第四章 一次函数 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

该初中数学课件聚焦一次函数，涵盖概念、图象性质、关系式确定及应用。通过单元结构图衔接变量与函数基础，从现实背景出发构建从概念到应用的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于用单元结构图和表格梳理知识体系，结合实例（如求函数表达式及面积、油箱油量问题）培养数学眼光（抽象、几何直观）、思维（推理）和语言（模型意识）。学生能提升解决实际问题能力，教师可借助清晰结构和典型例题提高教学效率。

小结与复习 第四章 一次函数 北师版 八年级(上) 丰富的现实背景 函数 一次函数 函数关系式 图象 函数关系式的确定 图象的应用 单元结构图 1. 叫变量. 2.函数定义： 数值发生变化的量 在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于变量 x 的每一个确定的值，变量 y 都有唯一确定的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量. 一、函数 知识要点 (所用方法:描点法) 3.函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 列表法 关系式法 图象法 5.函数的三种表示方法： 4.描点法画图象的步骤：列表、描点、连线 知识要点 一次函数 一般地，如果 y＝kx＋b (k、b 是常数，k ≠ 0)，那么 y 叫做 x 的一次函数 正比例函数 特别地，当 b＝____时，一次函数 y＝kx＋b 变为 y＝ ___( k 为常数，k ≠ 0)，这时 y 叫做 x 的正比例函数 注意：一次函数与正比例函数的关系 0 kx 二、一次函数与正比例函数的概念 知识要点 函数 字母取值 （ k＞0 ） 图象 经过的象限 函数性质 y＝kx + b (k ≠ 0) b＞0 y 随 x增大而 增大 b＝0 b＜0 一、三象限 一、二、三象限 一、三、四象限 三、一次函数的图象与性质 知识要点 函数 字母取值 （ k＜0 ） 图象 经过的象限 函数性质 y＝kx + b (k ≠ 0) b＞0 ________ y 随 x增大而 减小 b＝0 ________ b＜0 ________ 一、二、四象限 二、四象限 二、三、四象限 知识要点 求一次函数关系式一般步骤： （1）先设出函数关系式； （2）根据条件列关于待定系数的方程； （3）解方程求出关系式中未知的系数； （4）把求出的系数代入设的关系式，从而具体写出这个关系式. 四、求一次函数的关系式 知识要点 其中过原点的直线是_____；函数 y 随 x 的增大而增大的是___________；函数 y 随 x 的增大而减小的是______；图象在第一、二、三象限的是_____. 考点一 一次函数的图象与性质 例1 填空题： ② ①、②、③ ④ ③ 有下列函数：①　　　　　 ， ②　　　 ， ③　　　 ， ④ . x y 2 = 考点讲练 例2 已知函数 y = (2m + 1)x + m﹣3； (1)若该函数是正比例函数，求 m 的值； (2)若函数的图象平行直线 y = 3x﹣3，求 m 的值； (3)若这个函数是一次函数，且 y 随着 x 的增大而减小， 求 m 的取值范围； (4)若这个函数图象过点 (1，4)，求这个函数的解析式. 【分析】(1)由函数是正比例函数得m-3=0且2m+1≠0；(2)由两直线平行得2m+1=3；(3)一次函数中 y 随着 x 的增大而减小，即2m+1＜0；(4)代入该点坐标即可求解. 考点一 一次函数的图象与性质 考点讲练 解：(1) ∵函数是正比例函数， ∴m﹣3 = 0，且 2m + 1≠ 0，解得 m = 3. (2) ∵ 函数的图象平行于直线 y = 3x﹣3， ∴ 2m + 1 = 3，解得 m = 1. (3) ∵ y 随着 x 的增大而减小， ∴ 2m + 1＜0，解得 m＜     . (4)∵ 该函数图象过点 (1，4)，代入得 2m + 1 + m - 3 = 4， 解得 m = 2，∴该函数的解析式为 y = 5x - 1. 考点一 一次函数的图象与性质 考点讲练 一次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标就是 y = kx + b 中 b 的值；两条直线平行，其函数解析式中的自变量系数 k 相等；当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小. 总结 考点一 一次函数的图象与性质 考点讲练 1.函数 的图象与 x 轴交点的坐标为_______， 与 y 轴的交点坐标为______. (-6，0) (0，4) 2.已知函数 y = -x + 2 当 -1＜x≤1 时，y 的取值范围是_______. 1≤y＜3 【针对训练】 考点一 一次函数的图象与性质 考点讲练 3. 已知一次函数 y = kx + b，y 随着 x 的增大而减小，且 kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是( 　) A 　 　 　 B 　 C 　 　D A x y O O x y x y y x O O 考点一 一次函数的图象与性质 考点讲练 　4. 一次函数 y = ax + b 与 y = ax + c (a＞0) 在同一坐标系中的图象可能是（　 　） x y o x y o x y o x y o A B C D A 考点一 一次函数的图象与性质 考点讲练 例3 已知一次函数的图象经过 A (2，4)，B (0，2) 两点， 求： (1) 一次函数的表达式； 解：(1) 设一次函数的表达式为 y＝kx＋b (k≠0). 因为图象经过 A (2，4)，B (0，2) 两点， 代入表达式中得 考点二 一次函数的图象与性质 2k + b = 4， b = 2， 解得 k = 1，b = 2. 因此这个一次函数的表达式为 y = x + 2. 考点讲练 (2) 求此函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积 S. 解：(2) 因为一次函数 y＝x＋2 的图象与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为 (－2，0) 和 (0，2) ， 考点二 一次函数的图象与性质 考点讲练 【针对训练】5. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 y＝kx＋3 与 x 轴相交于点 A(2，0)，与 y 轴交于点 B. (1) 求 k 的值及 △AOB 的面积； 解：(1) 把 A(2，0) 代入 y＝kx＋3， 得 2k＋3＝0， 所以 B(0，3). 当 x = 0 时，y = 3. 考点二 一次函数的图象与性质 考点讲练 (2) 点 C 在 x 轴上，若△ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形，求点 C 的坐标． 解：(2) 设 C(m，0). 因为 A(2，0)，B(0，3)， 所以 AC2＝(m－2)2，BC2＝m2＋9， AB2＝13. ①若 AB，AC 为腰，则 AC2＝AB2， 所以 (m－2)2＝13， 考点二 一次函数的图象与性质 考点讲练 ②若 AB，BC 为腰，则 BC2＝AB2， 所以 m2＋9＝13， 解得 m＝2 (与点 A 重合，舍去) 或m＝－2. ∴C(－2，0). 综上所述，△ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形时，点 C 的坐标为(－2，0). 考点二 一次函数的图象与性质 考点讲练 例4 李老师开车从甲地到相距 240 千米的乙地，如果油箱剩余油量 y (升) 与行驶里程 x (千米) 之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么 到达乙地时油箱剩余油量是多少升？ 考点三 一次函数的图象与性质 考点讲练 解：设一次函数的关系式为 y＝kx＋35， 将(160，25)代入，得 160k＋35＝25， 解得 k＝ ， 所以一次函数的关系式为 y＝ x＋35. 再将 x＝240 代入 y＝ x＋35， 得 y＝ ×240＋35＝20， 即到达乙地时油箱剩余油量是 20 升． 考点三 一次函数的图象与性质 考点讲练 【针对训练】6. 自来水公司有甲、乙两个蓄水池，现将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度 y (米) 与注水时间 x (时) 之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题． (1) 分别求出甲、乙两个蓄水池中 水的深度 y 与注水时间 x 之间的 函数关系式； 考点三 一次函数的图象与性质 考点讲练 解：(1)设它们的函数关系式为 y＝kx＋b，根据甲的函数图象可知， 当 x＝0，y＝2；当 x＝3时，y＝0， 将它们代入关系式 y＝kx＋b 中， 得 k＝ ，b＝2， 所以甲蓄水池中水的深度 y 与注水时间 x 之间的函数关系式为：y＝ x＋2. 同理可得乙蓄水池中水的深度 y 与注水时间 x 之间的函数关系式为：y＝x＋1. (1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度 y 与注水时间 x 之间的函数关系式； 考点讲练 (2)求注入多长时间后甲、乙两个蓄水池的深度相同； (2) 由题意得 x＋2＝x＋1， 解得 x＝ . 故当注水 小时后，甲、乙两个蓄水池水的深度相同； 考点讲练 (3) 求注入多长时间甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同？ (3) 从函数图象判断当甲水池的水全部注入乙水池后，甲水池深度下降 2 米，而乙水池深度上升 3 米，所以甲乙水池的底面积之比为 S甲 : S乙 = 3 : 2， S甲·( x＋2) = S乙·(x＋1)，解得 x = 1.故注水 1 小时后，甲乙两蓄水池的蓄水量相同. 考点讲练 见教材章末练习 课后作业 $