专题05 函数的最值（数学竞赛真题汇编）九年级全国通用

专题05 函数的最值 1．（2023九年级上·湖南郴州·竞赛）点P是直线上一动点，O为原点，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 2．（2024九年级上·河北邢台·竞赛）二次函数的最大值是 ，最小值是 ． 3．（23九年级上·江苏南通）已知二次函数，当时，其最小值为，最大值为3，则的最大值是 ． 4．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）如图所示，已知为反比例函数图象上的两点，动点在x轴正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大值时，点P的坐标是 ． 5．（2023九年级上·浙江宁波·竞赛）设，为实数，函数满足：对任意，都有，则的最大值为 ． 6．（2024九年级下·湖北黄冈·竞赛）小慧同学根据学习函数的经验，对函数的图象和性质作了四个推测：①图象是一个轴对称图形；②当时，有最大值等于；③的值随着的增大而减少；④当时，的值随着的增大而减小．则正确结论的序号是 ． 7．（2024九年级上·陕西西安·竞赛）我们用min表示两个数中的较小数，如，求的最大值． 8．（2024九年级下·广东中山·竞赛）已知函数 ，当 时，的最大值为，求． 9．（2023九年级上·浙江·竞赛）已知函数的图象与轴交于两点，且． (1)当时，设表示的最小值，求的最大值； (2)若，证明：或． 10．（2024九年级上·陕西西安·竞赛）已知，一次函数，二次函数，P为上一动点，求P到的距离的最小值． 1．（2024九年级·全国·竞赛）已知正比例函数，反比例函数，当时，函数的最大值为（    ）． A．12 B．18 C．24 D．27 2．（2023九年级·全国·竞赛）已知，是实数，点在函数的图象上，设，则的最大值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 3．（2023九年级·全国·竞赛）设是的三边长，二次函数在时取最小值，则是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 4．（2024九年级·全国·竞赛）如果抛物线与x轴交于点，且，记n的最大值为的最小值为，那么 ． 5．（2024八年级·全国·竞赛）函数的最小值为 ． 6．（2024九年级·全国·竞赛）已知直线与抛物线有交点，且．则的最小值为 ． 7．（2024九年级·全国·竞赛）已知抛物线经过点，若抛物线与的顶点和开口方向都相同，其中都是实数，且，求的函数表达式，并求出当时，的最大值和最小值． 8．（2023九年级下·全国·竞赛）已知是方程的两个实数根，试求的最小值． 9．（2024九年级·全国·竞赛）如图，已知抛物线与直线相交于点，B．    (1)求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标； (2)当时，在直线下方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如果在抛物线上存在定点，使得，求点到直线的距离的最大值． 10．（2024八年级·全国·竞赛）如图1，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，O为坐标原点，现将正方形绕点O顺时针方向旋转，旋转角为θ，对角线分别与x轴、直线交于点D、E， (1)当时，如图2，试求证； (2)当时，如图3，边与直线交于点M，边与x轴交于N，则周长为 ； (3)当正方形旋转到图3位置时，若，则 ； (4)当时，直线有一动点P，当点P的坐标为 时，有最小值为 ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的最值 1．（2023九年级上·湖南郴州·竞赛）点P是直线上一动点，O为原点，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数图像上点的坐标特征，勾股定理，垂线段最短，利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 首先求出，，得为等腰直角三角形，当时，最小，等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此求得线段的长度． 【详解】解：如图所示：    ∵直线，即， 令，则； 令，则， 解得， ，， ，， 是等腰直角三角形， 当时，最小， ∴． 故选：C． 2．（2024九年级上·河北邢台·竞赛）二次函数的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 16 【分析】本题考查二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质． 先求出对称轴为，顶点坐标，由判断出函数的增减性，再结合给定的t的取值范围，分别求出、和时的函数值，通过比较确定函数的最值． 