4.2 第2课时 一次函数与正比例函数（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

该初中数学课件聚焦一次函数与正比例函数的概念及关系，通过弹簧长度与所挂物体质量、汽车耗油量与行驶路程等实际情景导入，借助表格数据引导学生观察变量“均匀”变化，抽象出函数解析式，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其特色在于以实际问题为载体，通过“观察—抽象—概括—应用”流程，结合探究、例题、针对训练及当堂反馈，培养学生抽象能力、模型意识与应用意识。如租车计费、水费分档问题，引导学生用数学语言表达实际关系，助力学生发展数学思维，也为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

4.2 认识一次函数 第四章 一次函数 第 2 课时 一次函数和正比例函数的概念 北师版 八年级(上) 1.通过实际问题探索一次函数与正比例函数的概念，感受函数在实际生活中的应用，发展抽象思维能力、数学建模思想。(重点) 2.能够概括一次函数与正比例函数的关系，培养总结概括能力，感悟从特殊到一般的思想。(难点) 3.能根据问题信息写出一次函数的解析式，并利用一次函数解决实际问题，培养运算能力和应用能力。 素养目标 探究点一： 一次函数与正比例函数的概念 情景一 （1）随着所挂物体质量 х 的增加，弹簧长度 у 的增长是“均匀”的吗? （2）写出 y 与 х 之间的关系式，并说明理由。 y = 3 + 0.5x 在弹性限度内，某弹簧的长度 y (单位：cm)与所挂物体的质量 x (单位：kg) 的关系如下表所示： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3 3.5 4 4.5 5 5.5 是的 新知探究 某辆汽车油箱中原有汽油 40 L，汽车每行驶 50 km 耗油 4 L。 汽车行驶路程 x/km 0 50 100 150 200 300 耗油量 y/L 0 4 8 12 16 20 情景二 （1）完成下表： 探究点一： 一次函数与正比例函数的概念 新知探究 (2) 你能写出耗油量 y (L) 与汽车行驶路程 x (km) 之间 的关系式吗？ (3) 你能写出油箱剩余油量 z (L) 与汽车行驶路程 x (km)之间的关系式吗？ 或 y＝0.8x 或 z＝40－0.8x 汽车行驶路程 x/km 0 50 100 150 200 300 耗油量 y/L 0 4 8 12 16 20 探究点一： 一次函数与正比例函数的概念 新知探究 上面问题中，表示变量之间关系的函数解析式有什么共同的特点？ （1）y ＝ 0.5x ＋ 3 （2）y ＝ 0.8x （3）y ＝ -0.8x ＋40 y ＝ kx ＋ b 这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式. 探究点一： 一次函数与正比例函数的概念 新知探究 若两个变量 x，y 间的对应关系可以表示成 y＝kx＋b (k，b为常数，k≠0) 的形式，则称 y 是 x 的一次函数。 特别地，当 b = 0 时，称 y 是 x 的正比例函数. 函数是一次函数 函数是正比例函数 关系式为：y = kx ( k 为常数，k≠0) 关系式为：y = kx + b (k为常数，k≠0) 一次函数与正比例函数 探究点一： 一次函数与正比例函数的概念 新知探究 1. 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1) y＝－x－4； (2) y＝5x2－6； (3) y＝2πx； (6) y＝8x2＋x(1－8x). 解：(1)是一次函数，不是正比例函数； (2)不是一次函数，也不是正比例函数； (3)是一次函数，也是正比例函数； (4)是一次函数，也是正比例函数； (5)不是一次函数，也不是正比例函数； (6)是一次函数，也是正比例函数． 探究点一： 一次函数与正比例函数的概念 新知探究 1. 判定一个函数是一次函数的条件： 一次函数 正比例函数 正比例函数是一种特殊的一次函数。 【归纳总结】 ① k 是常数，k ≠ 0； ② x 的次数是 1. ① k 是常数，k ≠ 0； ② x 的次数是 1. ③ b = 0. 2. 判定一个函数是正比例函数的条件： 对一次函数而言，自变量每增加 1，函数值就增加 k，函数值的变化是“均匀”的。 探究点一： 一次函数与正比例函数的概念 新知探究 例1 写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断：y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？ (1) 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 y (km)与行驶时间 x (h) 之间的关系； 解：由路程 = 速度×时间，得 y = 60x， y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数. 解：由圆的面积公式，得 y = πx2， y 不是 x 的一次函数，也不是 x 的正比例函数. (2) 圆的面积 y (cm2) 与它的半径 x (cm) 之间的关系. 探究点一： 一次函数与正比例函数的概念 新知探究 解：这个水池每小时增加 5 m3 水，x h 增加 5x m3 水， 因而 y = 15 + 5x. y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数. (3) 某水池有水 15 m3，现打开进水管进水，进水速度为 5 m3/h，x h 后这个水池有水 y m3. 探究点一： 一次函数与正比例函数的概念 新知探究 【针对训练】 已知函数 (1) 若它是一次函数，求 m 的值； 解：∵ 是一次函数， ∴ m2－24＝1 且 m－5≠0。 ∴ m＝±5 且 m≠5。 ∴ m＝－5。 ∴ 当 m＝－5 时，函数 是一次函数。 探究点一： 一次函数与正比例函数的概念 新知探究 解：∵ 是正比例函数， ∴ m2－24＝1 且 m－5≠0 且 m＋1＝0。 ∴ m＝±5 且 m≠5 且 m＝－1。 这样的 m 不存在。 ∴ 不可能是正比例函数。 【针对训练】 已知函数 (2) 它可能是正比例函数吗？若能，求出 m 的值。 探究点一： 一次函数与正比例函数的概念 新知探究 例2 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过 1 s 其速度减少 35 km/h. （1）假设该汽车以 120 km/h 的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度 y（单位：km/h）与刹车后所经过的时间 t（单位：s）之间的关系式 y = kt + b，并说明 k 和 b 的实际意义； 解：（1）刹车开始时汽车的速度为 120 km/h，每过 1 s 汽车的速度减少 35 km/h，于是经过 t s 汽车的速度减少了 35t km/h，所以 y 与 t 的关系式是 y = -35t + 120. 其中，k = -35 表示每秒汽车速度的变化量， b = 120 表示刹车开始时汽车的速度. 探究点一： 一次函数与正比例函数的概念 新知探究 （2）求出（1）中汽车从刹车到停止所需的时间. (2) 汽车停止时速度 y = 0， 解方程 0 = -35t + 120，得 t = ≈3.43. 因此，该汽车从刹车到停止所需的时间大约为 3.43 s. 探究点一： 一次函数与正比例函数的概念 新知探究 【思考交流】（1）例1中，两个一次函数的一次项系数 k 和常数项 b 分别是多少，它们的实际意义是什么？ （1）y = 60x k = 60，实际意义是汽车速度(每小时行驶 60 km )； b = 0，表示行驶 0 小时时，路程为 0 km 。 y = 15 + 5x k = 5，实际意义是进水管进水速度(每小时进水 5m3 )； b = 15，表示打开进水管前，水池原有水 15 m3 。 探究点一： 一次函数与正比例函数的概念 新知探究 （2）一般地，k，b 对一次函数 y = kx + b 有怎样的影响？与同伴进行交流。 k 实际中对应 “单位变化量”（如速度、速率 ）。 b 实际中对应 “初始值”（如原有水量、起始路程 ），决定函数起始状态。 探究点一： 一次函数与正比例函数的概念 新知探究 探究：某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司. 甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元. 乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200 元 (不足 1 km 按 1 km 计算). （1）假设该单位用车里程为 30 km，你建议租用哪家公司的客车？ 探究点二： 列一次函数关系式 解：设用车里程为 x 千米，甲公司费用为 y甲 元，乙公司费用为 y乙 元， 由题意得 y甲 = 15x ， y乙 = 10x + 200， (1) 当 x = 30 时，y甲 = 15×30 = 450 . y乙 = 10×30 + 200 = 500 . 因为 450 ＜500，所以建议租用甲公司的客车. 新知探究 (2)假设该单位用车里程为 52 km，你建议租用哪家公司的客车? (3)用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同? (3) 当 y甲 = y乙 时，则 15x =10x + 200， 解得 x = 40。 所以用车里程为 40 千米时，两家出租车公司的收费相同. y甲 = 15x ， y乙 = 10x + 200 (2) 当 x = 52 时，y甲 = 15×52 = 780。 y乙 = 10×52 + 200 = 720。 因为 780 ＞720，所以建议租用乙公司的客车。 探究点二： 列一次函数关系式 新知探究 例3 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费. 下表是家庭人口不超过 4 人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量x/m3 单价/ (元/m3) 第一档 0＜x≤220 3.45 第二档 220＜x≤300 4.83 第三档 x＞300 5.83 （1）当 220＜x≤300 时，写出水费 y（单位：元）与 x 之间的关系式； 探究点二： 列一次函数关系式 新知探究 (1) 当 220＜x＜300 时，写出水费 y（单位：元） 与 x 之间的关系式； 计费档 户年用水量x/m3 单价/ (元/m3) 第一档 0＜x≤220 3.45 第二档 220＜x≤300 4.83 第三档 x＞300 5.83 解：(1) 当 220＜x＜300 时，用水量属于第二档。 于是 y = 3.45×220 + 4.83(x - 220)，即 y = 4.83x - 303.6。 (2) 某户一年用水量是 250 m²，求该户这一年的水费； (2) 当 x = 250 时，y = 4.83×250 - 303.6 = 903.9 (元)。 探究点二： 列一次函数关系式 新知探究 计费档 户年用水量x/m3 单价/ (元/m3) 第一档 0＜x≤220 3.45 第二档 220＜x≤300 4.83 第三档 x＞300 5.83 (3) 某户去年一年的水费是 1000.5 元，求该户去年一年的用水量. (3) 因为 3.45×220 = 759， 4.83×300 - 303.6 = 1145.4，759<1000.5<1145.4， 所以该户年用水量属于第二档。 设该户年用水量为 x m3，则 1 000.5 = 4.83x - 303.6。 解这个方程，得 x = 270。 因此，该户去年一年的用水量为 270 m3。 探究点二： 列一次函数关系式 新知探究 计费档 户年用水量x/m3 单价/ (元/m3) 第一档 0＜x≤220 3.45 第二档 220＜x≤300 4.83 第三档 x＞300 5.83 【尝试思考】(1)在例3 中，当 x＞300 时，你能写出水费 y（单位：元）与用水量 x 之间的关系式吗? y = 3.45×220 + 80×4.83+5.83(x－300) = 5.83x－603.6 （2）像例3 这样计费有什么意义？设计计费规则时要注意什么？生活中还有哪些情况用到类似的计费方法？ 探究点二： 列一次函数关系式 新知探究 一次函数 一次函数的概念 函数的关系式的确定 正比例函数的概念 课堂小结 1. 下列函数中，是正比例函数的是(　A　) A. y＝－8x B. y＝－ C. y＝5x2＋6 D. y＝－0.5x－1 2. 某水池的容积是90m3，现蓄水10m3，用水管以 20m3/h的速度向水池注水，直到注满为止，则蓄水 量V(m3)与注水时间t(h)之间的函数关系式 为 ⁠ ，该水池注满水需 h。 A V＝10＋20t　 4　 当堂反馈 3. 如图，△ABC的边BC长为10cm，BC边上的高 为6cm，D点在BC边上运动。设BD长为xcm，则 △ACD的面积y(cm2)与x(cm)之间的函数关系式 为 ，此函数是 函数(填“正 比例”或“一次”)。 y＝30－3x　 一次　 当堂反馈 4. 已知函数y＝(m－1)x＋1－3m. (1)当m为何值时，y是x的一次函数？ 解：(1)由题意得m－1≠0， ∴m≠1. (2)当m为何值时，y是x的正比例函数？ 解：(2)由题意得m－1≠0且1－3m＝0， ∴m＝ . 解：(1)由题意得m－1≠0， ∴m≠1。 解：(2)由题意得m－1≠0且1－3m＝0， ∴m＝ 。 当堂反馈 $