4.4 第1课时 确定一次函数的表达式（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

该初中数学课件聚焦“确定一次函数的表达式”，通过复习正比例函数与一次函数的解析式、图象，回顾两点法画图，过渡到“已知两点确定解析式”的设问，搭建前后知识衔接的学习支架。 其亮点是以探究式学习为主线，结合斜坡下滑、弹簧长度等实例，运用待定系数法，培养学生的几何直观、运算能力与模型意识。课堂小结系统梳理方法，当堂反馈巩固重点，助力学生提升解决问题能力，教师可高效落实教学目标。

4.4 一次函数的应用 第1课时 确定一次函数的表达式 第四章 一次函数 北师版 八年级(上) 1. 掌握用待定系数法求一次函数的解析式，发展运算能力和推理应用意识，培养举一反三的发散性思维。 (重点) 2.在运用一次函数解析式解决问题时，能从题目中获取待定系数法所需要的两个点的条件，发展数感和观察能力。(难点) 素养目标 函数 解析式 图象 正比例函数 y = kx (k 是常数，k ≠ 0) 一条过____点的___线 一次函数 y = kx + b ( k，b 是常数，k ≠ 0) 一条___线 y x o y x o 原 直 直 复习导入 　　 前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出一个具体的一次函数解析式吗？如何画出它的图象？ 两点法——两点确定一条直线 反过来，如果知道一条直线经过两个已知点，能否确定这条直线的解析式呢? y = 2x - 3 复习导入 引例：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v (m/s) 与其下滑时间 t (s) 的关系如图所示． (1) 请写出 v 与 t 的关系式； 问题：从图象中你能得到什么条件？ 过原点的射线 正比例函数的表达式 v = kt 过 (2，5) 从形到数 探究点一： 确定正比例函数的表达式 新知探究 (1) 请写出 v 与 t 的关系式； (2) 下滑第 3 s 末物体的速度是多少？ 解：(1) 设 v＝kt，点(2，5)在函数图象上， 当 t＝2 时，v＝5，即 2k＝5， 解得 k＝2.5； 所以 v 与 t 的关系式为 v＝2.5t。 (2) 当 t＝3 时，v＝2.5×3＝7.5 (m/s)。 探究点一： 确定正比例函数的表达式 新知探究 练一练 1. 已知一个正比例函数的图象如图所示． (1)求该函数的表达式； (2)若点(－3，m)也在该函数图象上，求 m 的值． 解：(1)设该正比例函数的表达式为 y＝kx(k≠0). 由图象，得该正比例函数经过(1，2)，则有 k＝2。 所以该函数的表达式为 y＝2x。 (2) 因为点(－3，m)在该函数图象上， 所以 m＝2×(－3)＝－6。 探究点一： 确定正比例函数的表达式 新知探究 如图，已知一次函数的图象经过 P (0，-1)， Q (1，1) 两点。 怎样确定这个一次函数的解析式呢？ 探究点二： 确定一次函数的表达式 新知探究 因为一次函数的一般形式是 y = kx + b (k，b为常数，k ≠ 0)，要求出一次函数的解析式，关键是要确定 k 和 b 的值 (即待定系数). 函数解析式 y = kx + b 满足条件的两点 (x1，y1)，(x2，y2) 一次函数的图象直线 l 选取 代入解出 画出 选取 探究点二： 确定一次函数的表达式 新知探究 解：∵ P (0，-1) 和 Q (1，1) 都在该函数图象上， ∴它们的坐标都满足 y = kx + b ，将这两点坐标代入该式中，得 b = -1，k + b = 1， 解这个方程组，得 k = 2，b = -1. ∴ 这个一次函数的解析式为 y = 2x - 1. 探究点二： 确定一次函数的表达式 新知探究 (1) 设：设一次函数的一般形式 ； (2) 列：把图象上的点 (x1，y1)，(x2，y2) 代入一次函数的解析式； (3) 解：解方程得 k，b； (4) 写：把 k，b 的值代入所涉解析式中，写出表达式. 总结 y = kx + b (k ≠ 0) 待定系数法求一次函数解析式的步骤： 探究点二： 确定一次函数的表达式 新知探究 一个 (求出 k 的值) 两个 (求出 k 和 b 的值) 想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？ 确定一次函数的表达式呢？ 函数解析式 y = kx + b 一次函数的图象直线 l 从数到形 从形到数 数学的基本思想方法：数形结合 探究点二： 确定一次函数的表达式 新知探究 例1 在弹性限度内，弹簧的长度 y (cm) 是所挂物体质量 x (kg) 的一次函数，某弹簧不挂物体时长 14.5 cm，当所挂物体的质量为 3 kg 时，弹簧长 16 cm. 写出 y 与 x 之间的关系式，并求当所挂物体的质量为 4 kg 时弹簧的长度？ 解：设 y＝kx＋b，根据题意，得 14.5＝b， ① 16＝3k＋b， ② 将①代入②，得 k＝0.5 ， 所以在弹性限度内，y＝0.5x＋14.5 当 x＝4 时，y＝0.5×4＋14.5＝16.5(cm) 即物体的质量为 4 kg 时，弹簧长度为 16.5 cm. 探究点二： 确定一次函数的表达式 新知探究 【尝试思考】某根蜡烛燃烧前长 30 cm；燃烧时，剩下的长度 y（单位：cm）是燃烧时间 x（单位：h）的一次函数.当这根蜡烛燃烧 2 h 时，其长度为 12 cm. （1）写出 y 与 x 之间的关系式； （2）这根蜡烛最多能燃烧多长时间? 解：(1) 设 y＝kx＋b，根据题意，得 30＝b， ① 12＝2k＋b， ② 将①代入②，得 k＝－9， 所以y＝－9x＋30。 所以这根蜡烛最多能燃烧 h。 (2) 当 y＝0 时，即 0＝－9x＋30，解得x＝ ， 新知探究 例2 若一次函数的图象经过点 A(2，0)，且与直线 y = -x + 3 平行，求其解析式. 解：设这个一次函数的解析式为 y = kx + b. k = -1，2k + b = 0， 由题意得 k = -1，b = 2. 解得 ∴ y = - x + 2. 探究点二： 确定一次函数的表达式 新知探究 练一练 2．已知直线 AB 如图所示，点A的坐标为(0，1). (1)求直线 AB 的表达式； 解：(1) 由图象，得点 A(0，1)，点 B(2，2). 设直线 AB 为 y＝kx＋b (k≠0). 由题意得 b＝1，2k＋b＝2， 解得 . ∴ 直线 AB 的表达式为 探究点二： 确定一次函数的表达式 新知探究 (2) 已知 C(－4，－1)，说明点 C 是否在直线 AB 上？ ∴点 C 在直线 AB 上． 解：(2) 把 x＝－4，代入 ，得 探究点二： 确定一次函数的表达式 新知探究 3. 如图，一次函数的图象过点 A，且与正比例函数 y = －x 的图象交于点 B，则该一次函数的表达式为（  ） B A. y = －x + 2    B. y = x + 2   C. y = x－2      D. y = －x－2 探究点二： 确定一次函数的表达式 新知探究 数学的基本思想方法：数形结合 一次函数解析式_________ 满足条件的两定点 (x1，y1)与(x2，y2) 一次函数的图象 _____________法 代入解出 选取 待定系数 y = kx + b 课堂小结 1. 一个正比例函数的图象经过点(4，－2)，则它的 表达式为(　C　) A. y＝－2x B. y＝2x C. y＝－ x D. y＝ x C 2. 若一次函数y＝ax－3的图象经过点A(2，3)，则 下列各点在该函数图象上的为(　B　) A. (1，－1) B. (－1，－6) C. (3，5) D. (－2，－12) B 当堂反馈 3. 若y与2x－1成正比例，当x＝3时，y＝－5，则 y与x之间的关系式为 ⁠. y＝－2x＋1　 4. 小明根据某个一次函数表达式填写了下表. x －1 0 2 y －3 6 ？ (1)该一次函数的表达式为 ⁠； (2)表中“？”表示的数为 ⁠. y＝9x＋6　 24　 当堂反馈 5. 如图，l1反映了某公司产品的销售收入y1(元)与销 量x(百件)之间的关系；l2反映了该公司产品的销售 成本y2(元)与销量x(百件)之间的关系.根据图象提供 的信息，直线l1对应的函数表达式为 ⁠ ，直线l2对应的函数表达式 为 ⁠ ⁠. y1＝ 1000x y2＝500x＋2000　 当堂反馈 6. 已知一次函数的图象经过A(2，4)，B(0，2)两点，求： (1)一次函数的表达式； 解：(1)设一次函数的表达式为y＝kx＋b. ∵图象经过A(2，4)，B(0，2)两点， ∴2k＋b＝4，b＝2.解得k＝1. ∴一次函数的表达式为y＝x＋2. 解：(1)设一次函数的表达式为y＝kx＋b. ∵图象经过A(2，4)，B(0，2)两点， ∴2k＋b＝4，b＝2.解得k＝1. ∴一次函数的表达式为y＝x＋2. 当堂反馈 (2)此函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积S. 解：(2)∵一次函数y＝x＋2的图象与x轴、y轴的 交点坐标分别为(－2，0)和(0，2)， ∴S＝ ×2×2＝2. 解：(2)∵一次函数y＝x＋2的图象与x轴、y轴的 交点坐标分别为(－2，0)和(0，2)， ∴S＝ ×2×2＝2. 当堂反馈 $