上海市上海中学2025-2026学年高一上学期分班考试数学试卷

2025年上海中学高一分班考数学试卷 一、填空题 1. 已知、分别为的两根，，则的值为_____. 2. 已知，，，则_____. 3. 已知，则_____. 4. 实数x，y，z满足，，则z的最大值是__________. 5. 已知关于的方程至少有一个整数根，则正整数的值为_____. 6. 已知内接于，劣弧沿弦翻折后经过圆心，则_____. 7. 已知三角形三边，，上的高，，分别为3，5，6，点P为外一点，满足，则P到三边的距离之和为_____. 二、选择题 8. 已知抛物线开口向上，与轴有一正一负两个交点，其顶点坐标为，则，，中符号为正的是（ ） A. 仅 B. 仅 C. 仅c D. ， 9. 已知、为抛物线上的两点，O为原点，满足，于C，则点C与y轴距离最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 有1ml、2 ml、5 ml、10 ml四种量筒和一个足够大容器，若每次至多允许用两个量筒，问最多能盛出（ ）种不同体积的水. A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 三、解答题 11. 解方程组. 12. （1）运用几何方法推导平方差公式和立方差公式； （2）根据平方差公式和立方差公式求. 13. 已知开口向上的抛物线与直线，中的每一条都至多有一个公共点. （1）求的最大值； （2）当取到最大值时，设抛物线的顶点为C，直线和抛物线交于、两点，三角形内切圆半径为1，求的值. 2025年上海中学高一分班考数学试卷 一、填空题 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】1865 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】7 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】8或或 二、选择题 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】D 三、解答题 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】（1） 证明平方差公式： 如图一，在一个边长为的大正方形右上角减去一个边长为的小正方形，剩余部分面积为，其中. 如图二，将剩余的图形沿如图所示见下一个小矩形. 如图三，将小矩形拼在原图形的右侧变成一个新矩形，此时该矩形长为 ，宽为，面积为. 故. 证明立方差公式： 将棱长为的立方体裁去一棱长为的小立方体，再沿如图虚线切开，剩余部分体积为. 切开后如右图，分为三个棱柱，各部分的棱长如图所示. 体积为. 故. （2）128 【13题答案】 【答案】（1）5； （2）1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $