1.4.2角平分线的性质 同步练习2025-2026学年苏科版八年级数学上册

1.4.2角平分线的性质 一、基础过关 1.如图，OP平分∠AOB,PC⊥0A于C,PD⊥OB于D,则PC与PD的大小关系是() A D B A.PC>PD B.PC=PD C.PC<PD D.不能确定 2.如图，DA⊥AC,DE⊥BC,若AD=5cm,DE=5cm,∠ACB=58°，则∠DCE=() D A.26° B.29° C.58° D.32 3.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相 等，凉亭的位置应选在() A.△ABC的三条中线的交点 B.△ABC三边的垂直平分线的交点 C.△ABC三条角平分线的交点 D.△ABC三条高所在直线的交点 B4 4.如图所示，若AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAC和LACD,PE⊥AC于E,且PE=4cm,则AB与 CD之间的距离为() A.4cm B.6cm C.8cm D.无法确定 5.如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、AC、BC的距离OF=OE=OD,若LBAC=70°，则 ∠B0C=() 试卷第5页，共5页 A.110° B.115° C.120° D.1250 6.命题“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”是 (选填“真命题”或“假命题”) 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，LABC=65°，点D为AC边上一点，连接BD,过点D作DE⊥AB于 点E,且CD=DE,则∠EBD的度数为一°. 8.如图，已知PA1ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°，∠OPC=30°，则LPCA= -M 9.己知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC,点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是 M、N. (I)求证：△ABD≌△CBD (2)试说明：PM=PW. A D N 10.如图，AD为∠BAC的平分线，DF⊥AC于F,∠B=90°，DE=DC,试说明：BE=CF 试卷第4页，共5页 11.如图，己知△ABC,BF是△ABC的外角LCBD的平分线，CG是△ABC的外角LBCE的平分线， BF,CG相交于点P,求证： (I)点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等； (②)点P在∠A的平分线上. E B D 12.如图，CB=CD,∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于点E,CF⊥AB交AB的延长线于点F. (1I)求证：AC平分∠DAB. (②)若AE=18,DE=3,求AB的长. D E ■ BF 13.如图，△ABC中，AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. (I)求证：BE=CF; (2)如果AB=5,AC=3,求BE的长. G 二、能力提升 14.如图，点G在AB的延长线上，∠GBC,∠BAC的平分线相交于点F,连接CF.若LAFB=40°，则 ∠BCF的度数为() E A.40° B.50° B.C.55 D.60° B G 试卷第5页，共5页 15.如图，点D是△ABC的边BC上一点，连接AD,△ABD与△ACD的面积比是5：4，AB=10, AC=8,∠BAC=50°，则∠BAD的度数为() D A.20° B.25° C.30° D.35° 16.如图1，已知△ABC中∠CAB内部的射线AD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P.若 ∠ABC=40°，∠CPA=20°. D D P H B 图1 图2 (I)求证：AD平分∠CAB; (②)如图2，点F是射线AD上一点，FG垂直平分BC于点G,FH⊥AB于点H,连接FC,若AB=5, AC=3,求HB, 试卷第4页，共5页 参考答案 1.B 【详解】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知PC=PD, 故选：B. 2.B 【详解】：DA⊥AC,DE⊥BC,AD=DE=5cm, .CD平分∠ACB, LDCE-14CB- ×58°=29. 故选：B. 3.C 【详解】解：：角的平分线上的点到角的两边的距离相等， :.要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在ABC三条角平分线的交点. 故选：C 4.C 【详解】解：如图，过点P作PM⊥AB于M,作PN⊥CD于N, B D :AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD,PE⊥AC, .PM PE PN 4cm .:AB与CD之间的距离=PM+PN=4+4=8(cm), 故选：C 5.D 【详解】解：：∠BAC=70°， ∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°， .O到三边AB、AC、BC的距离OF=OE=OD, :.OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB, 答案第11页，共12页 :∠0BC+∠0CB=∠ABC+∠AC8)=x10=55, .∠B0C=180°-（∠OBC+∠0CB)=180°-55°=125° 故选D 6.