1.3 勾股定理的应用（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

1.3　勾股定理的应用 1.能从实际问题中抽象出几何模型以及发现内在的数量关系，发展抽象能力，培养用数学眼光观察世界的习惯. 2.灵活运用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养学生的数学语言表达能力、提高学生分析问题和解决问题的能力. 重点：能运用勾股定理及其逆定理解决实际问题. 难点：能熟练运用勾股定理解决最短路径问题. 知识链接 回顾前面学过的内容，回答问题： 1.勾股定理的内容是什么？直角三角形→a2＋b2＝c2. 2.勾股定理的逆定理是什么？a2＋b2＝c2→直角三角形. 创设情境——见配套课件 探究点一：勾股定理与其他几何知识的综合运用 活动1：动手折一折 用一张直角三角形纸片折叠，你能发现折叠前后两部分图形有什么关系吗？说明理由. 如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC＝5cm，BC＝10cm，将△ABC折叠，使得B与A重合，折痕为DE，你能求出CD的长吗？ 问：（1）本题已知什么？求的是什么？ （2）本题将△ABC折叠，使得B与A重合，折痕为DE，可得到什么？依据是什么？ （3）观察CD在哪一个三角形中？你能表示出这个三角形的每一条边长吗？ 分析： 1.标已知，标问题（边长的问题一般有什么方法解决？），明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x； 2.折叠后出现的相等的线段有哪些？ 3.将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来. 4.利用勾股定理，列方程，解方程，得解. 解：设CD＝x cm，则DB＝（10－x）cm. 由题意，根据折叠的性质，可得AD＝BD＝（10－x）cm，且AC＝5cm. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2＝AC2＋CD2，即（10－x）2＝52＋x2. 解得x＝ .所以CD＝ cm. 问题1：阅读教材P13，利用以上探究过程中的方程思想，解决尝试·思考问题. 如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F.你能求出DF的长吗？ 解：因为点E是边AD的中点，所以DE＝AD＝4cm. 设DF＝xcm，则CF＝EF＝（8－x）cm. 在Rt△DEF中，DE2＋DF2＝EF2， 则42＋x2＝（8－x）2.解得x＝3. 所以DF的长为3cm. 问题2：试一试，你能利用以下折叠图形，借助勾股定理，设计一个有关折叠的计算问题么？ 要点归纳：利用勾股定理解决折叠问题的一般步骤：①标已知，设未知；②利用折叠，找相等；③利用勾股定理，列方程；④解方程，得解. 探究点二：勾股定理在实际生活中的应用 活动2：小组合作，设计方案，测量学校旗杆的高度. 借助勾股定理，请你利用升旗的绳子、卷尺设计一个方案，测算旗杆的高度.以下是小丽设计的测量方案： 项目背景 测量实物图： 如图①，小丽制定了如下测量方案，并进行实地测量. 项目方案 测量示意图： 测量过程： 步骤一：如图②，线段MN表示旗杆高度，MN垂直地面于点N.将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段NE.用皮尺测出NE的长度. 步骤二：如图③，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处.用皮尺测出点A与点B之间的距离. 各项数据 测量项目 数据 绳子垂到地面多出部分的长度 0.5m 小丽直立位置距旗杆底端的水平距离 7m 小丽身高 1.5m 请根据表格所给信息，完成下列问题. 问题：（1）直接写出线段MN与AM之间的数量关系. 　　AM＝MN＋0.5. （2）根据小丽的测量方案和数据，求出学校旗杆MN的高度. 解：如图，过A作AC⊥MN于C，则AB＝CN，AC＝BN.根据题意，得AB＝CN＝1.5m，AC＝BN＝7m，AM＝MN＋0.5，所以CM＝MN－CN＝MN－1.5.因为AM2＝AC2＋CM2，所以（MN＋0.5）2＝72＋（MN－1.5）2.解得MN＝12.75m. 答：学校旗杆MN的高度为12.75m. 要点归纳：在运用勾股定理解决实际应用问题时，关键是将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，应用方程思想解答实际问题. 教材P13例题，课件出示，学生独立思考，老师总结. 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达点B，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.求A，C两点之间的距离. 解析：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，找到直角三角形，利用勾股定理求解. 解：如图，过点B作BE∥AD，所以∠DAB＝∠ABE＝53°.因为37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，所以∠CBA＝90°.所以AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002.所以AC＝500m，即A，C两点间的距离为500m. 　　方法总结：此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型（直角三角形）中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题. 1.强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（　D　） A.12m B.13m C.17m D.18m 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，则这只烧杯的底面直径是（　D　） A.9cm B .8cm C.7cm D.6cm 3.如图，阴影部分是一个正方形，它的面积是　64　cm2. 4.如图，要在两幢楼房的房顶A，B间拉一根光缆线（按线段计算），则至少需要光缆线　10　m. 第4题图 第5题图 5.如图，这是可近似看作一个等腰三角形ABC的衣架，其中腰长为26cm，底边上的高为10cm，则底边BC的长为　48　cm. 6.[方程思想]图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②所示，其中AB＝AB'，AB⊥B'C于点C，BC＝0.5尺，B'C＝2尺.求AC的长. 解：设AC的长为x尺，则AB'＝AB＝（x＋0.5）尺. 在Rt△AB'C中，由勾股定理得AC2＋B'C2＝AB'2， 即x2＋22＝（x＋0.5）2，解得x＝3.75.故AC的长为3.75尺. （其他课堂拓展题，见配套PPT） 勾股定理的应用 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $