学案10 复习课集合与常用逻辑用语-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

综上所述，a≤1. 故选B.] 2a< [命题p:Vx∈R,x2十x十a≠0的否定7p: 3x∈R,x2十x十a=0,因为命题p是假命题，所以一p为真 命题，所以△=12-4a≥0，解得a≤年.] 课堂达标 1.D[命题“3x>0,x2+1=0”的否定为“Vx>0,x2+1≠ 0”.故选D.] 2.C[根据题意命题力是全称量词命题，所以其否定是存在量 词命题，即7p:3x∈R,x2<0. 故选C.] 3.AC[全称量词命题的否定为存在量词命题，所以Hx∈R, x2≠x的否定是]x∈R,x2=x;存在量词命题的否定为全 称量词命题，所以]x∈R,x2十x十1<0的否定是Hx∈R, x2+x+1≥0.] 4.{aa>8} [因为命题“3x∈R,2x2+3x十a≤0”是假命 题，所以其否定“Hx∈R,2x2十3x十a>0”是真命题，等价于 方程2x2+3x+a=0无实根，所以△=32一4×2Xa<0,解 得。>日故实数a的取值范国是{@e>}门 5.解：(1)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似.因 为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三 角形都相似.因此这是一个假命题 (2)该命题的否定：Vx∈R,x2-x十1≠0.因为对任意x∈ R-z+1-(）》'+>0, 所以这是一个真命题. 6.解：(1)举出反例：直线y=1与x轴不相交，故原命题为假 命题. 命题的否定：平面直角坐标系下，存在一条直线不与x轴 相交. (2)因为二次函数图象均有对称轴，故原命题为真命题. 命题的否定：存在一个二次函数的图象不是轴对称图形 (3)因为三角形内角和为180°，故原命题为假命题 命题的否定：任意一个三角形，它的内角和不小于180°」 (4)举出例子说明：有一个角为60°的菱形满足四个顶点不在 同一个圆上，故原命题为真命题 命题的否定：任意一个四边形，它的四个顶点都在同一个 圆上. 学案10复习课集合与常用逻辑用语 课堂活动 活动二根据集合的含义解决相关问题 新知应用 1.C[因为A={0,1,2},又集合B中元素为x-y,且x∈A, y∈A, 所以x的可能取值为0,1,2，y的可能取值为0,1,2. 当x=0,y=0或1或2时，对应的x一y的值为0，一1，一2； 当x=1,y=0或1或2时，对应的x一y的值为1,0，一1； 当x=2,y=0或1或2时，对应的x一y的值为2,1,0. 综上可知，集合B={-2,一1,0,1,2}， 所以集合B中元素的个数为5.] 2.AC[,点(1,2)在函数y=x2十1的图象上，有(1,2)∈B,A 选项正确；集合A为数集，集合B为，点集，A≠B,B选项错 误；函数y=x2十1的函数值y的取值范围为{yy≥1}，则 A={y|y≥1}，0庄A,C选项正确；集合B为点集，2庄B,D 选项错误.故选AC.] 3.A[由M={x|x∈P且x任Q}知，M={1}.故选A.] 活动三掌握集合间的关系和交、并、 补运算及应用 新知应用 1.B[依题意，有a一2=0或2a一2=0.当a一2=0时，解得 a=2,此时A={0,一2}，B={1,0,2},不满足A三B;当2a 2=0时，解得a=1,此时A={0,-1},B={-1,0,1},满足 A二B.所以a=1,故选B.门 2.解：(1)由A={xx≤-2或x≥5}，B={x|x≤2}， 可知AUB={xx≤2或x≥5}.又全集U=R,故Cu(AU B)={x|2<x<5}. (2)由(1)得D={x|2<x<5).由C∩D=C,得C二D.①当 C=时，有-a<2a-3,解得a>l;②当C≠0时， 2a-3-a, 2a-3>2,解得a∈ -a<5, 综上可知，a的取值范围是{a|a>1}. 活动四利用充分、必要、充要条件的概念求解 相关问题 新知应用 1.B[法-：若a2=b2,则当a=-b≠0时，有a2十b2=2a2, 2ab=一2a2,即a2+b2≠2ab,所以由a2=b2中a2+b2=2ab; 若a2+b2=2ab,则有a2+b2-2ab=0,即(a-b)2=0,所以 a=b,则有a2=b2,即a2十b2=2ab→a2=b2.所以“a2=b2” 是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B. 