专题讲义　抽象函数的奇偶性与单调性——2026届高三数学一轮复习

抽象函数的奇偶性与单调性 例1、若对x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)为奇函数 若对x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)-f(y),则f(x)为偶函数 证：令x=y=0,得f(0)=0 令y=-x,得f(O)=f(x)+f(-x) .f(x)为奇函数 例2、若对x,y∈R,都有f(xy)=f(x)±f(y),则f(x)为偶函数 证：令x=y=1,得f1)=0 令x=y=-1,得f(-1)=0 令y=-l,得f(-x)=f(x)+f(-1) ∴.f(-x)=f(x) .f(x)为偶函数 例3、对x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时，f(x)<0, 则f(x)在R上↓ 证：不妨设x<x2,则x2-x1>0 .f(x2-x)<0 ∴.f(x)-f(x2)=f(x)-f[(x2-x)+x]=f(x)-[f(x2-x)+f(x)】 =-f(x2-x)>0 .f(x)>f(x2) .f(x)在R上↓ 例4、己知f(x)的定义域为(0，+oo),对x,y>0都有f(xy)=fx)+f(y), 且当x>1时，f(x)>0,则f(x)在(0，+0)上个 证：不妨设0<x<x,则点>1 X .f()>0 f(x)-f(x)=f(x)-fx.)=f(x)-[f(x)+f(2月 =-f2)<0 .f(x)<f(x2) ∴.f(x)在(0，+o)上个 例5、若f为奇函数，对Vx,y∈R,都有f)+f少>0，则f)在 x+y R上↑ 证：不妨设x1<x2,则x,-x2<0 f0x）-f0,)=f0x)+f6ex,)=fx)+f-).(x-,)<0 X1-X2 .f(x)<f(x2) .f(x)在R上↓ 例6、函数f(x)的定义域为(1，I),f(x)+f0)=f(x+少)，且x∈(0,1时， 1+xy f(x)>0,若实数a满足不等式f(2a)+f(a-1)>0,求a的取值范围 解：令x=y=0,得f0)=0 令y=-,得f(x)+f(-x)=0 .f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数 不妨设-1<x<x2<1,则 f(x)-f(x)=f(x)+f(-2)=f(i-龙)=-f(-x) 1-X1X2 1-x1X2 -1<x1<x2<1 ∴.x2-x1>0,1-xx2>0 .1+x1>0,1-x2>0 .(1+x)1-x2)=1-x2+x1-xx2>0 .x2-X1<1-xx2 0<-<1 1-XX2 .f(x)<f(x2) .f(x)在(-1,1)上个