变量之间有关系吗？ t h 结论：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终保持不变的量称为常量. t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 … h/m 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 … 例1 阅读并完成下面一段叙述： 1. 某人持续以 a 米/分的速度用 t 分钟时间跑了 s 米，其中常量是 ，变量是 . 2. s 米的路程不同的人以不同的速度 a 米/分各需跑的时间为 t 分，其中常量是 ，变量是 . 3. 根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的论述： .　　　　　　　　　　　 在不同的条件下，常量与变量是相对的 a t，s s a，t 区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值. 1. 指出下列事件过程中的常量与变量 (1)某水果店橘子的单价为 5元/千克，买 a 千克橘子的总价为 m 元，其中常量是 ，变量是 ； (2)周长 C 与圆的半径 r 之间的关系式是 C＝2πr，其中常量是 ，变量是 ； (3)三角形的一边长 5 cm，它的面积 S (cm2)与这边上的高 h (cm)的关系式 中，其中常量是 ，变量是 ； 5 a，m 2π C， r 注意：π 是一个确定的数，是常量 S， h 练一练 某型号的汽车在平整路面上的刹车距离 s m 与车速 v km/h 之间有下列经验公式： 问题2 汽车在行驶过程中，由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住，这段距离称为刹车距离.刹车距离是分析事故原因的一个重要因素. (1) 这个公式中哪个量是常量？哪个量是变量？ 哪个量是自变量？哪个量是因变量？ (2) 当刹车时车速 v 分别是 40 km/h、80 km/h、 120 km/h 时，相应的滑行距离 s 分别是多少？ 当 v＝40 km/h 时，s＝6.25 m； 当 v＝80 km/h 时，s＝25 m； 当 v＝120 km/h 时，s＝56.25 m. ① 256；② s，v；③ v；④ s. 问题3 下图是某市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线. 看图回答以下问题： （1）这个问题中，涉及哪几个量? 时间、用电负荷 GW表示“吉 瓦”，是电功率的单位. 1 GW = 109 W. （2）给出这天中的某一时刻，如 4.5 时， 可以过横轴 4.5 的点作垂线，垂线与曲线的交点的纵坐标即为所求. 4.5 时对应的电负荷是10 GW. 能找到这一时刻的用电负荷是多少吗？ 你是怎么找到的？ 找到的值是唯一确定的吗？20 时呢 ? 找到的值是唯一确定的. 20 时对应的电负荷是 16 GW. （3）在这天中，对于时间 t 的每一个值， 相应的用电负荷的值 都是唯一确定的吗? （4）在这一天中，用电负荷最高和最低各是多少? 它们是在什么时刻达到的？ 对于每一个 t 值，都有唯一的用电负荷的值与之对应. 这一天的用电负荷最高在 13.5 h 达到 18 GW，最低在 4.5 h 达到 10 GW. 一般地，设在一个变化过程中有两个变量 x ， y，如果对于 x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数. 如果当 x = a 时， y = b，那么 b 叫做当自变量x 取 a 时的函数值. 知识要点 例2 下列关于变量 x ，y 的关系式：① y = 2x + 3； ② y = x2 + 3；③ y = 2|x|；④ ；⑤ y2 - 3x = 10，其中表示 y 是 x 的函数关系的是 ． ①②③ 一个 x 值有两个 y 值与它对应 判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应. 典例精析 例3 已知函数 (1)求当 x = 2，3，-3 时，函数的值； (2)求当 x 取什么值时，函数的值为 0. 把自变量 x 的值带入关系式中，即可求出函数的值. 解：（1）当 x = 2 时，y = ； 当 x = 3 时，y = ； 当 x = -3 时，y = 7； （2）令 解得 x = ，即当 x = 时，y = 0. 1.设路程为 s，时间为 t，速度为 v，当 v = 60 时，路程和时间的关系式为 ，这个关系式中， 是常量， 是变量， 是 的函数. 60 s = 60 t t 和 s s t 2.油箱中有油 30 kg，油从管道中匀速流出，1 h 流完，则油箱中剩余油量 Q (kg)与流出时间 t (min)之间的函数关系式是___________. 课后练习 20 3.写出下列各问题的函数关系式，并指出其中的常量与变量，自变量与函数. （1）运动员在 200 米一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间 t (秒)与跑步的速度 v (米/秒)的关系式； （2）n 边形的对角线条数 s 与边数 n 之间的关系式. 解：（1） ，其中 200 是常量，v、t 是变量， v 是自变量，t 是 v 的函数； （2） ，其中 ，-3 是常量，s、n 是变 量，n 是自变量，s 是 n 的函数. 4.下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？ 如果是，请指出自变量. （1）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化； （2）某村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕地面积 y (单位：m2)随这个村人数 n 的变化而变化； （3）P 是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x，它对应的实数为 y，y 随 x 的变化而变化． S 是 x 的函数，其中 x 是自变量. y 是 n 的函数，其中 n 是自变量. y 不是 x 的函数. 例如，到原点的距离为 1的点对应实数 1 或-1 变量与函数 常量与变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． 函数：一般地，设在一个变化过程中有两个变量 x ， y，如果对于 x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数. 课堂小结 $