第一章 勾股定理 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

该初中数学课件聚焦勾股定理及逆定理，通过单元结构图梳理知识脉络，从概念（定义、验证方法）到应用（边长计算、实际问题）再到拓展（勾股数、规律探究），以对比表格、例题训练为学习支架。 亮点在于结合航海、渡河等实际情境培养数学眼光，通过对比辨析与规律证明发展数学思维，用直角三角形模型提升数学语言表达。例题-训练模式及互逆关系小结，助学生提升应用能力，教师教学资源系统高效。

小结与复习 第一章 勾股定理 北师版 八年级(上) 勾股定理 勾股定理 的逆定理 直角三角形 验证方法 已知两边 求第三边 判定直角三角形 判定勾股数 判定垂直 单元结构图 一、勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为 c， 那么 a2 + b2 = c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 在直角三角形中才可以运用！ 已知 Rt△ABC 的两直角边长分别是 3 和 4，则它的斜边长是 . 5 勾股定理的应用条件： 知识要点 二、勾股定理的逆定理与勾股数 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 +b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形. 满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数 a，b，c，称为勾股数. 勾股数 知识要点 三、勾股定理与勾股定理的逆定理的比较 以“一个三角形是直角三角形”为条件，得出三角形三边有 a2 + b2 = c2 关系式成立. 以一个三角形的三边 a、b、c 满足 a2 + b2 = c2 为条件，得出这个三角形是直角三角形的结论  都与三角形三边有关；  都与直角三角形有关 勾股定理 勾股定理的逆定理 区 别 联 系 知识要点 考点一 勾股定理 例1 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°. ① 若 a = 5，b = 12，则 c =______； ② 若 a = 15，c = 25，则 b =______. 13 20 考点讲练 1. 已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4 ，则第三边长的平方是（　　） A. 25 B. 14 C. 7 D. 7 或 25 D 2. 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为______. 考点一 勾股定理 【针对训练】 考点讲练 3. 如图，在四边形 ABCD 中，∠B =∠D = 90°，分别以 AB，BC，CD，DA 为边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用 S甲，S乙，S丙，S丁 来表示它们的面积，那么下列结论正确的是 ( ) A. S甲 = S丁 B. S乙 = S丙 C. S甲 - S乙 = S丁 - S丙 D. S甲 + S乙 = S丙 + S丁 D 【针对训练】 考点一 勾股定理 考点讲练 考点二 勾股定理的应用 例2 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、 “海天”号轮船同时从港口 P 出发， “远航”号以每小时 24 nmile 的速度沿北偏东 35° 向航行，“海天”号以每小时 10 nmile 的速度沿北偏西 55° 方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于 Q，R 处，则此时“远航”号与 “海天”号的距离 RQ 为 nmile. 102 + 242 = 262 26 考点讲练 4. B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东 60° 方向以每小时 8 n mile 的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时 15 n mile 的速度前进，2 h 后，甲船 到 M 岛，乙船到 P 岛，两岛相距 34 n mile， 你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？ 北 东 B M P 60° 【针对训练】 考点二 勾股定理的应用 考点讲练 解：甲船航行的距离为 BM = 16 n mile， 乙船航行的距离为 BP = 30 n mile. 因为 162+302 = 1156，342 = 1156， 所以 BM2 + BP2 = MP2. 所以△MBP 为直角三角形. 所以∠MBP = 90°. 所以 乙船是沿着南偏东 30° 方向航行的. 北 东 B M P 60° 考点二 勾股定理的应用 考点讲练 5. 如图，某人欲横渡一条河， 由于水流的影响，实际上岸地点 A 处偏离欲到达地点 B 处 40 m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多 10 m 求该河的宽度 BC 的长. 解：设 BC 为 x m，则 AC 为 (x + 10) m. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，由勾股定理得 AC2 + AB2 = BC2，即 (x + 10)2 = 402 + x2. 解得 x = 75，即 BC = 75 m. 答：该河的宽度 BC 为 75 m. 【针对训练】 考点二 勾股定理的应用 考点讲练 6. 小明家住在 18 层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿. 糟糕，太长了，放不进去 如果电梯的长、宽、高分别是 1.5 米、1.5 米、2.2 米，那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？ 【针对训练】 考点二 勾股定理的应用 考点讲练 1.5 米 1.5 米 2.2 米 1.5 米 1.5米 x x 2.2米 A B C x2 = 1.52 + 1.52 = 4.5 AB2 = 2.22 + x2 = 9.34 AB ≈ 3.1 米 能放入电梯内的竹竿的最大长度大约 3.1 米，因为竹竿放不进去，所以小明买的竹竿至少是 3.1 米. 考点二 勾股定理的应用 考点讲练 考点三 勾股数（树） 例3 如图1，∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 3，以这个直角三角形两直角边为边作正方形. 图 2 由图 1 的两个小正方形向外分别作直角边之比为 4 : 3 的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图 6 中 所有正方形的面积和为 ( ) A.200 B.175 C.150 D.125 50 75 32 42 52 32 42 32 42 100 B 考点讲练 7. 观察下列等式. 第 1 个等式：(22 - 1)2 + 42 = 52； 第 2 个等式：(32 - 1)2 + 62 = 102； 第 3 个等式：(42 - 1)2 + 82 = 172； 第 4 个等式：(52 - 1)2 + 102 = 262. (1) 请用含 n ( n 为正整数，且 n > 1) 的等式表示上面的规律，并证明其正确性. 解：(n2 - 1)2 + (2n)2 = (n2 + 1)2 (n2 - 1)2 + (2n)2 = n4 - 2n2 + 1 + 4n2 = n4 + 2n2 + 1 = (n2 + 1)2. 【针对训练】 考点三 勾股数（树） 考点讲练 (2) 若三个整数能构成直角三角形的三边长，则称这 三个数为勾股数 (例如，3，4，5). 现有一个直角边为 35 的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用 (1) 中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由. (2) 它的三边长能为勾股数. 理由如下： 35 = 36 - 1 = 62 - 1， 把 n = 6 代入，得 (62 - 1) + (2×6)2 = (6+1)2， 即 352 + 122 = 372， 它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35，12，37. 考点三 勾股数（树） 考点讲练 考点四 勾股定理的逆定理 例4 下列各组数中，以 a，b，c 为边的三角形不是直角三角形的是（　　） A. a = 1.5，b = 2，c = 3 B. a = 7，b = 24，c = 25 C. a = 6，b = 8，c = 10 D. a = 3，b = 4，c = 5 A 考点讲练 8. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现了数形结合的思想. 下列选项中的图形， 不能证明勾股定理得是 ( ) C 【针对训练】 考点四 勾股定理的逆定理 考点讲练 勾股定理　 直角三角形边 长的数量关系　　 勾股定理 的逆定理　　 直角三角 形的判定　　 互逆定理 课后小结 见教材章末练习 课后作业 $