精品解析：重庆市第八中学校2025--2026学年上学期九年级数学开学考试卷

数学试题（一） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 值是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，若的三边都放大2倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 3. 在正方形网格中，的位置如图所示，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知为锐角，当时，的最大值为（ ） A B. C. D. 5. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 在中，，若，，则的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 7. 在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是等边三角形 D. 是直角三角形 8. 在中，，是斜边上的高，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，点是边上的点，连接，点是的中点，连接，点在边上，交于，，，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，，其中，，，，，，，自然数，，，，为正整数，且满足：，，记，．则下列说法中： ①当时，若，则； ②当时，满足条件的整式共有10个； ③若，则一定不等于． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：________． 12. 若为锐角，且，则的取值范围是______． 13. 若为锐角，当时，则的值为______． 14. 已知实数满足，，且，则的值为______． 15. 如图，在矩形中，，，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，过点作交于点，若，则的长是______． 16. 一个四位数若满足千位与十位的数字之和等于百位的2倍，且百位与个位的数字之和等于十位的2倍，则称为“骐骥数”．已知为“骐骥数”，则的值______．将四位数的千位与十位数字构成的两位数记作，将这个四位数的百位与个位数字构成的两位数记作，若满足被7除余2，则所有满足条件的的和为______． 三、解答题（本大题8个小题，17题8分，18题8分，其余每小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程和推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，并求它的整数解． 18. 在学习了平行四边形与正方形的相关知识后，小平进行了更深入的探究．他发现，如图所示的正方形，分别取的中点，连接交于点，过作的垂线，交于点，交于点．则四边形是平行四边形． （1）用尺规完成以下基本作图：过作垂线，交于点，交于点（保留作图痕迹）． （2）根据（1）中所作图形，小平发现四边形是平行四边形，并给出了证明，请补全证明过程． 证明：四边形是正方形， ，，， 又分别为的中点， ，， ①_______． 在与中 ， ， ②______． 又， ③______， 在中，， ． 又， ， ④______． 又， 四边形是平行四边形． 19. 为了解学生安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，87，87，87，87，89，95，95，96，98，98，100． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，83，84，86，88． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 中位数 86 众数 91 八年级所抽学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有1600名学生，八年级有1000名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共是多少？ 20. 先化简：，再从，0，2，4中选择一个合适的数作为的值，代入求值． 21. 某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”10000套，安排甲、乙两车间完成任务，乙车间生产“穿楼积木”的数量比甲车间生产“穿楼积木”的数量的2倍少2000套． （1）求甲、乙两车间各生产多少套“穿楼积木”？ （2）在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的1.2倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 22. 如图，在中，，，为的中线，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动秒（），的面积为，为周长与点运动路程之比． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，当时，请直接写出的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 23. 如图，甲，乙两艘巡逻艇分别在某海域处时，在的正北方向，在的西北方向，且，，海里．（参考数据：，，） （1）求的距离；（结果精确到整数） （2）甲乙收到指令同时出发，在处相遇，已知甲巡逻艇的速度为每小时10海里，乙巡逻艇的速度为每小时20海里，求甲乙相遇时，甲行驶的路程．（结果精确到） 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点，点P是直线上方反比例函数上一动点． （1）求一次函数解析式； （2）若y轴上一动点F，当时，求周长的最小值及点F的坐标； （3）在（2）中直线交y轴于点D，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，在反比例函数上是否存在一点Q，使，请直接写出点Q的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 25. 如图，已知在中，，点在直线上，连接，过点作于点，交于点． （1）如图1，若点在线段上，平分，，，求的长度； （2）如图2，若点在线段上，，延长至点，连接，满足，求证； （3）如图3，若，将沿翻折至所在平面得到，连接，点为的中点，连接，在点运动过程中，当取最大值时，直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题（一） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个角的正切值，熟记是解题的关键． 【详解】解：依题意， 故选：A． 2. 在中，，若的三边都放大2倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的三边都放大2倍， ∴∠A的对边与斜边的比不变， ∴的值不变， 故选：C． 【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题，掌握是解题的关键． 3. 在正方形网格中，的位置如图所示，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据网格的特点及正切函数的定义即可求解． 【详解】解：由图可得，． 故选D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，关键是根据网格的特点，在直角三角形中求正切． 4. 已知为锐角，当时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了余弦函数值的变化，根据余弦函数在锐角范围内的角度越大，余弦值越小．因此，在到的区间内，当取最小值时，取得最大值． 【详解】解：在锐角范围内，余弦函数的值随角度的增大而减小．已知，当取最小值时，即，的值最大，即最大值为． 故选A． 5. 若，，则值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，根据，得出，然后根据余弦定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 在中，，若，，则的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，先根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义解答即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴的值在2和3之间， 故选：B． 7. 在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是等边三角形 D. 是直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 8. 在中，，是斜边上的高，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数的应用，同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，然后在中，求得，然后． 【详解】解：在中，，是斜边上的高， ， ， 在中，，，， ， ． 故选：D． 9. 如图，正方形中，点是边上的点，连接，点是的中点，连接，点在边上，交于，，，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，过点作于点，根据正方形的性质得到，，，根据三角形中位线的性质得到，得到，，由，设，则，根据勾股求出，再求出，过点作于点，则，证明四边形是矩形，得到，由，设，则，根据勾股求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线，， ∴，， 在中，， 设，则， 在中， ∴， 解得：， ∴， ∴， 在中，， ∴， 过点作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故选：C． 10. 已知整式，，其中，，，，，，，为自然数，，，，为正整数，且满足：，，记，．则下列说法中： ①当时，若，则； ②当时，满足条件的整式共有10个； ③若，则一定不等于． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是整式的规律探究，利用分类讨论思想的应用是解题的关键．①当时，可得，即可求出，再由当时，，，可判断①；②当时，，取1，2，3，可判断②；当时，存在满足条件的和使得，故可判断③． 【详解】解：当时，，， ∵，，且， ∴， 解得：， ∴当时，，， ∵，， ∴，，故①符合题意； ②当时，， ∵为自然数，为正整数， ∴取1，2，3， 当时， ∴， ∴， 此时有或或或或或； 当时， ∴， ∴， 此时有或或； 当时， ∴， ∴， 此时有， 即当时，满足条件的整式M共有10个，故②符合题意； 假设存在，此时使得， 设，， 当时，， 当时，， ∴， 故存在（如），使得，故③不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得答案．熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 若为锐角，且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解一元一次不等式，根据锐角三角函数的范围即可得到一个关于的不等式，解不等式即可求解，理解锐角的正弦值的范围，从而转化为解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵为锐角， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 若为锐角，当时，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据且为锐角，求出，再代入求解即可，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵为锐角，， ∴， ∴ ． 14. 已知实数满足，，且，则的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是关键．根据题意可知实数是方程的两个根，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到的值，即可求解． 【详解】解：实数满足，，且， ∴实数是方程的两个根， ∴， ∴， 故答案：10 ． 15. 如图，在矩形中，，，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，过点作交于点，若，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设交于点，由矩形与折叠得到，设，则，在中，由勾股定理得到，则求出，，再证明，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，勾股定理，等角对等边，相似三角形的判定和性质，掌握矩形的折叠，相似三角形的判定和性质是关键． 16. 一个四位数若满足千位与十位的数字之和等于百位的2倍，且百位与个位的数字之和等于十位的2倍，则称为“骐骥数”．已知为“骐骥数”，则的值______．将四位数的千位与十位数字构成的两位数记作，将这个四位数的百位与个位数字构成的两位数记作，若满足被7除余2，则所有满足条件的的和为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了“骐骥数”，求分式的值，整式的加减，认真审题，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．根据题意，可得，，则，由此，，进而得出的值；由题意得：，，则可得出，由题意可知满足被7除余2，设，进行整理得到，从而推出，然后依次推出，，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可得，， 则， ∴， ， ， ∴； 由题意得：，， 则， ∵满足被7除余2， ∴，其中是某个整数， 由题意得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的倍数， 被7除余2， 为1到9的整数， ， ， ， 当时，， 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意，此时； 当时，，，符合题意，此时； 当时，，，符合题意，此时； 当时，，，不符合题意； ∴所有满足条件的的和为：． 故答案为：，． 三、解答题（本大题8个小题，17题8分，18题8分，其余每小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程和推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，并求它整数解． 【答案】，整数解为，0，1． 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，然后求出它们的公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴整数解为，0，1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 18. 在学习了平行四边形与正方形的相关知识后，小平进行了更深入的探究．他发现，如图所示的正方形，分别取的中点，连接交于点，过作的垂线，交于点，交于点．则四边形是平行四边形． （1）用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（保留作图痕迹）． （2）根据（1）中所作图形，小平发现四边形是平行四边形，并给出了证明，请补全证明过程． 证明：四边形是正方形， ，，， 又分别为的中点， ，， ①_______． 在与中 ， ， ②______． 又， ③______， 在中，， ． 又， ， ④______． 又， 四边形是平行四边形． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定与性质、正方形的性质、平行四边形的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）结合全等三角形的判定与性质、正方形的性质、平行四边形的判定填空即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ； 小问2详解】 证明：四边形是正方形， ，，， 又分别为的中点， ，， ①． 在与中 ， ， ②． 又， ③， 在中，， ． 又， ， ④． 又， 四边形是平行四边形． 19. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，87，87，87，87，89，95，95，96，98，98，100． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，83，84，86，88． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 85 85 中位数 86 众数 91 八年级所抽学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有1600名学生，八年级有1000名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共是多少？ 【答案】（1），， （2）八年级学生的安全知识竞赛成绩较好，理由见详解 （3）该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共约是人 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的知识，掌握样本百分比的计算，中位数、众数的计算，由样本百分比估算总体数量的计算方法是解题的关键． （1）根据题意，根据样本百分比，中位数，众数的计算方法求解即可； （2）根据众数作决策即可； （3）根据样本估算总体数的方法计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生参加竞赛， ∴八年级组的人数为（人），组的人数为（人），组的人数有人， ∴八年级组有（人），则， ∴， ∴中位数落在组，是第位同学成绩的平均数，即， ∵七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，87，87，87，87，89，95，95，96，98，98，100， ∴出现次数最多的是， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：八年级学生的安全知识竞赛成绩较好，理由如下， ∵七年级的众数小于八年级的众数， ∴八年级学生的安全知识竞赛成绩较好； 【小问3详解】 解：样本中七年级安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数人，八年级安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数人， ∴（人）， ∴该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数一共约是人． 20. 先化简：，再从，0，2，4中选择一个合适的数作为的值，代入求值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质化简，代入求值是关键． 根据分式的性质化简，确定的值，最后一代入计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴原式． 21. 某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”10000套，安排甲、乙两车间完成任务，乙车间生产“穿楼积木”的数量比甲车间生产“穿楼积木”的数量的2倍少2000套． （1）求甲、乙两车间各生产多少套“穿楼积木”？ （2）在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的1.2倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 【答案】（1）甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套 （2）甲车间每天生产套“穿楼积木” 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套，结合题意列式求解即可； （2）设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”，由此列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套， ∴， 解得，， ∴（套）， ∴甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套； 【小问2详解】 解：设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴甲车间每天生产套“穿楼积木”． 22. 如图，在中，，，为的中线，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动秒（），的面积为，为周长与点运动路程之比． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，当时，请直接写出的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】（1），； （2）图见解析，由函数图象可知，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小； （3）当时，． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数，勾股定理等知识，掌握一次函数与反比例函数综合应用是解题的关键． （1）分点在上和上分别讨论即可； （2）用描点法画出函数图象，然后根据图象写出一条性质即可； （3）求出两函数的交点坐标，根据函数图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：，为的中线， ，， 在中，， ， ∵点以每秒1的速度匀速运动到点A，运动时间为x秒， ∴点运动的路程为x， ①当点在上，即当时，如图： ， ， ②当点在上时，即当时，如图： ∴， 过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， 与的函数关系式为：， 周长，运动路程为， ； 【小问2详解】 解：如图，函数图象即为所求， 由函数图象可知，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小； 【小问3详解】 解：联立， 得， （负值已舍去）， 联立 得：， 解得：或（舍去）， 由函数图象可知，当时，． 23. 如图，甲，乙两艘巡逻艇分别在某海域处时，在的正北方向，在的西北方向，且，，海里．（参考数据：，，） （1）求的距离；（结果精确到整数） （2）甲乙收到指令同时出发，在处相遇，已知甲巡逻艇的速度为每小时10海里，乙巡逻艇的速度为每小时20海里，求甲乙相遇时，甲行驶的路程．（结果精确到） 【答案】（1）的距离为海里 （2）甲行驶的路程为海里 【解析】 【分析】本题主要考查方位角，勾股定理的应用，直角三角形的性质，理解方位角的表示，利用辅助线构建直角三角形是解题的关键． （1）根据方位角的计算得到，结合题意得到，根据含30度角的直角三角形，勾股定理即可求解； （2）如图所示，过点作于点，结合题意得到是等腰直角三角形，设甲乙从出发到相遇的时间为小时，则（海里），（海里），在中，由勾股定理得到（海里），在中，，由此得到相遇的时间，代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵在的正北方向，在的西北方向， ∴， ∵， ∴， ∵，海里， ∴， ∴在中，（海里）， ∴（海里）， ∴的距离为海里； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， 由（1）可知海里，，则是等腰直角三角形， ∴， 设甲乙从出发到相遇的时间为小时， ∴（海里），（海里）， 在中，，即（海里）， ∴（海里）， 在中，，即， 整理得，， 解得，， ∴（负值舍去）， ∴（海里）， ∴甲行驶的路程为海里． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点，点P是直线上方反比例函数上一动点． （1）求一次函数解析式； （2）若y轴上一动点F，当时，求周长的最小值及点F的坐标； （3）在（2）中直线交y轴于点D，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，在反比例函数上是否存在一点Q，使，请直接写出点Q的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】（1）一次函数的解析式为 （2）周长的最小值为，点F坐标为 （3）点Q的坐标为或或，求解过程见详解 【解析】 【分析】（1）根据题目要求，已知A、B两点坐标可代入坐标求得一次函数解析式； （2）先求得反比例函数的解析式，作轴交于H后可分别设点P、H的坐标，求出的距离，根据的面积求得点P坐标；求周长最小值，可作A关于y轴对称点，连接交y轴于点F，分别求得和的长度，的最小值为与之和，最后再求出直线的解析式可解出点F的坐标； （3）先求出直线的解析式，得到点D、N的坐标，轴，根据作交直线于点M，延长使其与反比例函数有交点Q，此时可得是等腰三角形，求出点M的坐标和直线，的解析式，再用直线解析式和反比例方程联立求解得到第一象限的两个Q点；再作直线关于y轴对称的直线，得到直线的解析式，将直线与反比例函数联立可求得第三象限的第三个Q点，最终得到不同的Q点坐标． 【小问1详解】 解：将点A、B代入中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，作轴交于点H， 将A代入， ∴， ∴反比例函数解析式为， 设，则， ， ， ，， 当时，， 作关于y轴对称点，连接交y轴于点F， ，， ∴， 当时，， 此时的周长最小值为点A，F，P三点共线时， ， ∵， ∴要舍去， ∴点P为时，的最小值为， ∵， ∴点F的坐标为． 【小问3详解】 解：∵点，， 设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为， ∴，， ∴轴，轴， ∵点，， 设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为， ①作交直线于点M，延长使其与反比例函数有交点Q， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， 将点M代入直线的解析式可得坐标为， 此时设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为， 联立， 得，， ∴点Q或，此时点Q均在第一象限， ②当点Q在第三象限时，作直线关于y轴对称的直线，直线与x轴的交点与直线与x轴的交点关于y轴对称， ∴直线与x轴的交点为， 设直线的解析式为， ，解得， 此时直线的解析式为， 联立， 得（舍），， ∴点Q， 综上所述，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数，反比例函数及动点最值问题的综合应用，勾股定理，利用轴对称求最短距离，难度系数大，需熟练掌握一次函数和反比例函数的基本性质． 25. 如图，已知在中，，点在直线上，连接，过点作于点，交于点． （1）如图1，若点在线段上，平分，，，求的长度； （2）如图2，若点在线段上，，延长至点，连接，满足，求证； （3）如图3，若，将沿翻折至所在平面得到，连接，点为的中点，连接，在点运动过程中，当取最大值时，直接写出此时的值． 【答案】（1）6 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）利用同角的余角相等得到，利用角平分线的定义和三角形的外角的性质得到，从而得到，从而得解； （2）根据题意可知是等腰三角形，，，再利用三角形的外角的性质证明，过点E作交的延长线于点H，从而证明，，得到，继而得到； （3）设，继而求得，，和，结合翻折的性质得到，过点P作交于点O，则点O为的中点，且，那么，点在直线上运动过程中，始终有，则点的运动轨迹为以点A为圆心为半径的圆上运动，那么点P的运动轨迹为以点O为圆心为半径的圆上运动．当取最大值时，则点P、点O和点D共线时，求得此时，和，连接，则，进一步求得，求得即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∵，， ∴，， 又∵，即， ∴， ∴， 过点E作交的延长线于点H，如图， 则，， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴，解得， ∴， 则，解得， ∴， ∵将沿翻折至所在平面得到， ∴， 过点P作交于点O，如图， ∵点为的中点， ∴点O为的中点，， 点在直线上运动过程中，始终有，则点的运动轨迹为以点A为圆心为半径的圆上运动，那么点P的运动轨迹为以点O为圆心为半径的圆上运动． 当取最大值时，则点P、点O和点D共线时，如图， 此时，，，， 连接，则， ∵， ∴， 则． 【点睛】本题主要考查圆和三角形的综合，难度较大，涉及同角的余角相等、角平分线的定义、三角形外角、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形、切线定理和解直角三角形等知识点，解题的关键是熟悉点的运动轨迹和圆的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $