精品解析：福建省龙海第一中学2024-2025学年高三上学期第二次阶段性考试数学试卷

2025届高三年第二次阶段性考试数学试卷 一、单选题，共8题，每题5分 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过解一元二次不等式可求得集合. 【详解】由可得，解得， 所以. 故选：D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，由条件结合复数运算可得，再利用复数的模长公式求结论即可. 【详解】设，，则， 所以，又， 所以， 所以， 故选：B 3. 若，则恒成立的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求得，所以，结合各选项可知恒成立的一个充分条件为. 【详解】当时，，当且仅当时等号成立， 因为恒成立，所以， 因为，， 其中，所以， 结合各选项知恒成立的一个充分条件为. 故选：B. 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数零点存在性定理判断即可 【详解】函数 是上的连续增函数, , 可得, 所以函数 的零点所在的区间是. 故选：C 5. 若直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线过圆心得到，再结合乘“1”法即可求解. 【详解】由，可得圆心坐标， 因为直线过圆心， 所以，即， 所以 （当且仅当，即）取等号， 所以的最小值为， 故选：B 6. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系，结合角的取值范围，可求角的各种三角函数值. 【详解】因为，所以. 因为 由①得，代入②得：. 整理得：， 结合，所以， 所以， 所以. 故选：B 7. 已知，，，则（ ） A. c＞b＞a B. a＞b＞c C. c＞a＞b D. b＞a＞c 【答案】A 【解析】 【分析】根据数的结构构造函数，利用导数法研究函数的单调性，最后利用单调性比较大小即可. 【详解】令，则，所以在上单调递增， 又，所以，又，，， 所以c＞b＞a， 故选：A 8. 已知为正数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令,,利用导数可讨论两者的单调性，结合可判断各项的正误. 【详解】令,则, 由于,,故，所以在上单调递减. 而，故当时，，当时，. ，则， 故在上为减函数，而， 故当时，，当时，， 取，令，故， 此时，，故AC错误. 取，令，故， 此时，故B错误. 对于D，若，则，故，故； 若，则，故，故； 而，则，故即， 故. 故选：D. 二、多选题，共3题，每题6分，部分选对得部分分数，有选错得0分 9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AC 【解析】 【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确； 对于选项B：的定义域为， 的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：的定义域，的定义域， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C正确； 对于选项D：的定义域为，的定义域为， 定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故D错误. 故选：AC. 10. 定义在R上的函数满足，函数的图象关于对称，则( ) A. 的图象关于对称 B. 4是的一个周期 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对A：由函数的图象关于对称可推得的图象关于对称. 对B：令,由及可得到的图象于对称且关于对称，故4为的一个周期,而不是的一个周期. 对C：举例说明. 对D：由的周期性求得的值. 【详解】对A：因为关于对称,有， 令，则，的图象关于对称.选项A正确； 对B：由题设条件得， 令，有，则的图象于对称， 因为，有， 即，则的图象关于对称. 所以，又，所以， 所以，所以， 所以4为的一个周期，即， 则.选项B不正确； 对C：由上知图象关于对称，对称， 则令符合题意，而.故C不正确; 对D：因为图象关于对称，所以， 故，有.选项D正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：令是解题的关键，通过研究的对称性，周期性得到的性质，关于的求值问题也转化为的求值问题. 11. 已知平面直角坐标系中，动点满足的方程为，其中，，则下列结论正确的是（ ） A. 点的横坐标的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 面积的最大值为 D. 的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据Q点方程，结合范围，分析可判断A的正误；根据Q点方程，化简计算，根据范围，可判断B的正误；根据三角形面积公式，分析可得当时，面积最大，此时在以为直径的圆上，联立可求得Q点坐标，检验即可判断C的正误；找到特殊的Q，检验可判断D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：由， 得，当且仅当时取等号， 所以，即， 解得，故A错误. 选项B：由， 得， 则， 所以，即， 因为， 所以，则， 所以的取值范围是，故B正确. 选项C：因为， 所以，即， 设的面积为S，则， 当且仅当时取等号， 此时点在以为直径的圆上，则方程为， 联立，解得，符合题意， 所以面积的最大值为，故C正确. 选项D：设，满足轨迹方程， 但此时，，，不符合题意，故D错误. 故选：BC 三、填空题，共3题，每题5分 12. 小明有3个红球和2个白球，小李有2个红球和2个白球.先从小明手中随机取出一个球给小李，再从小李手中随机取出两个球，用事件表示从小李手中取出的两球是红球，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】用全概率公式求解. 【详解】用表示“从小明手中随机取出的球是红球 ”，则表示“从小明手中随机取出的球是白球” 则， 所以 ， 故答案为：. 13. 已知数列的前项和为，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据与的关系求和当，时的表达式，由此可得结论. 【详解】因为数列的前项和为， 所以， 当，时，， 又，故满足关系， 所以， 故答案为： 14. 已知函数，，若存在3个零点，则实数的取值范围为______． 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意，转化为与的图象有3个不同的交点，画出和的图象，结合图象，得到，即可求解. 【详解】由存在3个零点，即方程有3个实数根， 即函数与的图象有3个不同的交点， 因为函数，画出函数和的图象，如图所示， 结合图象，将点代入，可得，此时， 要使得函数和的图象有3个不同的交点， 则满足，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知数列中，为的前项和，是首项为1，公差为1的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）若，记数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2） ， 所以， 因为，所以， 由于单调递减，所以单调递增，所以当时，最小，为，故． 【解析】 【分析】（1）根据的条件求出，再根据求出的通项公式； （2）使用裂项相消法求出，再根据表达式可判断出的范围． 【小问1详解】 由已知有，所以，解得， 当时，， 又满足上式，所以． 