真命题 【详解】解：命题“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”是真命题， 故答案为：真命题， 7.32.5 【详解】解：：DE⊥AB,∠C=90°， ∠BED=LC=90°， .CD=DE,∠ABC=65o BD平分∠CBA, ∠EBD=∠ABC=32.5 故答案为：32.5. 8.55°/55度 【详解】解：：PA⊥ON,PB⊥OM,PA=PB, :点P在∠MON的平分线上， :∠AOP=∠BOP=∠MON=25°， 2 .∠PCA=∠A0P+∠OPC=55°， 故答案为：55°. 9.(1)证明见解析 (2)理由见解析 【详解】(1)证明：：BD是∠ABC的平分线， .∠ABD=∠CBD, 在△ABD和△CBD中， AB=CB ∠ABD=∠CBD, BD=BD △ABD≌△CBD(SAS); (2)证明：△ABD≌△CBD, 答案第12页，共12页 .∠ADB=∠CDB, :点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD, .PM =PN. 10.证明见解析 【详解】 解：∠B=90°， .BD⊥AB, :AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC, :DB=DF 在Rt△BDE和Rt△FDC中， 「DE=DC DB=DF' .Rt△BDE≌Rt△FDC(HL), :BE=CF. 11.(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析. 【详解】(1)证明：作PK⊥CE于点K,PM⊥BC于点M,PN⊥BD于点N,如图所示： E M B :BF是LCBD的平分线，CG是∠BCE的平分线，BF,CG相交于点P, .PK=PM,PM PN, .PK =PM =PN :.点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等. (2)证明：由(1)可知，PK=PN, 又：PK⊥CE,PN⊥BD, 点P在∠A的平分线上. 12.(1)见解析 答案第11页，共12页 (2)15 【详解】(1)证明：：CE⊥AD,CF⊥AB, ∠DEC=∠CFB=90°， ∠D+∠ABC=180°，∠CBF+∠ABC=180°， ∴.∠D=∠CBF, ∠D=∠CBF 在△CDE与CBF中， ∠DEC=∠BFC, CD=CB :ACDE≌△CBF(AAS, .CE=CF :AC平分∠DAB; (2)由(1)知AC平分∠DAB, ,∠EAC=∠FAC, 在△EAC和△FAC中， I∠AEC=∠AFC ∠EAC=∠FAC, AC=AC ∴△EAC≌△FAC(AAS), .AE=AF=18, 由(1)知aCDE≌aCBF, :BF DE =3, .AB=AF-BF=18-3=15. 13.(1)证明见解析 (2)1 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正 确找出全等三角形是解题关键， (I)连接BD、CD,先证出BD=CD,DE=DF,再证出Rt△BED≌Rt△CFD,根据全等三角形的性质 即可得证； (2)先证出Rt△AED≌Rt△AFD,根据全等三角形的性质可得AE=AF,再设BE=CF=x(x>O),根据线 答案第12页，共12页 段的和差建立方程，解方程即可得. 【详解】(I)证明：如图，连接BD、CD, :DG⊥BC且平分BC, B G :BD =CD :AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, .DE=DF,LDEB=∠DFC=90°， 在Rt△BED与RtACFD中， DE=DF BD=CD .RtaBEDSRtACFD(HL, :BE CF (2)解：：AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, ,DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°， 在Rt△AED与Rt△AFD中， AD=AD DE=DF :.Rt△AED≌Rt△AFD(HL), :AE=AF, 由(1)已证：BE=CF, 设BE=CF=xx>O), AB=5,AC=3, .AE AB-BE =5-x,AF =AC+CF=3+x, 5-x=3+x, 解得x=1, BE=1. 答案第11页，共12页 14.B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，作FZ⊥AE于Z,FY⊥CB于Y,FW⊥AB于W,根据角平分线 的性质得到FZ=FY,根据角平分线的判定定理得到∠FCZ=∠FCY,根据题意得到答案，掌握角的平分线 上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键， 【详解】解：作FZ⊥AE于Z,FY⊥CB于Y,FW⊥AB于W,如图所示： B WG :AF平分∠BAC,FZ⊥AE,FW⊥AB, .FZ =FW, 同理FY=FW, FY=FZ,FZ⊥AE,FY⊥CB, .CF平分∠ZCY, .∠FCZ=∠FCY, .∠AFB=40°， ∠FBG-∠FAB=40°， 又.∠GBC,∠BAC的平分线相交于点F, .2LFBG-2∠FAB=80°， .∠CBG-∠CAB=80°， ∠ACB=80°， ∴∠ZCY=100°， ∠BCF=50°.故选：B. 15.B 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形面积公式.设D到AB和AC的距离分别为h和h,先根据三 角形的面积公式得到h=h,即点D到AB和AC的距离相等，然后根据角平分线的判定定理得到AD平分 ∠BAC,即可得出结论， 【详解】解：设D到AB和AC的距离分别为h和h,, 答案第12页，共12页