【详解】 ∴该二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，对称轴为． 时，S随的增大而增大，时，S随的增大而减小， 在内， 当时，S取得最大值，最大值为16． 当时，； 当时，． ∵， ∴的最小值为． 故答案为：16，． 3．（23九年级上·江苏南通）已知二次函数，当时，其最小值为，最大值为3，则的最大值是 ． 【答案】4 【分析】先根据和，求出x的值，结合二次函数的性质，得当时，函数的最小值为，最大值为3，即可求出的最大值是． 【详解】解：∵当时，， 解得， 当时，， 解得， 又图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数的最小值为-1，最大值为3， ∴的最大值是． 故答案为：4． 4．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）如图所示，已知为反比例函数图象上的两点，动点在x轴正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大值时，点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式，解此题的关键是确定P点的位置． 先求出A、B的坐标，设直线AB的解析式是，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在中，，延长交x轴于，当P在点时，，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线与x轴的交点坐标即可． 【详解】解：将代入得：， ， 设直线AB的解析式是， ，解得：， 直线AB的解析式是， 如图：在中，，延长AB交x轴于，当P在点时，，此时线段与线段之差达到最大． 当时，，解得：， 当线段与线段之差达到最大值时，点P的坐标是． 故答案为：． 5．（2023九年级上·浙江宁波·竞赛）设，为实数，函数满足：对任意，都有，则的最大值为 ． 【答案】/0.25 【分析】本题主要考查一次函数在区间上的约束条件与参数最值问题，涉及不等式约束下的极值求解．利用端点分析：一次函数在区间上的最大值和最小值出现在端点，因此只需保证端点处满足，将函数在端点的条件转化为关于和的不等式，得到和；分情况讨论：根据的正负，分别在的上下限中选择使最大的值，转化为单变量二次函数求极值． 【详解】解：函数在区间上满足，因此： 当时，，即， 当时，，即， 情况一：当时，此时， ∴， ∴在时取得最大值； 情况二：当时，此时， ∴， ∴在时取得最大值， 两种情况下的最大值均为，因此最大值是； 故答案为：． 6．（2024九年级下·湖北黄冈·竞赛）小慧同学根据学习函数的经验，对函数的图象和性质作了四个推测：①图象是一个轴对称图形；②当时，有最大值等于；③的值随着的增大而减少；④当时，的值随着的增大而减小．则正确结论的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】本题主要涉及函数的图象与性质，通过对函数进行变形、分析等方法来判断各个推测的正确性；对函数解析式对函数，进行变形，然后根据非负数性质得到函数的最大值，即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，取最大值，即，最大，图象不对称，故①错误；②正确； 当时，随增大而增大，故③错误； 当时，随增大而减小，故④正确； 故答案为：②④． 7．（2024九年级上·陕西西安·竞赛）我们用min表示两个数中的较小数，如，求的最大值． 【答案】最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的图象交点问题，以及数形结合的思想．正确理解题意是解题的关键．先令，求出二次函数与一次函数的图象交点，再结合图象及新定义即可解答． 【详解】解：令，解得， ， 由图像得，当时，最大值为，即的最大值为． 8．（2024九年级下·广东中山·竞赛）已知函数 ，当 时，的最大值为，求． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是掌握用分类讨论的思想进行求解．先将二次函数解析式化为顶点式可得抛物线开口向下，顶点坐标为，然后分：，，三种情况讨论求解． 【详解】解：函数， 抛物线开口向下，顶点坐标为， 当时，则， 为函数最大值， ， 解得，不符合题意； 当时，则，当时，随增大而减小， 时，取最大值， 即， 解得或（舍去）； 当时，即， 当时，随增大而增大， 时，取最大值， 即， 解得或（舍去）． 综上所述，或． 9．（2023九年级上·浙江·竞赛）已知函数的图象与轴交于两点，且． (1)当时，设表示的最小值，求的最大值； (2)若，证明：或． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质和反证法． （1）根据函数的图象与性质得到该函数的最小值m在顶点处取得，把代入即可表示出最小值m的函数关系式，再根据关于a的函数关系式即可求出结果； （2）利用反证法，分三种情况得出与条件矛盾；进而即可得证． 【详解】（1）解：由题意可知，函数的图象开口方向向上， 函数的最小值m在顶点处取得，顶点横坐标为，代入函数得： ， ， ， ， 此为关于a的开口向下的抛物线，最大值在顶点处，代入得，； （2）若或不成立， 假设，则， 抛物线的对称轴为直线， 得， 当时，， 得， ， ， ， 与已知条件矛盾； 假设则， 此时， 即，， ，， 导致，与已知条件矛盾； 假设且， 当时，， 当时，， ， ， ， ， 与已知条件矛盾； 综上，所以假设情况均与已知条件矛盾，故假设不成立， 原命题或成立． 10．（2024九年级上·陕西西安·竞赛）已知，一次函数，二次函数，P为上一动点，求P到的距离的最小值． 【答案】 【分析】设过点P平行直线的解析式为，当直线与抛物线只有一个交点P时，点P到直线的距离最小，如图设直线交x轴于A，交y轴于B，直线交x轴于C，作于D，于E，求出的长即可解决问题． 【详解】解：设过点P平行直线的解析式为， 当直线与抛物线只有一个交点P时，点P到直线的距离最小， 由，消去y得到：， 当时，， ∴， ∴直线的解析式为， 如图设直线交x轴于A，交y轴于B，直线交x轴于C，作于D，于E， 则，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（2024九年级·全国·竞赛）已知正比例函数，反比例函数，当时，函数的最大值为（    ）． A．12 B．18 C．24 D．27 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的性质，掌握正比例函数与反比例函数图象的性质是解题的关键． 根据题意得到，求出，然后代入求解即可． 【详解】当时，．即， 当且仅当，即时，等号成立 ． 故选：A． 2．（2023九年级·全国·竞赛）已知，是实数，点在函数的图象上，设，则的最大值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】本题考查求二次函数的最值．根据题意得出，根据得出，进而将化为顶点式，即可求解． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， 当时，或， ∴， ∴ ， ∵， ∴时，的最大值为， 故选：A． 3．（2023九年级·全国·竞赛）设是的三边长，二次函数在时取最小值，则是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】根据二次函数的最值问题，利用对称轴公式列出方程，再把x=1代入函数关系式，然后求解得到a、b、c的关系，再利用勾股定理逆定理进行判断，即可得到答案． 【详解】由题意得：x==1， 整理得，c=2a−b， x=1时，， 整理得：c=b， 设b=5k（k≠0），则c=3k，a=4k， ∵(3k)2+(4k)2=（5k）2， ∴c2+a2=b2， ∴△ABC是直角三角形． 故选C． 4．（2024九年级·全国·竞赛）如果抛物线与x轴交于点，且，记n的最大值为的最小值为，那么 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查二次函数与x的交点问题，一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 令，即，利用根与系数的关系得到，，然后由题意得到，然后由，求出，然后由求出，进而求解即可． 【详解】∵抛物线与x轴交于点， ∴令，即 ∴， ， ， ，， ∴，即； 由，得， 即，． 故答案为：． 5．（2024八年级·全国·竞赛）函数的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了绝对值的意义．根据题意得：表示数x表示的点到距离的和，即可求解． 【详解】解：根据题意得：表示数x表示的点到到距离的和， ∴当时，距离和最小，最小值是． 则函数y的最小值为2， 故答案为：2 6．（2024九年级·全国·竞赛）已知直线与抛物线有交点，且．则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系求得，，然后代入等式，根据二次函数的性质求最值． 【详解】解：当时，， ∴，， ∴， 整理可得， ∵ ∴当时，m有最小值为， 故答案为：． 7．（2024九年级·全国·竞赛）已知抛物线经过点，若抛物线与的顶点和开口方向都相同，其中都是实数，且，求的函数表达式，并求出当时，的最大值和最小值． 【答案】，当时，当，取得最小值1；当，取得最大值． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，把代入函数式，可得，，进而可得的顶点为，由抛物线与的顶点和开口方向都相同，可得，即可得到方程组，解方程组得到，求出，再根据二次函数的性质即可求出当时，的最大值和最小值，利用代数系数法求出二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：抛物线经过点， ， 解得， ， ∴的顶点为，， 抛物线与的顶点和开口方向都相同， ， 其中，即， ∴， 解得， ， ，开口向上，对称轴为直线， 当时，若，则取得最小值； 若，则取得最大值． 