4.4 第3课时 两个一次函数图象的应用（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

该初中数学课件聚焦一次函数图象的应用，通过公司销售收入与成本、景区追赶等实际情境，引导学生从图象获取信息（交点、增减性），逐步抽象出函数表达式及k、b的实际意义，搭建从直观到抽象的学习支架。 其亮点是以真实问题为载体，发展数学眼光（几何直观）与数学思维（推理意识），通过合作探究、多种解法培养模型意识。教学注重数形结合，小结提炼核心方法，助力学生提升应用能力，教师可直接用于情境教学与素养培养。

4.4 一次函数的应用 第3课时 两个一次函数图象的应用 第四章 一次函数 北师版 八年级(上) 1.能根据问题及条件找出能反映实际问题的函数，培养的合理决策和创新能力，感悟数学眼光在实际生活中的作用. (重点) 2.能利用一次函数图象解决简单的实际问题，发展运算能力和推理应用意识，体会数形结合思想.(难点) 3.能够将实际问题转化为一次函数的问题，培养举一反三的发散性思维，锻炼抽象能力和应用能力，发展的数学思维. 素养目标 重难点 从图象中获取信息的方法: 1.弄清函数图象横、纵坐标分别表示什么，图象上最高点、最低点的意义 2.上升线表示函数值随自变量的增大而增大；下降线表示函数值随自变量的增大而减小；水平线表示函数值不随自变量的变化而变化 3.直线倾斜程度大，表示函数值随自变量变化迅速；直线倾斜程度小，表示函数值随自变量变化缓慢 特别提醒：一次函数图象是直线，自变量有取值范围时就变成线段或射线；k 相同则两直线平行 复习导入 引例：如图，l1 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2 反应了该公司产品的销售成本与销售量的关系. 根据图象填空： 探究点一： 两个一次函数的应用 新知探究 【合作探究】 (2) 当销售量为 6 t 时， 销售收入= 元， 销售成本= 元； (1) 当销售量为 2 t 时， 销售收入= 元， 销售成本= 元； 2000 3000 6000 5000 销售量 销售收入 销售成本 探究点一： 两个一次函数的应用 新知探究 (3) 当销售量等于 时， 销售收入等于销售成本； 4 t (4) 当销售量 时， 该公司盈利(收入大于成本)； ＞4 t ＜4 t 销售量 销售收入 销售成本 当销售量 时， 该公司亏损(收入小于成本)； 直线l1与直线l2 的交点 直线l1在直线l2上方的部分 直线l1在直线l2下方的部分 从图象上看 探究点一： 两个一次函数的应用 新知探究 (5) l1 对应的函数表达式是 ， y＝1000x 销售收入 销售成本 l1 的图过原点 (4,4000) y1 = kx 4000 = 4k k = 1000 y = 1000x 关系式设为 y1 = kx 只需要一个点的坐标 探究点一： 两个一次函数的应用 新知探究 l2 对应的函数表达式是 . y＝500x＋2000 l2 的图不过原点 (4,4000) y2 = k2x + b k2 = 500 关系式设为 y2 = kx + b 只需要两个点的坐标 (0,2000) b = 2000 4k2+b = 4000 y＝500x＋2000 销售收入 销售成本 探究点一： 两个一次函数的应用 新知探究 (6) 当销售量等于 时，该公司盈利（收入减成本）1000元. 销售量 销售收入 销售成本 分析： 利润 = 销售收入 - 销售成本 y＝1000x y＝500x＋2000 由于赢利 1000 元，则 1000x - (500x＋2000) = 1000 解得 x = 6. 6 探究点一： 两个一次函数的应用 新知探究 【思考】l1 对应的一次函数 y＝k1x ＋b1中，k1 和 b1的实际意义各是什么？ k1表示每销售1吨产品，可收入1000元； b1表示未销售时，销售收入为0元； k2表示每销售1吨产品的成本为500元； b2表示未销售时，为销售所花的成本为2000元； y＝1000x l2对应的一次函数 y＝k2x ＋b2 中，k2 和 b2 的实际意义各是什么？ y＝500x＋2000 探究点一： 两个一次函数的应用 新知探究 2．在交点 P 的右边 (即当 x > x0)，y1 的图象比 y2 的高 (即y1____y2)； 3．在交点 P 的左边 (即当 x < x0)， y1 的图象比 y2 的低 (即 y1____y2). 【总结】1．如图，两直线的交点P (x0，y0)，交点的意义是当 x＝x0 时，y1 ______y2______y0； ＝ ＝ > < 探究点一： 两个一次函数的应用 新知探究 例1 下图是某景区游览路线示意图. 甲在观景台1 联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙. 图中 l1，l2 分别表示甲、乙两人到观景台 1 的路程 s （单位：m）与追赶时间 t（单位：min）之间的关系. 索道 步行道 观景台1 观景台2 观景台3 观景台4 观景台5 800m 1300m 1000m 400m 400 200 800 1200 1600 600 8 16 24 32 1000 1400 4 12 20 28 l1 l2 s/m t/min 探究点一： 两个一次函数的应用 新知探究 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题：(1) 哪条线表示甲到观景台 1 的路程与追赶时间之间的关系？ t/min 解：(1) 当 t = 0 时， 甲到观景台1 的路程为 0 m， 即 s = 0， 故 l1 表示甲到观景台1 的路程 与追赶时间之间的关系. 400 200 800 1200 1600 600 8 16 24 32 1000 1400 4 12 20 28 l1 l2 s/m 探究点一： 两个一次函数的应用 新知探究 (2) t 从 0 增加到 20 时， l1 上点的纵坐标增加了 1000，l2上点的纵坐标增加了 600， 即 20 min内，甲行走了1000 m，乙行走了 600 m， 所以甲的速度快。 400 200 800 1200 1600 600 8 16 24 32 1000 1400 4 12 20 28 l1 l2 s/m (2) 甲和乙哪个人的速度快? t/min 探究点一： 两个一次函数的应用 新知探究 400 200 800 1200 1600 600 8 16 24 32 1000 1400 4 12 20 28 l1 l2 s/m 1800 2000 2200 2400 36 40 48 44 (3) 如图，延长 l1，l2，可以看出， 当 t = 30 时，l1 上的对应点在 l2 上对应点的下方， 这表明，30 min 时甲尚未追上乙. (3) 30 min 内甲能否追上乙? t/min 探究点一： 两个一次函数的应用 新知探究 (4) 到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙？ 400 200 800 1200 1600 600 8 16 24 32 1000 1400 4 12 20 28 l1 l2 s/m 1800 2000 2200 2400 36 40 48 44 t/min (4) 在图中，l1 与 l2 交点 P 的纵坐标小于(800+1300=)2100，这说明，甲能在到达观景台3前追上乙。 索道 步行道 观景台1 观景台2 观景台3 观景台4 观景台5 800m 1300m 1000m 400m P 探究点一： 两个一次函数的应用 新知探究 (5) 设 l1 与 l2 对应的两个一次函数分别为 s = k1t + b1 与 s = k2t + b2，k1，k2 的 实际意义各是什么？甲、乙两人的速度各是多少? 400 200 800 1200 1600 600 8 16 24 32 1000 1400 4 12 20 28 l1 l2 s/m 1800 2000 2200 2400 36 40 48 44 t/min P (5) k1 表示甲的速度， k2 表示乙的速度. 甲的速度是 50 m/min， 乙的速度是 30 m/min. 探究点一： 两个一次函数的应用 新知探究 你能用其他方法解决例3（1）~（5）吗？ 依据“速度＝路程÷时间”， 求出甲的速度是 50 m/min， 乙的速度是 30 m/min. 问题即可依据行程问题解决. 方法二： t/min 400 200 800 1200 1600 600 8 16 24 32 1000 1400 4 12 20 28 l1 l2 s/m 乙 甲 探究点一： 两个一次函数的应用 新知探究 求出 l1 和 l2 对应的函数表达式， s＝50t，s＝30t＋800，再依据实际意义解决. 方法三： t/min 400 200 800 1200 1600 600 8 16 24 32 1000 1400 4 12 20 28 l1 l2 s/m 乙 甲 探究点一： 两个一次函数的应用 新知探究 【合作探究】如图所示，已知一次函数 y1 = x + a 和 y2 = - x + b 的图象都经过点 A(-4，0)， 且与 y 轴分别交于 B，C 两点， 求△ABC 的面积. 思考：求面积还需要知道哪些条件？怎么利用两个一次函数的表达式求出 B、C 的坐标？ A B C O y x S△ABC ＝×OA×BC 求出BC 的长 求出 B、C 的坐标 B、C 纵坐标为0 探究点二： 利用两个一次函数解决几何问题 新知探究 y2 = -x + b 总结：解此类题要先求得顶点的坐标，即两个一次函数的交点和它们分别与 x 轴、y 轴交点的坐标. A B C O y x ∵ B，C 两点在 y 轴上， 则 B(0，6)，C(0，-2). (-4，0) y1 = x + a ∴ 当 x = 0 时， y1 = 6， y2 = -2. 解：∵一次函数 y1 和 y2 的图象交于点 A， ∴ ×(-4) + a = 0，-×(-4) + b = 0. 解得 a = 6，b = -2. ∴ y1 = x + 6，y2 = -x - 2. ∴ S△ABC ＝×(6 + 2)×4 = 16. 探究点二： 利用两个一次函数解决几何问题 新知探究 例2 如图，已知直线 l1 的解析式为 y1 = -x + b，直线 l2的解析式为：y2 = kx + 4，l1 与 x 轴交于点 C，l2 与 x 轴交于点 B，l1 与 l2 交于点 A(-1，2). ①求 k，b 的值； A B C O l1 l2 y x 解：① ∵ l1 与 l2 交于点 A(-1，2)， ∴ 2 = 1 + b，2 = -k + 4， 解得 k = 2，b = 1. 探究点二： 利用两个一次函数解决几何问题 新知探究 ②由①得，y1 = -x + 1，y2 = 2x + 4. 当 y2 = 0 时，2x + 4 = 0， 解得 x = -2，则 B(-2，0)， 当 y1 = 0 时，-x + 1 = 0， 解得 x = 1，则 C(1，0). 例2 如图，已知直线 l1 的解析式为 y1 = -x + b，直线 l2的解析式为：y2 = kx + 4，l1 与 x 轴交于点 C，l2 与 x 轴交于点 B，l1 与 l2 交于点 A(-1，2). ②求三角形ABC 的面积. A B C O l1 l2 y x △ABC 的面积： ×(2 + 1)×2 = 3. 探究点二： 利用两个一次函数解决几何问题 新知探究 两个一次函数的应用 方案选择问题 实际生活中的问题 课堂小结 1. 在弹性限度内，甲、乙两弹簧的长度y(cm)与所 挂物体质量x(kg)之间的函数关系式分别是y1＝k1x ＋b1，y2＝k2x＋b2，图象如图所示.当所挂物体质 量均为2kg时，甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关 系为(　A　) A. y1＞y2 B. y1＝y2 C. y1＜y2 D. 不能确定 第1题图 A 当堂反馈 2. 如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图 象，下列结论错误的是(　C　) A. 乙前4s行驶的路程为48m B. 在0到8s内甲的速度每秒增加4m/s C. 两车到第3s时行驶的路程相等 D. 在4至8s内甲的速度都大于乙的速度 第2题图 C 当堂反馈 3. 如图，l1，l2分别表示某工厂甲、乙两车间的产量y(t)与所用时间x(天)之间的函数关系，根据图象 回答下列问题： (1)乙车间生产200t时，甲车间生产了 t； 400　 (2)甲车间每天生产 t，乙车间每天生产 t； 10　 20　 (3)乙车间从开始生产到第几天结束时，两车间的总 产量相同？. 解：乙车间从开始生产到第20天结束时， 两车间的总产量相同。 当堂反馈 4. 如图表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路 线由甲地到乙地行驶过程中路程y(km)与时间x(h) 的函数图象.甲、乙两地间的距离是80km.请你根据 图象回答下面的问题： (1)谁出发得较早？早多长时间？谁到达乙地较早？ 早到多少时间？ 解：(1)由图可以看出： 骑自行车者出发较早，早3h； 骑摩托车者到达乙地较早，早3h. 当堂反馈 (2)两人在途中行驶的速度分别是多少？ 解：(2)骑自行车者的速度是80÷8＝10(km/h)； 骑摩托车者的速度是80÷2＝40(km/h)。 (3)请你分别求出自行车和摩托车行驶过程中y与x的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)。120. 解：(3)自行车行驶过程中的 函数表达式为y＝10x， 摩托车行驶过程中的函数表达式为y＝40x－120. 当堂反馈 $