4.2 第1课时 认识函数（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

4.2 认识一次函数 第四章 一次函数 第 1 课时 认识一次函数的现象 北师版 八年级(上) 1. 从漏水、燃香现象抽象变量关系，通过实验推导公式，建立坐标系分析模型，理解 “均匀变化” 本质，掌握实际问题数学化方法。 2. 整理实验数据并在坐标系中描点，分析数据规律与差异，培养数据处理与逻辑推理能力。 3. 运用数学模型解决漏水量估算、燃香时长预测等问题，体会数学实用价值，增强数学应用意识。 素养目标 一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少？够一个人一年使用吗? 先猜一猜，再设计一个方案具体估算一下，并与同伴进行交流。 2020年，我国人均生活用水量：城镇（含公共用水）207L/d， 农村100 L/d。 情境导入 【操作思考】（1）将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯。每隔 1 min，记录一下量杯中的水量，并将数据填入下表。 问题1：在坐标纸上描出（t，V）对应的点。 时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 漏水量V/mL ... 探究点： 认识一次函数的现象 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 新知探究 问题2：漏水量的变化具有什么规律？ 这个水龙头一天的漏水量是多少? 时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 漏水量V/mL ... 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 规律：实验时间每增加1min,漏水量增加5mL。 一天有 24×60 = 1440 min， 据此估计这个水龙头一天的漏水量为 5×1440 = 7200 mL。 探究点： 认识一次函数的现象 新知探究 问题3：分析实验数据，写出漏水量 V 与时间 t 之间的关系式。 V = 5t 时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 漏水量V/mL 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 探究点： 认识一次函数的现象 新知探究 （2）上表是小明通过实验得到的数据. 思考1：请你根据小明得到的数据，在坐标纸上描出（t，V）对应的点. 时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 漏水量V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 ... 探究点： 认识一次函数的现象 新知探究 思考2：小明实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少？一年呢？够一个人一年使用吗? 时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 漏水量V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 ... 一天漏水量：一天有 24×60 =1440 分钟。 由数据可知每分钟漏水量为 5.5 mL，则一天漏水量为 5.5×1440=7920mL=7.92L。 一年漏水量：一年按 365 天算， 一年漏水量为 7.92×365＝2890.8 L. 2020年，我国人均生活用水量：城镇（含公共用水）207L/d， 农村100 L/d. 不够一个人一年使用. 探究点： 认识一次函数的现象 新知探究 （3）分析小明的实验数据，你能帮他写出漏水量 V 与时间 t 之间的关系式吗？ （4）你的实验结果与小明的实验结果有何异同？ 时间 t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 漏水量V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 ... +5.5 +5.5 +5.5 +5.5 +5.5 +5.5 +5.5 +5.5 +5.5 V = 5.5t 探究点： 认识一次函数的现象 新知探究 【思考·交流】 分享各组的实验结果，并交流下列问题： （1）比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处，又有什么不同之处？ 共同：漏水量随时间增加而“均匀”地增加。 不同：单位时间漏水量不同，函数表达式一次项系数有差异。 探究点： 认识一次函数的现象 新知探究 (2) 引起各组数据不一致的因素有哪些？这些因素的差别对表格、图象和表达式的影响分别体现在哪些方面？ 因素：水龙头阀芯磨损、出水口结构、测量误差。 探究点： 认识一次函数的现象 影响：表格中相同时间漏水量数值不同； 图象倾斜程度和与坐标轴交点有别； 表达式一次项系数和常数项可能改变。 新知探究 表格：相同时间漏水量数值“均匀”地增大。 图象：更陡。 表达式：一次项系数绝对值增大（初始状态无变化时）。 （3）假如漏水严重一些，表格、图象和表达式可能会发生什么变化？为什么？ 探究点： 认识一次函数的现象 新知探究 【操作思考】为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔 1 min 测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下： （1）根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出（t，l）对应的点。 燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ... 香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ... 探究点： 认识一次函数的现象 新知探究 （2）估计燃烧 10 min 后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由。 燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ... 香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ... 由题意得，香每分钟缩短 0.5 cm， 那么燃烧 10 分钟时，总共减少的长度是0.5×10 = 5 cm。 则燃烧 10 分钟后香可燃烧部分的长度为 22.4 - 5=17.4 cm。 O 1 2 3 4 5 20 20.5 21 21.5 22 22.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 探究点： 认识一次函数的现象 新知探究 （3）估计这根香可燃烧的时间，并说明理由. （4）试写出这根香可燃烧部分的长度 l 与燃烧时间 t 的关系式. (3) 香初始长 22.9 cm，燃尽需 45.8 min。 燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ... 香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ... -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 (4) l 与 t 的关系式为 l = 22.9 - 0.5t。 探究点： 认识一次函数的现象 新知探究 问题2：为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢? 在小颖的实验中，燃烧时间每增加 1 min，香可燃烧部分的长度就减少 0.5 cm. 也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少。 所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的。 问题1：香可燃烧部分的长度是如何变化的？ 探究点： 认识一次函数的现象 新知探究 1. 生活中还有哪些“均匀”变化的现象？试举两例。 答：(1) 烧水升温：恒定功率加热时，水在沸腾前，水温随时间均匀上升。 (2) 汽车匀速行驶：汽车以固定速度在公路上行驶，行驶路程随时间均匀增加。 探究点： 认识一次函数的现象 新知探究 认识一次函数的现象 实际问题解决 实验与坐标系关联 变量关系分析 实验数据采集 坐标系呈现 数据规律推导 均匀变化理解 数据估算应用 模型应用拓展 课堂小结 1. 我们知道：海拔高度每上升 1 km，温度下降 6 ℃，某时刻，某地地面温度为 10 ℃，设高出地面 x km处的温度为 y ℃， (1) 随着海拔高度的上升，温度的下降 （填“是”或“不是”）均匀的. (2)写出 y 与 x 之间的函数关系式； 是 y ＝10－6x 当堂反馈 2. 假设圆柱的高是 8 cm，圆柱的底面半径由小到大变化时，圆柱的体积也随之均匀变化， (1) 在这个变化的过程中，自变量为 . (2) 如果圆柱底面半径为 r (单位：cm)，那么圆柱的体积 V (单位：cm3) 可以表示为 ； (3) 当 r 由 1 cm 变化到 6 cm 时， V 由 cm3 变化到 cm3 . 圆柱的底面半径 V＝8πr2 8π 288π 当堂反馈 $