8．（2023九年级下·全国·竞赛）已知是方程的两个实数根，试求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、利用二次函数的性质求最值等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据方程两个实数根，则利用根的判别式可得出关于k的一元一次不等式，然后求得k的取值范围；由题得，，进而得到，推出当时，有最小值，最小值为即可解答． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ，解得：， ∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， ， ∴抛物线的开口方向向上，对称轴为， ∴当时，函数值随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为． 9．（2024九年级·全国·竞赛）如图，已知抛物线与直线相交于点，B．    (1)求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标； (2)当时，在直线下方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如果在抛物线上存在定点，使得，求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1)证明见解析，定点坐标为 (2)存在点或，使得； (3)点到直线的距离最大为 【分析】本题考查了是二次函数的综合应用，涉及相似三角形的判定和性质． （1）直线整理得，当时，，即可得到直线过定点； （2）过直线下方的抛物线上一点作轴的平行线，交直线于点，设点，则点，利用三角形面积公式列式计算即可求解； （3）过点分别作直线的垂线，垂足分别为点，设点，证明，利用相似三角形的性质得到，联立得，利用根与系数的关系推出，整理得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由得， 当，即时，， 直线过定点； （2）解：当时，直线方程为， 再联立可解得点． 如图，过直线下方的抛物线上一点作轴的平行线，交直线于点，    设点，则点， ， ， 若，解得或， 当时，在直线下方的抛物线上存在点或，使得； （3）解：由知，，过点作直线轴， 过点分别作直线的垂线，垂足分别为点，如图，    则， ∴， 设点，、互不相等， 则， 化简得， 而联立和得， ， ， 即， 点为抛物线上使得的定点，即与的取值无关， ∴，即， ∴点，与直线上定点的距离为， 过点作，则， ∴当点与定点的连线垂直时，点到直线的距离最大，为． 10．（2024八年级·全国·竞赛）如图1，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，O为坐标原点，现将正方形绕点O顺时针方向旋转，旋转角为θ，对角线分别与x轴、直线交于点D、E， (1)当时，如图2，试求证； (2)当时，如图3，边与直线交于点M，边与x轴交于N，则周长为 ； (3)当正方形旋转到图3位置时，若，则 ； (4)当时，直线有一动点P，当点P的坐标为 时，有最小值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)8 (3) (4)， 【分析】（1）如图2中，将绕点O顺时针旋转，得到，连接．根据正方形的性质得到，得到，然后利用勾股定理解决问题即可． （2）在图3中，将绕点O顺时针旋转，得到．得到，根据全等三角形的性质解答即可． （3）利用（2）中结论，在中，利用勾股定理解答即可． （4）如图4中，将绕点O逆时针旋转，得到，连接交于J．可知K，R，P，C共线时，的值最小，此时，解直角三角形解决问题即可． 【详解】（1）证明：如图2中，将绕点O顺时针旋转，得到，连接． 则，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵直线交于E， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：在图3中，将绕点O顺时针旋转，得到． 由旋转，可知：，，，． ∵直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴的周长． 故答案为：8． （3）解：由（2）可知，， 设，则，， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （4）解：如图4中，将绕点O逆时针旋转，得到，连接交于J． 则，是等边三角形， ∴， ∴， ∴K，R，P，C共线时，的值最小，此时， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵，即， ∴， 同理， ∴， ∴，最小值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $