1.3 勾股定理的应用（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

 1.3　勾股定理的应用

1.能从实际问题中抽象出几何模型以及发现内在的数量关系，发展抽象能力，培养用数学眼光观察世界的习惯.

2.灵活运用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养学生的数学语言表达能力、提高学生分析问题和解决问题的能力.

重点：能运用勾股定理及其逆定理解决实际问题.

难点：能熟练运用勾股定理解决最短路径问题.

知识链接

回顾前面学过的内容，回答问题：

1.勾股定理的内容是什么？直角三角形→a2＋b2＝c2.

2.勾股定理的逆定理是什么？a2＋b2＝c2→直角三角形.

创设情境——见配套课件

探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用

活动1：动手折一折

用一张直角三角形纸片折叠，你能发现折叠前后两部分图形有什么关系吗？说明理由.

如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC＝5cm，BC＝10cm，将△ABC折叠，使得B与A重合，折痕为DE，你能求出CD的长吗？

 

问：（1）本题已知什么？求的是什么？

（2）本题将△ABC折叠，使得B与A重合，折痕为DE，可得到什么？依据是什么？

（3）观察CD在哪一个三角形中？你能表示出这个三角形的每一条边长吗？

分析：

1.标已知，标问题（边长的问题一般有什么方法解决？），明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x；

2.折叠后出现的相等的线段有哪些？

3.将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来.

4.利用勾股定理，列方程，解方程，得解.

解：设CD＝x cm，则DB＝（10－x）cm.

由题意，根据折叠的性质，可得AD＝BD＝（10－x）cm，且AC＝5cm.

在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2＝AC2＋CD2，即（10－x）2＝52＋x2.

解得x＝ .所以CD＝ cm.

问题1：阅读教材P13，利用以上探究过程中的方程思想，解决尝试·思考问题.

如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F.你能求出DF的长吗？

解：因为点E是边AD的中点，所以DE＝AD＝4cm.

设DF＝xcm，则CF＝EF＝（8－x）cm.

在Rt△DEF中，DE2＋DF2＝EF2，

则42＋x2＝（8－x）2.解得x＝3.

所以DF的长为3cm.

问题2：试一试，你能利用以下折叠图形，借助勾股定理，设计一个有关折叠的计算问题么？

要点归纳：利用勾股定理解决折叠问题的一般步骤：①标已知，设未知；②利用折叠，找相等；③利用勾股定理，列方程；④解方程，得解.

探究点二：勾股定理在实际生活中的应用

活动2：小组合作，设计方案，测量学校旗杆的高度.

借助勾股定理，请你利用升旗的绳子、卷尺设计一个方案，测算旗杆的高度.以下是小丽设计的测量方案：