4.3 第2课时 一次函数的图象和性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

第2课时 一次函数的图象和性质 4.3 一次函数的图象 第四章 一次函数 北师版 八年级(上) 1. 通过类比正比例函数的有关性质，概括一次函数的性质，发展数学感知、类比归纳和数学概括能力。(重点) 2.会用两点法画出正比例函数和一次函数的图象，并能结合图象说出正比例函数和一次函数的性质，发展数形结合的思想。(难点) 3. 能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题，培养运算能力和数据整理、应用的能力。 素养目标 函数 解析式 正比例函数 y = kx (k 是常数，k ≠ 0) 一次函数 y = kx + b ( k，b 是常 数，k ≠ 0) 从解析式上看，正比例函数与一次函数相差什么?如果体现在图象和性质上，正比例函数与一次函数又会有怎样的关系呢? 复习导入 正比例函数 解析式 y = kx (k ≠ 0) 性质：k＞0，y 随 x 的增大而增大；k＜0，y 随 x 的增大而减小． 一次函数 解析式 y = kx + b (k ≠ 0) 针对函数 y = kx + b，要研究什么？怎样研究？ x y O k＞0 k＜0 x y O ？ ？ 图象：经过原点和 (1，k)的一条直线 复习导入 画出函数 y = 2x + 1 与 y = 2x 的图象，并比较两个函数的相同点与不同点. (1) 画一次函数 y = 2x + 1 的图象； y = 2x + 1 y = 2x 2 -2 -4 -6 -2 2 x y O 4 x … 0 1 … y … 1 3 … 描点 连线 列表 (2) 画正比例函数 y = 2x 的图象。 探究点一： 一次函数图象 新知探究 比较上面两个函数的图象回答下列问题： (2) 函数 y = 2x 的图象经过 ， 函数 y = 2x + 1 的图象与 y 轴交于点( )。 (1)这两个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度 ； 原点 0 ，1 一条直线 相同 【观察与思考】 y = 2x + 1 y = 2x 2 -2 -4 -6 -2 2 x y O 4 探究点一： 一次函数图象 新知探究 一次函数 y＝kx＋b 的图象有何特点？ 一次函数 y = kx＋b (k ≠ 0) 的图象是一条直线，我们称它为直线 y = kx＋b (k ≠ 0)。 【总结归纳】 探究点一： 一次函数图象 新知探究 思考：怎么画一次函数的图象更简便呢? 对于一次函数 y = kx + b (k ≠ 0)来说，必定与 x 轴和 y 轴形成交点，所以一般采用：一次函数图象与坐标轴的交点。 (0，b) ( ，0) 令 x = 0，则得 y = b，图象与 y 轴交于(0，b)； 令 y = 0 时，则得 x = 图象与 x 轴交于( ，0)。 探究点一： 一次函数图象 新知探究 例1 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象： (1) y = -2x - 1；(2) y = 0.5x + 1. x 0 1 y = -2x - 1 y = 0.5x + 1 -1 -3 1 1.5 也可以先画直线 y = -2x 与 y = 0.5x，再分别平移它们，也能得到直线 y = -2x - 1与 y = 0.5x + 1. y = -2x-1 y = 0.5x+1 探究点一： 一次函数图象 新知探究 y=3x＋1 y=4x－3 y=﹣x＋1 探究：在同一直角坐标系内分别画出一次函数 y＝3x＋1，y＝﹣x＋1，y＝3x﹣2 和 y＝4x﹣3 的图象. y=3x－2 【尝试·思考】 探究点二： 一次函数的性质 新知探究 探究：(1) 哪个函数 у 的值随着 x 值的增大而增大？哪个函数 у 的值随着 x 值的增大而减小？ 探究点二： 一次函数的性质 y＝3x＋1，y＝3x﹣2， y＝4x﹣3 у 随着 x 值的增大而增大. y＝﹣x＋1 у 随着 x 值的增大而减小. y=3x＋1 y=4x－3 y=﹣x＋1 y=3x－2 新知探究 k＞0 时，直线从左向右上升，y 随 x 的增大而增大； k＜0 时，直线从左向右下降，y 随 x 的增大而减小。 探究点二： 一次函数的性质 【归纳总结】 y=3x＋1 y=4x－3 y=﹣x＋1 y=3x－2 新知探究 例2 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数 y = - 0.5x + 3 图象上的两点，下列判断中，正确的是( ) A. y1＞y2 C. 当 x1＜x2 时，y1＜y2 B. y1＜y2 D. 当 x1＜x2 时，y1＞y2 D 解析：根据一次函数的性质： 当 k＜0 时，y 随 x的增大而减小，所以 D 为正确答案． 提示：反过来也成立：y 越大，x 就越小． 探究点二： 一次函数的性质 新知探究 探究：(2) 随着 x 值的增大，у 的值增大速度最快的函数是哪个? 【总结】 当 | k | 越大时，直线越陡，图象越靠近 y 轴，相应的函数值上升或下降得越快。 y=3x＋1 y=4x－3 y=﹣x＋1 y=3x－2 y=4x－3 探究点二： 一次函数的性质 新知探究 探究：(3) 哪两个函数的图象相互平行？ y = 3x＋1 与 y = 3x－2 平行。 你能通过适当的移动将直线 y＝3x 变为直线 y = 3x＋1 和直线 y = 3x－2 吗？ y=3x＋1 y=4x－3 y=﹣x＋1 y=3x－2 探究点二： 一次函数的性质 新知探究 比较函数 y = 3x＋1 与 y＝3x 的解析式. x -2 -1 0 1 2 y = 3x +1 -5 -2 1 4 7 y = 3x -6 -3 0 3 6 +1 +1 反映在图象上：不论横坐标是几，这两个函数图象的纵坐标总差同一个值 3，即一个函数的图象总比另一个函数图象高出同一高度. +1 +1 +1 2 -2 -4 -6 -2 2 x y O 4 y=3x y=3x＋1 即直线 y＝3x 向上平移 1 个单位长度就得到 y＝3x＋1 的图象， 因此，直线 y＝3x＋1 与直线 y＝3x 倾斜程度相同，平行. 探究点二： 一次函数的性质 新知探究 2 -2 -4 -6 -2 2 x y O 4 y=3x y=3x＋1 直线 y＝3x 直线 y = 3x＋1 向上平移1个单位长度 直线 y = 3x－2 向下平移 2个单位长度 同样可以画出函数 y = 3x－2 的图象 y=3x-2 你能通过适当的移动将直线 y = 3x＋1变为直线 y = 3x－2 吗？ 向下平移 3个单位长度 探究点二： 一次函数的性质 新知探究 你知道直线 y = kx＋b (k ≠ 0) 与 y = kx (k ≠ 0) 有什么关系? 直线 y = kx y = kx＋b (注：b＞0 时，向上平移；b＜0 时，向下平移) 向上(或下)平移 |b| 个单位长度 【归纳总结】 探究点二： 一次函数的性质 新知探究 练一练 1. (1) 将直线 y ＝ 2x 向上平移 2 个单位后所得图象对应的函数表达式为(　　) A．y＝2x－1 B．y＝2x－2 C．y＝2x＋1 D．y＝2x＋2 (2) 将正比例函数 y＝－6x 的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数表达式可能是 _____________ (写出一个即可)． D y＝－6x＋3 探究点二： 一次函数的性质 新知探究 探究：(4) 图象与 y 轴相交于同一点的函数有哪些? b 值都是 1，都与 y 轴交于一点(0，1). y=3x＋1 y=4x－3 y=﹣x＋1 y=3x－2 y=－x＋1与 y=3x＋1 探究点二： 一次函数的性质 新知探究 思考：根据一次函数的图象判断 k，b 的正负，并说出直线经过的象限： k 0，b 0 ＞ ＞ k 0，b 0 k 0，b 0 ＞ ＞ ＜ = k 0，b 0 k 0，b 0 k 0，b 0 ＞ ＜ ＜ ＜ ＜ = y x o y x o y x o y x o y x o y x o 探究点二： 一次函数的性质 新知探究 一次函数 y = kx＋b 中，k，b 的正负对函数图象及性质有什么影响？ 当 k＞0 时，直线 y = kx＋b 由左到右逐渐上升，y 随 x 的增大而增大. ① b＞0 时，直线经过第一、二、三象限； ② b＜0 时，直线经过第一、三、四象限. 当 k＜0 时，直线 y = kx＋b 由左到右逐渐下降，y 随 x 的增大而减小. ① b＞0 时，直线经过第 一、二、四象限； ② b＜0 时，直线经过第二、三、四象限. 探究点二： 一次函数的性质 新知探究 例3 已知一次函数 y = (1 - 2m)x + m - 1，求满足下列条件的 m 的值： （1）函数值 y 随 x 的增大而增大； （2）函数图象与 y 轴的负半轴相交； （3）函数的图象过第二、三、四象限. 解：(1)由题意得 1 - 2m＞0，解得 (2)由题意得 1 - 2m≠0 且 m - 1＜0，即 m＜1且m≠ (3)由题意得 1 - 2m ＜ 0 且 m - 1 ＜ 0，解得 探究点二： 一次函数的性质 新知探究 一次函数的图象和性质 当 k ＞ 0 时，y 的值随 x 值的增大而增大； 当 k ＜ 0 时，y 的值随 x 值的增大而减小. 与 y 轴的交点是（0，b）， 与 x 轴的交点是（ ，0）； 当 k ＞ 0， b ＞ 0 时，经过一、二、三象限； 当 k ＞ 0 ，b ＜ 0 时，经过一、三、四象限； 当 k ＜ 0 ，b ＞ 0 时，经过一、二、四象限； 当 k ＜ 0 ，b ＜ 0 时，经过二、三、四象限. 图象 性质 课堂小结 1. 若k≠0，b＞0，则一次函数y＝kx＋b的图象可 能是(　C　) C 当堂反馈 2. 一次函数y＝－7x＋5的图象不经过(　C　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知点A(－5，y1)和点B(－3，y2)都在直线 y＝－3x－6上，则y1 y2.(填“＞”或“＜”) 4. 将一次函数y＝4x＋2的图象向下平移3个单位， 所得的直线经过第 象限. C ＞　 一、三、四　 当堂反馈 (1)求A，B两点的坐标； 解：(1)当y＝0时，2x＋3＝0， 3＝0，解得x＝－ ， 则点A的坐标为(－ ，0). 当x＝0时，y＝3，则点B的坐标为(0，3). 解：(1)当y＝0时，2x＋ 解得x＝－ ， 则点A的坐标为(－ ，0). 当x＝0时，y＝3，则点B的坐标为(0，3). 5. 如图，直线y＝2x＋3与x轴交于点A，与y轴交 于点B. 当堂反馈 (2)过点B作直线BP与x轴的正半轴交于点P，且使 AP＝2OA，求△BOP的面积. 解：(2)∵点A的坐标为(－ ，0)， 点B的坐标为(0，3)， ∴OA＝ ，OB＝3. ∵AP＝2OA， ∴OA＝OP＝ . ∴S△BOP＝ × ×3＝ . 当堂反馈 $