山西省长治市长子县第一中学校2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

《长子一中高二数学九月月考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B C B C D D AD BCD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】利用绝对值的几何意义，先求出集合，再根据交集的定义求解即得. 【详解】由， 则， 故选：C． 2．B 【分析】根据复数的运算法则，可得，结合复数的几何意义，复数的模、复数的概念及共轭复数的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，复数， 可得复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，所以A错误； 又由，所以B正确； 由复数的基本概念，可得复数的虚部为，所以C错误； 由共轭复数的概念，可得，所以D错误. 故选：B. 3．B 【分析】根据空间向量线性运算的坐标运算及向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得向量与. 【详解】因为，， 所以， 因为与垂直， 所以， 解得， 所以， 所以， 故选：B. 4．C 【分析】由百分位数、众数、中位数、平均数的定义求出即可. 【详解】将得分数据按升序排列为：8，9，12，12，14，17，17，17，18，20， 对于C：因为，所以第85百分位数为第9位数，即为18，故C正确； 对于B：众数为17，故B错误； 对于A：中位数为：，故A错误； 对于D：平均数，故D错误； 故答案为：C 5．B 【分析】根据题意利用基本不等式以及常用不等式逐项分析判断． 【详解】因为正实数满足， 对于A：因为，当且仅当， 即时，等号成立，所以的最小值是4，故A正确； 对于B：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是，故B错误； 对于C：因为，即， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是，故D正确. 故选：B． 6．C 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再根据充要条件的定义判断可得； 【详解】解：直线，直线， 时，，，即，， 当时，，解得， “”是“”的充要条件． 故选：． 7．D 【分析】首先证明平面，直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离公式计算即可. 【详解】，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的法向量为，则,令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离是． 故选：D 8．D 【分析】由函数的单调性可求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是减函数， 则，解得． 故选：D． 9．AD 【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量，以及线面的位置关系求得正确答案. 【详解】若，则，即有，即，即有3，故A正确，C错误； 若，则，即有，可得， 解得，则，故B错误，D正确. 故选：AD. 10．BCD 【分析】利用概率的性质判断A；利用相互独立事件的意义判断B；利用事件的运算及概率运算判断C；利用相互独立事件的意义、互斥事件的意义判断D. 【详解】对于A，由事件，得，当且仅当取等号，A错误； 对于B，对任意事件，，，B正确； 对于C，由事件M，N互斥，得，，C正确； 对于D，由事件M，N相互独立，，，因此M，N不互斥，D正确. 故选：BCD 11．BCD 【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误. 【详解】A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对. 故选：BCD 12．（答案不唯一） 【分析】根据幂函数、偶函数、函数的单调性等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，是幂函数，偶函数，且在区间上单调递减， 所以中，是偶数且为负数， 所以符合题意. 故答案为：（答案不唯一） 13． 【分析】由投影向量计算公式即可直接求解. 【详解】向量在向量上的投影向量是： 故答案为： 14． 【分析】点代入，得，求得；利用整体思想是的子集，列不等式求出，并赋值求解即可. 【详解】因为函数的图象经过点， 所以，因为，所以． 时，， 因为在区间上单调递增， 所以 所以， 解得，， 因为，所以， 当时，， 又因为，所以． 当时，这样的不存在. 故答案为：；. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示以及正弦定理求解； （2）利用余弦定理和面积公式求解. 【详解】（1）因为向量与共线， 所以， 边化角可得，， 因为，所以，所以， 即， 因为，所以. （2）由余弦定理，可得， 整理得，解得或（舍）， 所以， 即，解得. 16.(1) (2) 【分析】（1）利用向量运算法则将表示为，再根据向量模长公式展开，结合已知条件，计算，最后开方得到. （2）先用向量表示和，计算，通过向量数量积运算律展开并代入已知条件计算，然后分别计算和，利用向量模长公式结合已知条件求解，最后根据向量夹角公式，结合直线所成角的范围，求出直线和所成角的余弦值. 【详解】（1）由题可知，在平行六面体中，，，则， . 因为底面是边长为1的正方形，所以，则. ， . 因为，则 =. 则. 故的长为. （2）在平行六面体中， 因为，，所以 . 又 ，， 所以. 设直线和所成角为，因为，所以. 故直线和所成角的余弦值为. 17．(1)，平均数约为74 (2)6人 (3)，36 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，根据平均数的计算公式计算平均数即可； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的市民人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的市民人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【详解】（1）由频率之和为结合频率分布直方图可得 解得， 样本成绩的平均数约为 （2）由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，，的三组市民有（人）， 其中样本答卷成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）． （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差 18．(1)证明见解析； (2)①；② 【分析】（1）先由题设依次求出、，再由线面垂直判定定理即可得证； （2）①取中点，连接、，求证平面得到为直线与平面所成角，接着由正弦函数定义求出即可求解； ②建立适当空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量即可由空间角的向量法公式计算求解. 【详解】（1）因为，，所以， 又，所以，， 所以， 所以，则，即， 因为平面，平面， 所以，又，、平面， 所以平面； （2）①取中点，连接、，则由（1）得，且 因为平面，平面， 所以，又，、平面， 所以平面，所以为直线与平面所成角， 所以 ②由题意可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 显然是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 19．(1)， (2)单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质列方程，解方程即可； （2）根据单调性的定义判断和证明； （3）根据奇函数的性质将不等式转化为，然后根据单调性列不等式，得到，最后求最值即可. 【详解】（1）由题意得，解得， ，所以. （2）在定义域中单调递减，证明如下： 设，， 则 ， 因为，所以，，即， 所以在定义域中单调递减. （3）不等式可整理为， 即， 因为单调递减，所以，即对于恒成立， 则， 当时，取得最小值， 所以的取值范围为. 答案第8页，共8页 答案第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $长子一中2025~2026学年高二年级9月月考 数学试题 (考试时间：120分钾试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级等填写在答愿卡试卷指定位置上并检查条形码是否正确。 2.回答选择圆时，选出每小愿答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择愿时，将答案写在答题卡相应区域内写在本试卷 上无效 3。考试结束后，将答题卡收回. 4.考试范围：人教A版必修第一册+必修第二册+选择性必修第一册（第二章第二节） 第I卷（选择题58分） 一、单选题：本题共8小题，每小愿5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 要求的。 1.已知集合A={x-2<x<0,B={xs1,则AnB=() A.x|-1sxs1 B.{x-2<x<0 C.{xl-1sx<0 D.{x-2<x≤1} 2.已知复数z= 则下列结论正确的是() A.z在复平面对应的点位于第三象限 B.z5 C.z的盛部是2i D.=1+i 3.已知空间向量ā=(1，m,2),6=(-21,2),若2a-6与垂直，则同等于（) A婆 B.35 c. 2 2 4.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”，已知某运动员在2025年篮球联赛中连续10场的得分数据为： 9,12,17,8,17,18,20,17,12,14,则这组数据的() A.中位数为17 B.众数为12 C.第85百分位数为18 D.平均成绩为14 高二9月考卷·第1页，共4页 5.已知正实数m,n满足m+n=1,则下列说法不正确的是（) A.上+上的最小值是4 B.m+m的最大值是) m万 C.√m+√的最大值是√迈 D.√m的最大值是) 6.己知直线：+2y-1=0,直线马：8x+y+2-a=0,则“a=-4“是“川"的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知4(，0,1)， 兮0)cQ0.M兮，NQ,则直线aw到平面4Bc的距离为 () A. B.6 C.6 D.6 12 6 (a-5)x-2,x22 8.函数fx)= x2-2(a+1)x+3a,x<2' 若对任意55，都有)<0成立，则 为一为 实数a的取值范围为() A.（-o,1] B.(1,5) C.[1,5) D.[1,4] 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线1的一个方向向量为ā=(m,13),平面a的一个法向量为5=(-2，m,1),则（) A.若1∥a,则2m-n=3 B.若l⊥a,则2m-n=3 C.若l∥a,则mn+2=0 D.若l⊥a,则mn+2=0 10.下列论述正确的是（) A.若事件MsN,则P(M)<P(N) B.必然事件Ω与任意事件相互独立 C.若事件M,N互斥，且P(M)>0,P(N)>0,则P(MU网)=1 D.若事件M,N相互独立，且P(M)>0,P(N)>0,则事件M,N不互斥 11.己知关于x的不等式ax2+br+cs0的解集为{x|x≤4或x23},则（) A.a>0 B.a+b+c>0 C.不等式bx+c>0的解集为{中<12吲 D.不等式a2-br+a<0的解集为 付 第2页，共4页 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.写出同时满足下列条件的一个函数的解析式f()= ①f(x)为幂函数： ②f(x)为偶函数： ③f(x)在区间(0，+∞)上单调递减， 13.ā=(-21,0)，=(（1,0,1)，则向量a在向量i上的投影向量是 4.已知函数=or+po>0p水引的图象经过点40 则P=一：若∫(x)在区间 (怎)上单调道地，则口的取值范西为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且向量m=(a,b)与 元=（√3cosA,sinB)共线， (I)求A: (2)若a=√3，b=3,求BC边上的高h. 16.(本小题满分15分)如图，在平行六面体ABCD-A'B'CD中，底面ABCD是边长为1的正方 形，侧棱AA的长为2，且∠AAB=∠AAD=120.求： (I)AC的长： (2)直线BD与AC所成角的余弦值 17.(本小题满分15分)某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛， 从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数） 分成六组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直 方图. 高二9月考卷·第3页，共4页 4频率/组距 0.025 0.020 0.010 0.005 0405060708090100成/分 (I)求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数： (②)在样本答卷成绩为[70,80)，[80,90)，[90,100]的三组市民中，用分层油样的方法抽取13人，则 样本的答卷成绒在[70,80)中的市民应抽取多少人？ (3)若落在[50,60)的平均成级是57，方差是2，落在[60,70)的平均成锁为69，方差是5，求这两组 成绩的总平均数：和总方差52 18.(本小题满分17分)如图，四梭锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB/ICD, AD=DC=1,BC=2. (I)证明：BC⊥平面PAC: (②)若直线PC与平面PAB所成角的正弦值为 6 ①求线段PA的长： ②求平面PBC与平面PAD所成角的余弦值， 9.(本小题满分1门分)已知定义在R上的函数/6=是奇函数 (1)求a,b的值： (2)判断并证明函数f()在定义域中的单调性： (3)若对任意的teR,不等式f-2)+f(22-k)<0恒成立，求实数k的取值范围. 第4页，共4页