精品解析：黑龙江省绥化市第四中学校2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

绥化市第四中学校初四数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 有四张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字3，4，5，6，从中同时抽取两张，则下列事件为必然事件的是（ ） A. 两张卡片的数字之和大于6 B. 两张卡片的数字之和等于6 C. 两张卡片的数字之和等于11 D. 两张卡片的数字之和大于11 5. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约2亿元，第三天票房收入约6亿元，设票房收入每天平均增长率为，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数的图像如图，则二次函数在平面直角坐标系中的图像可能是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，半径长，点A、B、C是三等分点，D为圆上一点，连接，且，交于点E，则（　　） A. B. C. D. 8. 正三角形的边心距、半径和高之比为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，是的内切圆，分别与，，相切于点，，，则圆心到顶点的距离是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形经过旋转后与四边形重合，则下面各角不是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 11. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 3 D. 9 12. 二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … 0 1 2 … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②；③和3是关于的方程的两个根；④．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共10小愿，每小题3分，共30分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 14. 将抛物线先向右平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式是 _____． 15. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_____． 16. 已知点，在二次函数的图像上，则、的大小关系是：_________ 17. 如图，⊙O直径CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM：OC=3：5，则弦AB的长为______． 18. 一个圆锥的底面周长是6cm，母线长是6cm，则圆锥侧面积展开图的扇形圆心角是_______． 19. 不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是__________． 20. 二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④其顶点坐标为；⑤当时，随的增大而减小；⑥；⑦方程有实数解．其中结论正确的序号为________． 21. 对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为___________． 22. 将绕点A按逆时针方向旋转得到．若，则________． 三、解答题（共6题，共54分） 23. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4） 24. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，直接写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后的； （3）在（2）的条件下，求点到经过的路径长（结果保留）． 25. 如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，延长CA到O，使AO＝AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接CD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积． 26. 某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． （1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为x（）元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式； （2）如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ （3）每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 27. 有一副直角三角板如图①放置其中，，边、在直线上． （1）的度数为　　　　　　； （2）如图②，三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，转速为每秒，当转动到一周时三角板停止转动，在旋转的过程中，当时，求旋转的时间； （3）如图③，在图①的基础上，三角板绕点逆时针旋转，转速为每秒；同时三角板也绕点逆时针旋转，转速为每秒，当与重合时，两个三角板都停止转动．设三角板旋转的时间为秒，则的度数为用含的代数式表示． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是直线上方抛物线上一点，连接，求面积的最大值，及此时点的坐标； （3）如图2，连接，点在直线下方的抛物线上，连接．使与互为余角，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绥化市第四中学校初四数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：B． 2. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数且未知数最高次为2的整式方程，可直接选出答案． 【详解】A．该选项的方程不是整式方程，故本选项不符合题意； B．，是一元二次方程，故本选项符合题意； C．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．整理可得，不是一元二次方程，故本选项不合题意． 故选：B． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了顶点式的顶点坐标，根据的顶点为求解，即可解题． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 4. 有四张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字3，4，5，6，从中同时抽取两张，则下列事件为必然事件的是（ ） A. 两张卡片的数字之和大于6 B. 两张卡片的数字之和等于6 C. 两张卡片的数字之和等于11 D. 两张卡片的数字之和大于11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，根据事件发生的可能性大小判断，熟知必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键． 【详解】解：A、两张卡片的数字之和大于6，是必然事件，符合题意； B、两张卡片的数字之和之和等于6，是不可能事件，不符合题意； C、两张卡片的数字之和等于11，是随机事件，不符合题意； D、两张卡片的数字之和大于11，是不可能事件，不符合题意； 故选：A． 5. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约2亿元，第三天票房收入约6亿元，设票房收入每天平均增长率为，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设票房收入每天平均增长率为，根据“第一天票房收入约2亿元，第三天票房收入约6亿元”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系 解此题的关键． 【详解】解：设票房收入每天平均增长率为， 由题意可得：， 故选：A． 6. 已知一次函数的图像如图，则二次函数在平面直角坐标系中的图像可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像，得到，故，判定即可． 