4.1 函数（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

4.1 函数 第四章 一次函数 北师版 八年级(上) 1.借助简单实例了解函数的概念，弄清自变量与函数之间的关系，发展数感和量感。(重点) 2.通过函数的定义，能判断两个变量是否具有函数关系，形成对数学知识的理解，学会发现问题、提出问题。 3.掌握函数的定义，能确定函数中自变量的取值范围并解决相关问题，养成有意识的数据运用和数学语言表达习惯。(难点) 素养目标 水面高度 水量 石子数量 乌鸦能喝到水，是因为什么量发生了改变呢？ 水面高度和石子数量。石子数量改变使得水面高度改变，而水量固定不变。 情境导入 如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ 情景一 探究点一：函数的概念及表示方法 新知探究 探究点一：函数的概念及表示方法 新知探究 下图反映了摩天轮上的一点的高度 h (m) 与旋转时间 t (min) 之间的关系. t/分 0 1 2 3 4 5 … h/米 … (1) 根据左图填表： (2) 对于给定的时间 t ，相应的高度 h 确定吗？ 14 36 47 36 3 14 返回 探究点一：函数的概念及表示方法 新知探究 瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 填写下表： 1 2 3 4 5 … … 1 3 6 10 15 对于给定任一层数 n，相应的物体总数 y 确定吗？有几个 y 值和它对应？ 层数 n 物体总数 y 唯一一个 y 值 情景二 返回 探究点一：函数的概念及表示方法 新知探究 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到 -273 ℃，则气体的压强为零. 因此，物理学把 -273 ℃ 作为热力学温度的零度. 热力学温度 T (K) 与摄氏温度 t (℃) 之间有如下数量关系：T = t + 273，T≥0. (1) 当 t 分别等于 -43℃，-27℃，0℃，18℃ 时，相应的热力学温度 T 是多少？ (2) 给定任一个大于 -273 ℃ 的摄氏温度 t 值，相应的热力学温度 T 确定吗？有几个 T 值和它对应？ 情景三 探究点一：函数的概念及表示方法 新知探究 解：当 t＝-43 ℃ 时，T＝ -43＋273＝230 (K)； 数量关系：T＝t + 273，T≥0. 当 t＝-27 ℃ 时，T＝ -27＋273＝246 (K)； 当 t＝0 ℃ 时，T＝0＋273＝273 (K)； 当 t＝18 ℃ 时，T＝18＋273＝291 (K). (1) 当 t 分别为 -43 ℃，-27 ℃，0 ℃，18 ℃ 时，相应的热力学温度 T 是多少？ (2) 给定一个大于 -273 ℃的 t 值，你都能求出相应的 T 值吗？ 解：能. 因为 t＞-273 时，T＞0，满足条件且 T 是唯一确定. 返回 探究点一：函数的概念及表示方法 新知探究 上面的三个问题中，有什么共同特点？ ①时间 t 、相应的高度 h ； ②层数 n、物体总数 y； ③摄氏温度 t 、热力学温度 T. 共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值. 探究点一：函数的概念及表示方法 新知探究 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量。 函数 注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 探究点一：函数的概念及表示方法 新知探究 表示函数 的一般方法 列表法 图象法 关系式法(表达式法) 情景一 情景二 情景三 ↑ 点击查看 探究点一：函数的概念及表示方法 新知探究 例1 下列关系式中哪些是 y 关于 x 的函数，哪些不是? (1) y = x；(2) y = x2 + 2；(3) y2 = x；(4) y = ± . 解析：① 当 x = 1 时， y = 1；当 x = 2 时， y = 2 ...... 对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，则 y 是 x 的函数；同理 ②。 ③当 x = 1 时， y2 = 1，y = ±1 . ④当 x = 1 时， y = ±1。 对于 x 的每一个确定的值，y 不唯一，则 y 不是 x 的函数。 探究点一：函数的概念及表示方法 新知探究 例2 (1) 圆的周长公式 C = 2πR 中，有______个变量，是______和________； (2) 汽车在公路上匀速行驶，速度为每小时 30 km，则汽车行驶的路程 s (km)与行驶的时间 t ( h ) 之间的关系式为________； (3) 圆的面积 S 与半径 R 的函数关系式为__________； (4) 某 30 层的大厦底层高 4 m，以上每层高 3 m，从底层数起，则前 n 层的高度 h (m) 与 n 的函数关系式为___________. 2 C R s = 30t S = πR2 h = 3n + 1 探究点一：函数的概念及表示方法 新知探究 探究点二： 函数的自变量的取值范围与函数值 问题：上述的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？ 情景一 自变量 t 的取值范围:__________ t≥0 新知探究 1 2 3 4 5 … … 1 3 6 10 15 层数 n 物体总数 y 情景二 罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 自变量 n 的取值范围：_________. n 取正整数 探究点二： 函数的自变量的取值范围与函数值 新知探究 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到 -273 ℃，则气体的压强为零. 因此，物理学把 -273 ℃作为热力学温度的零度. 热力学温度 T (K) 与摄氏温度 t (℃) 之间有如下数量关系：T = t + 273，T≥0. 情景三 自变量 t 的取值范围：___________. t≥-273 探究点二： 函数的自变量的取值范围与函数值 新知探究 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值。 即：如果 y 是 x 的函数， 当 x = a 时，y = b， 那么 b 叫作当 x = a 时的函数值。 注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的函数的值。 函数值 探究点二： 函数的自变量的取值范围与函数值 新知探究 例3 汽车的油箱中有汽油 50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y (单位：L) 随行驶里程 x (单位：km) 的增加而减少，平均耗油量为 0.1 L/km。 （1）写出表示 y 与 x 的函数关系的式子。 解：(1) 函数关系式为： y = 50－0.1x 油箱中的剩油量、汽车耗油量与油箱中原有油量之间有怎样的数量关系？ 0.1x 表示的意义是什么？ 探究点二： 函数的自变量的取值范围与函数值 新知探究 (2) 由 x≥0 及 50－0.1x≥0　 得　0≤x≤500， ∴自变量的取值范围是 0≤x≤500。 汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！ 确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义。 总结 (2) 指出自变量 x 的取值范围； 探究点二： 函数的自变量的取值范围与函数值 新知探究 (3) 汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少油？ (3) 当 x = 200 时，函数 y 的值为 y = 50－0.1×200 = 30。 因此，当汽车行驶 200 km 时，油箱中还有油 30 L。 探究点二： 函数的自变量的取值范围与函数值 新知探究 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 和 y，并且对于变量 x 的________，变量 y 都有 与它对应，那么我们称 y 是 x 的 ，其中 x 是______ 如果 y 是 x 的函数，当 x = a 时 y = b，那么 b 叫作当自变量的值为_____时的_______ 函数 每一个值 唯一的值 函数 自变量 a 函数值 新知探究 1. 下列图象中，表示y是x的函数的是(　B　) B 2. 若一支铅笔 2 元，小敏用 11 元钱买了x支铅笔，余款为 y 元，则 y 与 x 之间的关系式为(　C　) A. y＝2x B. y＝2x＋11 C. y＝11－2x D. y＝11x－2 C 当堂反馈 3. 函数y＝3－ 中，自变量x可取的值是(　A) A. 5 B. 3 C. 0 D. －5 A 4. 在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程 中，水的温度(T)随加热时间(t)变化的函数图象大致 是(　B　) B 当堂反馈 6. 观察下表，y与x的关系式为 ⁠. 5. 已知变量s与t的函数关系式是s＝3t＋2t2，则当 t＝－1时，函数值s＝ ⁠. x 1 2 3 4 5 … y 2 4 6 8 10 … －1　 y＝2x　 当堂反馈 $