法二：因为“a2=b2”台“a=-b或a=b”,“a2+b2=2ab”曰 “a=b”,所以本题可以转化为判断“a=一b或a=b”与“a= b”的关系，又“a=一b或a=b”是“a=b”的必要不充分条件， 所以“a2=b2”是“a2十b2=2ab”的必要不充分条件.故选B.] 2.解：“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q二P,所以 a一4L解得-1<a<5,所以实数a的取值范国为{a-1 a+4≥3， ≤a≤5}. 3.解：.q是p的充分不必要条件， .B军A, a≤-4，成 3a≥-2， a<0 a<0, 得将a<-4或-号<a<0 的取植元国为la-台<a<0友a≤-4小 活动五掌握全称量词命题、存在量词命题的 否定和真假命题判断的方法 新知应用 1.B[对于p而言，取x=一1，则有x+1|=0<1,故p是假 命题，门力是真命题， 对于q而言，取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题， 一q是假命题， 综上，p和q都是真命题.故选B.] 9 2.AC[命题p:“Vx∈R,x2十1≠0”的否定是“3x∈R,x2十 1=0”.力是真命题，7p是假命题.故选AC.] 课堂达标 1.A[由题意，当x=0时，y=x2=0,此时A={0,0},不满足 集合中元素的互异性； 当y=0时，x=x2且x≠0，则x=1,此时A=B={0,1},满 足条件.故x一y=1.故选A.] 2.D[因为M={x∈N|0≤x<2}={0,1}, 所以集合M的子集的个数为2=4.故选D.] 3.A[法一（列举法）：因为M={·,-2,1,4,7,10,…},N= {…,-1,2,5,8,11,…},所以MUN={…,-2,-1,1,2,4, 5,7,8,10,11,…},所以Cu(MUN)={…,-3,0,3,6,9, …},其元素都是3的倍数，即C(MUN)={x|x=3k,k∈ Z},故选A. 法二（描述法）：集合MUN表示被3除余1或2的整数集， 则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.] 4.ACD[A={0,2},.☑二A,-2氏A,{0,2}二A,A二{y y<3}.故选ACD.] 5.ACD[对于A,命题“3x∈R,x2十1>3x”的否定是“Hx∈ R,x2十1≤3x”,A错误； 对于B,命题“3x∈R,x2+x十1<0”的否定是“Hx∈R,x2 十x+1≥0”，B正确； 对于C,a,b,c∈R,ab2>cb2能推出a>c,但a>c推不出ab2 >cb2,C错误； 对于D,命题“3x∈R,x2+4x+m=0”为假命题，即“Hx日 R,x2十4x十m≠0”为真命题，即△=42-4m<0,即m>4,D 错误. 故选ACD.] 6.AC[A.“Hx∈R,x2十2>0”，其否定为“3x∈R,x2+2≤ 0”,假命题； B.“Vx∈N,x4≥1”，其否定为“]x∈N,x4<1”,真命题； C.“]x∈Z,x3<1”,其否定为“Hx∈Z,x3≥1”，假命题； D.“x∈R,>0”,其否定为“3x∈R,≤0”，真命题 故选AC.] 7.土2[.CvA={4},A={1,a},.a2=4,a=士2，经检验满 足题意.] 8.必要不充分条件[不积跬步，无以至千里，等价于“积跬步” 不一定“至千里”，但“至千里”必须“积跬步”.] 第二章一元二次函数、方程和不等式 学案11不等关系与不等式 课堂活动 活动一用不等式（组）表示不等关系 新知导学 问题1提示：对于(1)，设在该路段行驶的汽车的速度为 okm/h,“限速40km/h”就是v的大小不能超过40，于是 0<040. 对于(2)，由题意，得≥2.5%， p≥2.3%. 对于(3)，设△ABC的三条边为a,b,c,则a十b>c,a一b<c; a+c>b,a-c<b;b+c>a,b-c<a. 对于(4)，如图，设C是直线AB外的任意一点，CD垂直于 AB,垂足为D,E是直线AB上不同于D的任意一，点，则CD <CE. 110 AE D B 问题2提示：设提价后每本杂志的定价为x元，则销售总收入 为(8-2,5×0.2)z万元.于是，不等关系“销售总收入不 0.1 低于20万无”可以月不等式表示为(8-。5×0.2） ≥20. 求出不等式的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围， 新知应用 1.解：①最低限速50km/h,v≥50.②限制重量10t, 0<m≤10.③限制高度3.5m,0<h≤3.5.④限制宽度3m, 0<x≤3.⑤通行时间7：30一10：00,7.5≤t≤10. 2.解：(1)0<h≤4. (2)a+b≥0. @20w+100 活动二实数大小的比较 新知导学 问题3提示：如图，设a,b在数轴上所对应的点分别是A,B. 当点A在，点B的左边时，a<b;当，点A在点B的右边时，a>b. a<b a>b 新知生成 a>b a>b a=b a=b a<b a<b 新知应用 1.解：因为(x十2)(x十3)一(x十1)(x+4) =(x2+5.x+6)-(x2+5.x+4) =2>0, 所以(x十2)(x十3)>(x十1)(x十4). 2.解：3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1) =3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1). 由x≤1，得x-1≤0，而3x2+1>0, ∴.(3x2+1)(x-1)≤0， ∴.3x3≤3x2-x+1. 母题变式： 解：3x3-(3x2-x十1)=(3x3-3x2)十(x-1) =(3x2+1)(x-1). .3x2+1>0, 当x>1时，x-1>0,.3x3>3x2-x十1； 当x=1时，x-1=0,∴3x3=3x2-x十1； 当x<1时，x-1<0,3x3<3x2-x十1. 活动三掌握重要不等式 新知导学 问题4提示：设直角三角形的两条直角边的长为a,b(a≠b), 那么正方形的边长为√a2十b2,则正方形ABCD的面积为 a2十b2.在正方形ABCD中，有4个全等的直角三角形，4个 直角三角形的面积和为2ab.由于正方形ABCD的面积大于 4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式a2十b2 >2ab.人教A版数学必修第一册 课 学案10复习课 集合与常用逻辑用语 记 昆学习任务 1.查阅教材，建构单元知识体系。 2.能根据集合的含义解决相关问题. 3.能利用集合间的基本关系求参数的范围 4.掌握集合的交、并、补运算及应用. 5.能熟练利用充分、必要、充要条件的概念求解相关问题. 6.掌握全称量词命题、存在量词命题的否定和真假命题判断的方法， 课堂活动 「方法总结」1.若已知集合是用描述法给出的， 则读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键. 活动一 查阅教材，构建单元知识体系 2.若已知集合是用列举法给出的，则整体把握元 含义 素的共同特征是解题的关键。 例举洇 集合 表示方法 述法 3.对集合中的元素要进行验证，保证集合元素的 包含 集合间的基本关系[ 相等 互异性. 集合与常用逻 集合的运算 交集 活动三掌握集合间的关系和交、并、补 胼集 补集 运算及应用 辑用 充分条件 今新知应用 语 必要条件 常用逻 充要条细 1.(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B= 用语 全称量词 {1,a-2,2a-2},若A二B,则a=() 存在量词 含量词的命题的否定 A.2 B.1 c号 D.-1 活动二根据集合的含义解决相关问题 2.设全集U=R,集合A={x|x≤-2或x≥5}， B={x|x≤2}.求： 今新知应用 (1)Cu(AUB); 1.设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈ (2)记Cu(AUB)=D,C={x2a-3≤x≤ A,y∈A}中元素的个数为 a},且C∩D=C,求a的取值范围. A.1 B.3 C.5 D.9 2.(多选)已知集合A={y|y=x2+1},集合B= {(x,y)|y=x2+1},下列关系正确的是() A.(1,2)∈B B.A=B C.0￠A D.2∈B 3.(2023·上海卷)已知集合P={1,2},Q={2, 3},若M={xx∈P且x庄Q},则M=( A.{1》 B.{2) C.{1,2} D.{1,2,3} 1128 复习课集合与常用逻辑用语学案10 「方法总结」1.若所给集合是有限集，则首先把 3.设p:实数x满足A={xx≤3a或x≥a(a< 听 集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并 0)},q:实数x满足B={x一4≤x<-2},且 课 集、补集的定义求解.另外，针对此类问题，在解答 q是p的充分不必要条件，求实数a的取值 记 过程中也常常借助Venn图来求解，这样处理比 范围. 较直观形象，且解答时不易出错， 2.若所给集合是无限集，则常借助数轴，首先把已 知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据交 集、并集、补集的定义求解，这样处理比较形象直 观，解答过程中要注意端点问题， 活动四利用充分、必要、充要条件的 概念求解相关问题 新知应用 「方法总结」充分条件与必要条件的判断 1.