【详解】解：观察函数图像可知：， ∴二次函数的图像对称轴，与y轴的交点在y轴正半轴． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数，二次函数图像的综合，正确读取图像信息是解题的关键． 7. 如图，半径长，点A、B、C是三等分点，D为圆上一点，连接，且，交于点E，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，圆周角定理，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，连接，利用勾股定理的逆定理证明，则由圆周角定理得到，再由点A、B、C是三等分点，得到，即可利用三角形内角和定理求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵半径长， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵点A、B、C是三等分点， ∴， ∴， 故选：A． 8. 正三角形的边心距、半径和高之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆与正多边形．根据题意可以表示正三角形的边心距、半径和高，从而求得它们的比值． 【详解】解：连接并延长交于点D，连接，则， ∵是等边三角形， ∴， 则，平分和， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，在中，，，，是的内切圆，分别与，，相切于点，，，则圆心到顶点的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用勾股定可得，根据切线的性质可得，四边形是正方形，设，可得，则有，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 如图所示，连接， ∵是的内切圆，分别与，，相切于点，，， ∴， ∴，四边形是正方形， ∴， 设， ∴，，， ∴， 解得，，即， ∴， 在中，， 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角形与圆的综合，切线的性质，切线长的运用，勾股定理的知识，掌握切线的性质，切线长的运用是解题的关键． 10. 如图，四边形经过旋转后与四边形重合，则下面各角不是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质对各选项进行判断． 【详解】解：∵四边形ABCD经过旋转后与ADEF重合， ∴∠BAD=∠CAE=∠DAF，它们都等于旋转角． 只有∠CAF不等于旋转角． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 11. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根．根据，得到，由可得m的方程，解m的方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：C． 12. 二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … 0 1 2 … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②；③和3是关于的方程的两个根；④．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据表中的，得到，对称轴，得到，判定①错误；根据抛物线的对称性，判定②、③都正确；根据①中的数据和时，，得到，得到，判定④不正确． 【详解】∵由表格可知，当和时的函数值相等，都为， ∴，抛物线的对称轴是直线， ∴，，a、b异号， ∴，故①错误； 根据抛物线的对称性可知，当和时的函数值相等， ∴，故②正确； ∵根据抛物线的对称性可知，当和时的函数值相等，都为t， ∴和3是关于的方程的两个根；故③正确； 由①知，，， ∴二次函数为， ∵当时，对应的函数值， ∴， ∴，故④不正确． ∴正确的结论有②③，共2个． 故选：B． 二、填空题（共10小愿，每小题3分，共30分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，根据关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．填空即可，，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 14. 将抛物线先向右平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】函数向右平移2个单位，得：； 再向上平移3个单位，得：； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 15. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得． 故答案为：4． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）． 16. 已知点，在二次函数的图像上，则、的大小关系是：_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别计算和时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， ∴， 故答案为： 17. 如图，⊙O直径CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM：OC=3：5，则弦AB的长为______． 【答案】16． 【解析】 【详解】解：连接OA， ⊙O的直径CD=20， 则⊙O的半径为10， 即OA=OC=10， 又∵OM：OC=3：5， ∴OM=6， ∵AB⊥CD，垂足为M， ∴AM=BM， 在Rt△AOM中，AM==8， ∴AB=2AM=2×8=16， 故答案为：16． 18. 一个圆锥的底面周长是6cm，母线长是6cm，则圆锥侧面积展开图的扇形圆心角是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先用圆锥的底面周长得到圆锥的侧面扇形的弧长，然后再利用弧长公式求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长是6cm， ∴圆锥的侧面扇形的弧长为6πcm， ，解得：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查弧长的计算，掌握弧长公式成为解答本题的关键． 19. 不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求概率，概率的计算公式是，其中表示事件A发生的概率，m表示事件A发生的结果数，n表示所有可能的结果数．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：袋子里一共有个球，红球有1个． ∴摸出红球的概率． 故答案为：． 20. 二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④其顶点坐标为；⑤当时，随的增大而减小；⑥；⑦方程有实数解．其中结论正确的序号为________． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点．①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；②根据抛物线与x轴的交点个数即可判断；③根据抛物线的对称轴即可判断；④根据抛物线与y轴的交点和顶点坐标即可判断；⑤根据抛物线的性质即可判断；⑥根据当时y的值即可判断；⑦先说明二次函数的最小值为，则抛物线与没有交点即可判断． 【详解】解：①∵抛物线开口方向向上， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线与y轴的交点的纵坐标为， ∴， ∴，即①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点，即方程有两个不同的解， ∴，即， ∴，②正确； ③∵抛物线的对称轴，即， ∴， ∴，即③正确； ④∵抛物线与y轴的交点坐标为， ∴抛物线的顶点的纵坐标不能为，即④错误； ⑤∵二次函数的图象与x轴交点的横坐标为， ∴抛物线的对称轴为：， 根据抛物线的性质可知： ∴当时，随的增大而减小，即⑤正确； ⑥由函数图象可知：当时，， ∴，即⑥错误； ⑦由图象可得：抛物线过点， 则，解得：， ∴， ∴二次函数的最小值为， ∴二次函数与无交点， ∴方程无实数解，即⑦错误． 故答案为①②③⑤． 21. 对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， ∴， 解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 22. 将绕点A按逆时针方向旋转得到．若，则________． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转得，再根据可得答案． 【详解】解：由旋转得， ， ∵， ∴． 故答案为：70． 三、解答题（共6题，共54分） 23. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据配方法可求解方程； （2）根据因式分解法可求解方程； （3）根据因式分解法可求解方程； （4）根据公式法可求解方程． 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： 或 ∴； 【小问3详解】 解： ∴或 ∴； 【小问4详解】 解： ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，直接写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后的； （3）在（2）的条件下，求点到经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1） 如图所示：点的坐标为：； （2）如图所示； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出即可，关于y轴对称点的坐标纵坐标不变，横坐标互为相反数； （2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可； （3）点到经过的路径长即是，绕点逆时针旋转时扫过的痕迹可知轨迹为以为半径，以为圆心角扇形弧长； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 故； 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形弧长公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 25. 如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，延长CA到O，使AO＝AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接CD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积． 【答案】 （1）证明：连接OD， ∵∠BCA＝90°，∠B＝30°， ∴∠OAD＝∠BAC＝60°， ∵OD＝OA， ∴△OAD是等边三角形， ∴AD＝OA＝AC，∠ODA＝∠O＝60°， ∴∠ADC＝∠ACD＝∠OAD＝30°， ∴∠ODC＝60°+30°＝90°， 即OD⊥DC， ∵OD为半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）S阴影＝2﹣ π． 【解析】 【分析】（1）连接OD，求出∠OAD＝60°，得出等边三角形OAD，求出AD＝OA＝AC，∠ODA＝∠O＝60°，求出∠ADC＝∠ACD＝∠OAD＝30°，求出∠ODC＝90°，根据切线的判定得出即可； （2）求出OD，根据勾股定理求出CD长，分别求出三角形ODC和扇形AOD的面积，相减即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵AB＝4，∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴OD＝OA＝AC＝AB＝2， 由勾股定理得：CD＝ ∴S阴影＝S△ODC﹣S扇形AOD＝ ． 【点睛】本题考查了扇形的面积，切线的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，综合性比较强，有一定的难度． 26. 某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． （1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为x（）元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式； （2）如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ （3）每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）每个毛绒玩具售价应定为50元 （3）每个毛绒玩具售价定为55元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是1250元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据“毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个”可直接列出函数关系式； （2）由（1）及利润、售价及成本的等量关系式可列方程进行求解； （3）设利润为w元，由（2）及配方法可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：； ∴该商品销售量y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）可得：， 解得：， ∵尽可能让利于顾客， ∴； 答：每个毛绒玩具售价应定为50元． 【小问3详解】 解：设利润为w元，由题意得： ， ∵， ∴当时，利润w有最大值，最大值为1250； 答：每个毛绒玩具售价定为55元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是1250元． 27. 有一副直角三角板如图①放置其中，，边、在直线上． （1）的度数为　　　　　　； （2）如图②，三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，转速为每秒，当转动到一周时三角板停止转动，在旋转的过程中，当时，求旋转的时间； （3）如图③，在图①的基础上，三角板绕点逆时针旋转，转速为每秒；同时三角板也绕点逆时针旋转，转速为每秒，当与重合时，两个三角板都停止转动．设三角板旋转的时间为秒，则的度数为用含的代数式表示． 【答案】（1） （2）秒或秒 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平角的定义即可得到结论； （2）如图1，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论；如图，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和得到，求得，于是得到结论； （3）设旋转的时间为秒，由题知，，，根据周角的定义得到，列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解∶∵，， ∴，， ，, 故答案为∶； 【小问2详解】 解：有两种情况：①如解图，当在直线的上方时． ∵，， ． ， ， ． 转速为秒， 旋转时间为秒． ②如解图，当在直线的下方时． ∵，， ． ， ， ． ∴三角板绕点逆时针旋转的角度为． 转速为秒， 旋转时间为秒． 综上所述，当旋转时间为秒或秒时，． 【小问3详解】 解：设旋转的时间为秒，由题知，，， ∴， ∴， 故答案为∶ 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，熟练掌握平行线的性质及旋转的性质是解题的关键． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是直线上方抛物线上一点，连接，求面积的最大值，及此时点的坐标； （3）如图2，连接，点在直线下方的抛物线上，连接．使与互为余角，求点的坐标． 【答案】（1） （2）面积的最大值为，此时点的坐标 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，互余的定义，勾股定理是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，设，则，根据三角形的面积公式表示出面积，根据二次函数的性质求得的面积的最大值，以及的值，即可求解； （3）由题意可得，设直线与轴交于点，过点作交于点，则，设则，则 ， ，， ，在中，解得，可求点的坐标，进而根据直线与抛物线的交点即为点，联立直线与抛物线解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入， ， 解得， ； 【小问2详解】 当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 过点作轴交于点， 设，则， 是直线上方抛物线上一点， 面积， 当时，的面积有最大值，此时； 【小问3详解】 ，， ， 设直线与轴交于点，过点作交于点， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ， ， 设直线的解析式为， 代入，得， 解答， 直线的解析式为， 当时，解得或， 当时，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $