5.3 第3课时 图表问题与行程问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

5.3 二元一次方程组的应用 第3课时 图表问题与行程问题 第5章 二元一次方程组 八上数学 （北师版） 1. 学会利用二元一次方程组解决图形、行程问题，提高综合素养能力，加强用数学语言描述现实世界的能力，培养模型意识和观念.(重、难点) 2. 自主学习，小组合作交流，通过构建等量关系解决实际问题. 素养目标 已知：长方形 ABCD， AB = CD = 200 m，AD = BC = 100 m，将长方形 ABCD 分割为两个小长方形，长方形 1 号和长方形 2 号分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是 1∶2. 怎样划分这块长方形 ABCD，能使甲、乙两种作物的总产量的比是 3∶4 ？ 分析：问题实质 长方形的面积分割问题. 你能设计出什么样的方案？ 新知探究 分析：1.将一个长方形分成两个小长方形. ① 竖画： ② 横画： ① 大长方形的长 = 200 m； ② 甲、乙两种作物总产量比 = 3∶4. 2. 找等量关系： 3. 列方程解决问题： 探究点一：用二元一次方程组解决图表问题 新知探究 ① 竖画； 解：如左图所示分割， 设 AE＝ x m，BE＝ y m. 则有： 解得 x y 探究点一：用二元一次方程组解决图表问题 x＋y＝200， 100x∶200y＝3∶4. x＝120， y＝80. 新知探究 ② 横画； 解：如左图所示分割， 设 DE＝ x m，AE＝ y m. 则有： 解得 x y 探究点一：用二元一次方程组解决图表问题 x＋y＝100， 200x∶400y＝3∶4. x＝60， y＝40. 新知探究 例1 8 块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少? 40 探究点一：用二元一次方程组解决图表问题 (1) 这个问题涉及哪些量? 这些量之间有怎样的等量关系? 大长方形的长和宽 小长方形的长和宽 等量关系： 2×大长方形的长＝3×小长方形的宽＋小长方形的长 大长方形的宽＝小长方形的长＋小长方形的宽 新知探究 (2) 你能列方程组解决这个问题吗 ? 40 探究点一：用二元一次方程组解决图表问题 设小长方形墙砖的长是 x cm， 宽是 y cm. 根据上述等量关系列方程组： 所以每块小长方形墙砖的长是 30 cm，宽是10 cm. 解得 新知探究 【练一练】1.一批货物要运往某地，货主准备用汽车运输公司的甲乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表： 第一次 第二次 甲种货车的车辆数 2 5 乙种货车的车辆数 3 6 累计运货吨数 15.5 35 现租用该公司 3 辆甲种货车和 5 辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨 30 元付运费，那么货主应付运费多少元？ 探究点一：用二元一次方程组解决图表问题 课堂小结 解：设甲、乙两种货车每次分别运货 x 吨、y 吨，则 解得 x = 4， y = 2.5. 2x + 3y = 15.5， 5x + 6y = 35. 第一次 第二次 甲种货车的车辆数 2 5 乙种货车的车辆数 3 6 累计运货吨数 15.5 35 总运费为 30×(3×4 + 5×2.5) = 735（元）. 探究点一：用二元一次方程组解决图表问题 课堂小结 例3 火车以 40 m/s 的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时 30 s ，其中火车全身都在隧道里的时间是 20 s ，求隧道和火车的长度. 分析：本题涉及哪些量？ 你能画图说明“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”的过程吗？ 这种情况下，火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间有什么关系？ 类似地，对于“火车全身都在隧道里”的情形，相信你也可以得到相应的关系！ 探究点二: 用二元一次方程组解决行程问题 新知探究 火车 火车 火车 火车 解：“从车头进人隧道到车尾驶出隧道”“火车全身都在隧道里”的过程可以分别用图1、图2表示。 图 1 图 2 30 s 20 s 探究点二: 用二元一次方程组解决行程问题 新知探究 设隧道的长度为 x m，火车的长度为 y m，根据题意，得 解得 ∴隧道和火车的长度分别是 1000 m 和 200 m. 探究点二: 用二元一次方程组解决行程问题 新知探究 找等量关系 审题 设元 列方程组 解方程组 检验作答 2个未知数 根据等量关系 代入法 加减法 思考：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的? 探究点二: 用二元一次方程组解决行程问题 新知探究 【练一练】2. 甲、乙两地相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 试问两人的速度各是多少？ 分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系. 探究点二: 用二元一次方程组解决行程问题 新知探究 (1) 同时出发， 同向而行 甲出发点 乙出发点 4 km 甲追上乙 乙 2 h 行程 甲 2 h 行程 甲 2 h行程 = 4 km + 乙 2 h行程 (2) 同时出发， 相向而行 甲出发点 乙出发点 4 km 甲 0.5 h 行程 乙 0.5 h 行程 甲0.5 h行程 + 乙0.5 h行程 = 4 km 相遇地 新知探究 解：设甲、乙的速度分别为 x km/h，y km/h. 根据题意与分析中图示的两个相等关系，得 解方程组，得 答：甲的速度为 5 km/h，乙的速度为 3 km/h. 2x－2y＝4， 0.5x＋0.5y＝4. x＝5， y＝3. 新知探究 【练一练】3.两地相距 280 km，一艘轮船在其间航行，顺流用 14 h，逆流用 20 h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度. 【总结】顺水(风)速度＝静水(风)速度＋水(风)速； 逆水(风)速度＝静水(风)速度－水(风)速. 解：设这艘船在静水中的速度为 x km/h， 水流速度为 y km/h. 依题意，得 解得 答:这艘船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为3 km/h. 新知探究 图表问题 行程问题 ① 路程 = 时间×速度； 追及问题：快车路程-慢车路程=被追路程. 相遇问题：两者路程之和=两者开始的距离. ② 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度； 逆水速度 = 静水速度 - 水流速度. 课堂小结 1. 根据所给信息，请你求出每只玩具小猫和玩具小 狗的价格(单位：元).若设玩具小猫的价格为x元， 玩具小狗的价格为y元，则可得方程组为 ⁠. 　 当堂反馈 2. 从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路.如果上 坡平均每小时走 2 km，下坡平均每小时走 3 km，那 么从甲地走到乙地需要 15 min，从乙地走到甲地需 要 20 min.则从甲地到乙地上坡路程和下坡路程分别 为 ⁠. 0.1 km，0.6 km　 3. 如图，长方形ABCD是由 7 个大小相同的小长方形组成的，长方形ABCD的周长是19， 则每一个小长方形的面积是 ⁠. 3　 当堂反馈 4. 某中学新建的塑胶操场跑道一圈长400 m，甲、乙两名运动员从同一起点同时出发，相背而跑，40 s后首次相遇；若从同一起点同时同向而跑，200 s后甲首次追上乙，求这两名运动员的速度. 解：设甲运动员的速度为xm/s， 乙运动员的速度为ym/s， 由题意得 解得 经检验，符合题意. 答：甲运动员的速度为6m/s，乙运动员的速度为4m/s. 当堂反馈 $