【小问2详解】 略 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，平面平面分别是的中点，与交于点． （1）求证：平面； （2）平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明：因为为正三角形，是中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， ， 又在平面内且相交，故平面 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直性质定理证明平面，可得，再利用向量法证明，然后由线面垂直判定定理可证； （2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别为的中点，， 又平面过且不过，平面． 又平面交平面于，故，进而， 因为是中点，所以是的中点． 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，， 设平面法向量为， 则，即，取，得， 则， 因为，所以. 17. 已知椭圆的离心率是，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 【答案】（1） （2）证明如下： 由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以线段的中点是定点. 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 18. 某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数：①；②；③（以上三式中均为常数，且）. （1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数（不必说明理由）？ （2）若.求出所选函数的解析式（注：函数定义域是，其中表示8月1日，表示9月1日，以此类推）. （3）在（2）的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌. 【答案】（1）选模拟函数 （2）f（x）＝x3－6x2＋9x＋4（0≤x≤5） （3）月、月 【解析】 【分析】（1）根据题中价格的变化趋势可选择合适的函数模型； （2）由，代入所选函数，如此即可求出的值，问题即可解答； （3）运用导数确定出函数的单调性，然后结合题目信息分析即可解答题目. 【小问1详解】 因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数. 【小问2详解】 对于， 由，可得，. 又，所以， 所以. 【小问3详解】 因为， 所以， 令，得. 所以函数在内单调递减， 所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌. 19. 已知数列的项数有限，且满足以下两个条件：①，②.称该数列为阶好数列. （1）若为等比数列，写出阶好数列的各项(不必说明理由). （2）若为等差数列，且为阶好数列，求该数列的通项(，用、表示). （3）记阶好数列的前项和为，若存在()满足，则数列能否为阶好数列?请说明理由. 【答案】（1）或 （2），其中. （3） 因为，故. 故， 结合绝对值不等式取等的条件可得. 故， 当时， ， 所以， 所以与不能同时成立， 所以数列不能为阶好数列. 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题设条件可求且或，故可求数列各项； （2）设等差数列的公差为，根据条件①可得，，结合②可求公差和首项，故可得通项； （3）结合绝对值不等式的性质可得且，据此可得各项的性质，从而可判断不存在. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，因为，故， 否则，这与为等比数列矛盾. 故，而，故， 故，而，故，即或， 故4阶好数列的各项为：或. 【小问2详解】 设等差数列的公差为， 由，得，即， 因，则，从而，. 若，则为常数列且常数为0，这与矛盾. 当时，因，，则有， 所以，解得. 由得，则. 所以. 当时，同理可得，即. 由得，则， 所以. 综上，，其中. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三年第二次阶段性考试数学试卷 一、单选题，共8题，每题5分 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则恒成立的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 5. 若直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. c＞b＞a B. a＞b＞c C. c＞a＞b D. b＞a＞c 8. 已知为正数，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题，共3题，每题6分，部分选对得部分分数，有选错得0分 9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 定义在R上的函数满足，函数的图象关于对称，则( ) A. 的图象关于对称 B. 4是的一个周期 C. D. 11. 已知平面直角坐标系中，动点满足的方程为，其中，，则下列结论正确的是（ ） A. 点的横坐标的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 面积的最大值为 D. 的取值范围是 三、填空题，共3题，每题5分 12. 小明有3个红球和2个白球，小李有2个红球和2个白球.先从小明手中随机取出一个球给小李，再从小李手中随机取出两个球，用事件表示从小李手中取出的两球是红球，则___________. 13. 已知数列的前项和为，则_________. 14. 已知函数，，若存在3个零点，则实数的取值范围为______． 四、解答题 15. 已知数列中，为的前项和，是首项为1，公差为1的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）若，记数列的前项和为，证明：． 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，平面平面分别是的中点，与交于点． （1）求证：平面； （2）平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小． 17. 已知椭圆的离心率是，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 18. 某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数：①；②；③（以上三式中均为常数，且）. （1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数（不必说明理由）？ （2）若.求出所选函数的解析式（注：函数定义域是，其中表示8月1日，表示9月1日，以此类推）. （3）在（2）的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌. 19. 已知数列的项数有限，且满足以下两个条件：①，②.称该数列为阶好数列. （1）若为等比数列，写出阶好数列的各项(不必说明理由). （2）若为等差数列，且为阶好数列，求该数列的通项(，用、表示). （3）记阶好数列的前项和为，若存在()满足，则数列能否为阶好数列?请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $