第二章 实数 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

小结与复习 第 2 章 实数 八年级上册数学（北师版） 平方根与立方根 二次根式 实数 平方根 算术平方根 定义：最简二次根式 性质：积（商）的算术平方根 运算：加、减、乘、除、乘方 立方根 概念与性质 定义 分类 单元结构图 一、无理数 1. 无限不循环小数称为无理数. 如 π = 3.14159265…， 0.585 885 888 588 885… (相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1) 想一想：你能找到其他的无理数吗？ 知识要点 二、平方根与立方根 2. 算术平方根的意义： 算术平方根具有双重非负性. 非负数 ≥0 （a≥0） 1. 正数 a 的正的平方根，叫作这个正数的算术平方根. 0 的算术平方根是 0 ，即 知识要点 ①若 ，则 x 叫 a 的平方根，即 . ②当 ，则 x 叫 a 的立方根. 即： 3. 平方根的定义： 知识要点 开平方的定义 类比 开立方的定义 平方根的性质 立方根的性质 求一个数 a 的立方根的运算，叫作开立方，其中 a 叫作被开方数. 如：求 8 的立方根. 一个正数有两个平方根；0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根. 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0 的立方根是 0. 求一个数 a 的平方根的运算，叫作开平方，其中 a叫作被开方数. 如：求 9 的平方根. 知识要点 无理数： 无限不循环小数 有理数： 有限小数或无限循环小数 实 数 分数 整数 ①按定义分类 正整数 零 负整数 正分数 负分数 正无理数 负无理数 三、实数的相关概念 1. 实数分类： 知识要点 负实数 正实数 数实 正有理数 负有理数 ② 按符号分类 0 正无理数 负无理数 概念复习 知识要点 2. 数轴 ① 实数和数轴上的点是一一对应的. ② 在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大. 3. 相反数、倒数 a 与 -a 相反数的两数和为 0 (a与b互为相反数 a+b = 0) b 与 互为倒数的两数积为 1 (a 与 b 互为倒数 ab = 1) 知识要点 4. 绝对值（到原点的距离） |a|= a (a > 0) 0 (a = 0) -a (a < 0) |a| 为非负数，即 |a|≥0 ② 非负式的常见形式有：|a|； a2； ； 5. 实数的大小比较 ① 利用数轴（右边的数总比左边大）； ② 作差与 0 比； ③ 作商与 1 比（分母的符号已知）. ① 概念复习 知识要点 四、二次根式 1、定义： 形如　　　　　的式子叫作二次根式， 2、性质： ⑴ 积的算术平方根， 等于算术平方根的积. ⑵ 商的算术平方根， 等于算术平方根的商. 其中 a 叫作被开方数. 概念复习 知识要点 3、最简二次根式 ： 满足以下三个条件的二次根式叫最简二次根式： ⑴被开方数不能含有开得尽方的因数或因式； ⑵被开方数不能含有分母； ⑶分母不能含有根号. 注意： 二次根式的化简与运算，最后结果应化成最简二次根式. 概念复习 知识要点 4、二次根式的运算： (1) 二次根式的加减： 类似合并同类项； (2) 二次根式的乘法： (3) 二次根式的除法： (4) 二次根式的平方： 知识要点 例1 下面四个数中，属于无理数的是 ( ) A. 0 B. π C. D. -3.14 B 考点一 无理数的概念 中无理数的个数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 A 1. 下列各数 2. 一个长方形的长与宽分别是 6、3，它的对角线的长是( ) A. 整数 D. 无理数 C. 有理数 B. 分数 D 【变式训练1】 考点讲练 例2 有一个数值转换器，原理如下： 当输入的 x 为 81 时， 输出的 y 是 ( ) A. 9 B. C. 3 D. D 考点二 平方根与立方根 例3 下列说法正确的是 ( ) A. (-3)2 的平方根是 3 B. = ±4 C. 4 的算术平方根是 2 D. 9 的平方根是 3 C 考点讲练 3. 下列语句中正确的是（ ） A. -9 的平方根是 -3 B. 9 的平方根是 3 C. 9 的算术平方根是±3 D. 9 的算术平方根是 3 D 【变式训练2】 4. 下列运算中，正确的是（ ） A 考点二 平方根与立方根 考点讲练 6. 下列等式正确的是（ ） 【变式训练3】 例4 下列结果为 -1 的是 ( ) A. B. C. D. 例5 若 ，则 a = 。 C a = (-2)3 = -8 -8 考点二 平方根与立方根 D 考点讲练 例6 与 最接近的整数是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 分析：32＜15＜42， 且 15 更接近 16， C 例7 已知 的整数部分为 a，则 2a - 1 = . 分析：∵ 22＜5＜32， ∴ 的整数部分 a 为 2. ∴ 2a - 1 = 3. 3 考点二 平方根与立方根 考点讲练 8. 估计 的值在 ( ) A. 5 到 6 之间 B. 6 到 7 之间 C. 7 到 8 之间 D. 8 到 9 之间 C 9. 已知 a 的立方根是 2，b 是 的整数部分， 则 a + b 的算术平方根是 . 分析： a = 23 = 8 32＜12＜42 → b = 3 a + b = 11 考点讲练 【变式训练4】 考点二 平方根与立方根 考点讲练 考点三 实数 1.实数的概念与分类 例7 将下列各数填入相应的集合中： 无理数集合：{ …}； 分数集合：{ …}； 正数集合：{ …}； 负整数集合：{ …}。 考点讲练 2.实数的性质 例7 有下列语句： ① 带根号的数都是无理数； ② 任何实数的绝对值都是非负数； ③ 所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数； ④ 若两个非负数的和为零，则这两个数都为零. 其中，错误的是 . ①③ 考点三 实数 考点讲练 3.实数的性质与大小比较 例8 实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点如图所示，则 将它们用“ < ”连接是 . c d 0 b a 其中： c < d < b < a a + b -d - c b - c a - d | c－b|= | a－d|= 考点三 实数 考点讲练 11. 比较大小： 与 解：∵ (-2 + )-(-2+ ) = -2+ +2- = - ＞0， ∴ -2+ ＞-2+ 另解：直接由正负决定-2+ ＞-2+ 【变式训练5】 考点三 实数 考点讲练 4.实数的运算 例9 计算： (2) 原式 解：(1) 原式 = 3 + 1 - 3 + 6 = 7. = -1. 考点三 实数 考点讲练 1.二次根式有意义的条件 例10 若要使 有意义，则 x 的取值范围为 . 分析：被开方数为非负数 分母不为 0 → x - 4 ≠ 0 x≤3 → 3 - x ≥ 0 x≤3 考点四 二次根式 考点讲练 13. 已知 ，那么 xy = . 分析：被开方数为非负数 2x - 1≥0，1 - 2x≥0， ∴ y = 2. 1 考点四 二次根式 考点讲练 2.二次根式的化简 例11 下列各式中，计算正确的是 ( ) C (a≥0) 考点讲练 考点四 二次根式 考点讲练 14. 先化简再求值：当 a = 时， 求 的值. 解：原式 当 a = 时， 原式 考点四 二次根式 考点讲练 考点讲练 3.二次根式的运算 例12 计算: 解：(1) 原式 (2) 原式 考点四 二次根式 考点讲练 15. 计算: 解：(1) 原式 = (2) 原式 = = 6 - 5 = 1. = 5 + 1 = 6. 考点讲练 考点四 二次根式 考点讲练 见教材章末练习 课后作业 $