(2023·天津卷)已知a,b∈R,则“a2=b2”是 “a2+b2=2ab”的 (1)直接利用定义判断：若p→q,则力是q的充分： () 条件，q是饣的必要条件. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 (2)利用等价命题的关系判断：p→q的等价命题 是一q→7p,即若q→7饣成立，则p是q的充 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分条件，q是p的必要条件. 2.已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|1<x (3)利用集合间的包含关系判断：如果p,q满足 的集合分别是P,Q,若P二Q,则p是q的充分条 <3},“x∈P"”是“x∈Q”的必要条件，求实数a 的取值范围. 件；若Q二P,则力是g的必要条件；若P=Q,则 p是q的充要条件. 活动五掌握全称量词命题、存在量词 命题的否定和真假命题判断的方法 新知应用 1.(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p:Hx∈R, |x+1>1;命题q:3x>0,x3=x,则( ) A.p和q都是真命题 B.一p和q都是真命题 C.力和q都是真命题 D.7p和一q都是真命题 2.(多选)关于命题p:“Vx∈R,x2十1≠0”的叙 述，正确的是 ( A.7p:3x∈R,x2+1=0 B.7p:Hx∈R,x2+1=0 C.p是真命题，一p是假命题 D.p是假命题，一p是真命题 2910 人教A版数学必修第一册 听「方法总结」(1)一般地，写含有一个量词的命 4.(多选)已知集合A={x|x2-2x=0},则有 题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题 ( 笔 还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应 A.0二A B.-2∈A 结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存 C.{0,2}二A D.A二{yly<3} 在量词改成全称量词，同时否定结论. 5.(多选)下列说法错误的是 ( ) (2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的 A.命题“]x∈R,x2+1>3x”的否定是“Hx∈ 量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则写出 R,x2+1<3x” 命题的否定 B.命题“3x∈R,x2+x+1<0”的否定是“Vx ∈R,x2+x+1≥0” 课堂达标 C.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件 1.设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,则 是“a>c” x一y= D.若命题“3x∈R,x2十4x十m=0”为假命 A.1 B.0 题，则实数m的取值范围是{mm≤4}》 C.-1 D.1或-1 6.(多选)下列命题的否定是假命题的是() 2.集合M={x∈N0≤x<2}的子集的个数是 A.Vx∈R,x2+2>0 B.Vx∈N,x4≥1 ( C.]x∈Z,x3<1 A.16 B.8 C.7 D.4 D.V-CR.1-0 3.(2023·全国甲卷)设全集U=Z,集合M={x| 7.已知集合U={1,a,a2},A={1,a},CuA= x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z}, {4},则a= 则Cu(MUN)= ( 8.“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江 A.{x|x=3k,k∈Z} 海.”这句话阐述了做事情不一点一点积累，就 B.{x|x=3k-1,k∈Z} 永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步” C.{x|x=3k-2,k∈Z) 是“至千里”的 (填“必要不充分条件” D.☑ “充分不必要条件”“充要条件”) 课后反思 提示请完成《章未综合测评（一）》 1130