1.1 第1课时 认识勾股定理（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

该初中数学课件聚焦勾股定理的认识与应用，通过毕达哥拉斯树和《周髀算经》情境导入，搭建从面积关系探究到定理推导的学习支架，帮助学生建立从具体到抽象的认知脉络。 其亮点在于融合数学文化与探究活动，借助地砖、网格面积割补培养推理意识和几何直观，例题与变式练习强化运算能力和模型意识。学生能直观理解定理来源，教师可依托结构化设计提升教学效率。

勾股定理，这是什么三角形？再说具体点，直角三角形，此乃勾股形也。你说啥，古时候直角三角形就叫勾股形，两条直角边里短的是勾，长的为股，斜边则叫嫌，注意是咸不是咸，直角边的长度分别记为A和B斜边长度记为C则一定有A的平方加B的平方等于C的平方，这就是勾股定理，好神奇，数和形的完美结合。正因如此，古今中外的很多人都为他疯狂，中国的山高、赵爽、刘辉，古希腊的毕达哥拉斯、欧几里得，甚至还有美国总统回头看毕达哥拉斯。他证明了勾股定理之后特别嗨，直接杀了100头牛祭祀，所以这个定理也叫毕达哥拉斯定理或者百牛定理。牛也太可怜了吧，但是有个人比牛还可怜，那就是毕老的学生西帕索斯。作为一个好奇的宝宝，他提了一个问题，如果一个等腰直角三角形的直角边长为一，那么这个三角形的斜边长是多少呢？毕达格拉斯大手一挥算，直角边的平方都是一的平方，也就是一加起来等于2，换句话说，斜边的平方就是2，谁的平方等于二呢？这个树怎么找也找不到，根本无法用整数或分数表示。一老很受伤，后果很严重，奇葩索斯就被扔到海里喂鱼了。但是，知识的进步不会就这样被抹杀。西帕索斯的问题引发了第一次数学危机，大大拓宽了人们对数的认识，而这一切都源于勾股定理简单明了的结论。对了，上课可要积极发言，放心，你的老师是一定不会拿你喂鱼的。 1.1 探索勾股定理 第1课时 认识勾股定理 第一章 勾股定理 北师版 八年级(上) 1. 通过古代数学文化的简述，了解我国古代在勾股定理研究方面的成就. 2. 掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题，培养运算能力和数学的语言表达能力，欣赏数学语言的优美与简洁. (重点) 3.勾股定理的探索与推理.(难点) 素养目标 如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形. 各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧. 你能说说其中的奥秘吗? 情境导入 《周髀算经》的第一章曾记载了一段对话，商高对周公姬旦说：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五”. 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，斜边称为“弦”. 按照商高的说法，如果勾长为三，股长为四，弦长必定是五. 你知道为什么吗？ 情境导入 探究点一： 勾股定理的初步认识 我们一起穿越回到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）： 观察右边地面的图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？ A B C 情境导入 A B C 问题1 图中正方形 A、B、C 的面积之间有何关系吗？ 探究点一： 勾股定理的初步认识 以等腰直角三角形两直角边为边的小正方形的面积的和，等于以斜边为边的正方形的面积. 新知探究 问题2　在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形 A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位 1 )： 这两幅图中 A，B 的面积都好求，该怎样求C的面积呢？ 探究点一： 勾股定理的初步认识 新知探究 方法一：割 方法二：补 方法三：拼 分割为四个直角三角形和一个小正方形. 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形. 探究点一： 勾股定理的初步认识 新知探究 根据前面求出的 C 的面积直接填出下表： A 的面积 B 的面积 C 的面积 左图 右图 4 13 25 9 16 9 探究点一： 勾股定理的初步认识 新知探究 问题3 正方形 A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？ 一直角边2 另一直角边2 斜边2 + = 探究点一： 勾股定理的初步认识 新知探究 几何语言描述： 在Rt△ABC 中，∠C = 90°， ∴ a2 + b2 = c2 a b c 公式变形： （a、b、c 为正数） 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2 + b2 = c2. 探究点一： 勾股定理的初步认识 新知探究 如图，从电线杆离地面 8 m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线 杆底部 6 m，那么需要多长的钢索？ 解：由勾股定理可得 AB2 = AC2 + BC2 = 62 + 82 = 100， 即 AB = 10. A C B 答：需要 10 m 的钢索. 探究点二： 勾股定理的简单应用 新知探究 解：(1) 正方形的面积为 325. (2) x = 8. 例1 求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度. (1) (2) 探究点二： 勾股定理的简单应用 新知探究 例2 如图，长 13 m 的梯子 AC 靠在墙上，梯子的底部 C 离墙角 B 的距离 BC 为 5 m (AB⊥BC)，求梯子的顶端 A 离地面 BC 的距离 AB．​ A B C 5m 13m 解：在Rt△ABC 中， 由勾股定理得，AB2 + BC2 = AC2， 所以 AB2 + 52 = 132， 解得 AB = 12（m）． 答：梯子的顶端 A 离地面 BC 的距离AB 为 12 m. 探究点二： 勾股定理的简单应用 新知探究 练一练 1.已知∠ACB = 90°，CD⊥AB，AC = 3，BC = 4. 求 CD 的长. 解：由勾股定理可得 AB2 = AC2 + BC2 = 25， 即 AB = 5. 根据三角形面积公式， 得 AC·BC = AB·CD. ∴ CD = . A D B C 3 4 探究点二： 勾股定理的简单应用 新知探究 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用． 【方法总结】 探究点二： 勾股定理的简单应用 新知探究 1. 在△ABC中，∠B＝90°.若BC＝9，AB＝40， 则AC的长为(　D　) A. 50 B. 43 C. 42 D. 41 D 当堂反馈 2. 如图，已知Rt△ABC的三边分别为a，b，c， ∠C＝90°. (1)若a＝8，b＝6，则c＝ ⁠； (2)若c＝13，b＝5，则a＝ ⁠. 10　 12　 当堂反馈 3. [教材变式]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°， 分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分 别记为S1，S2，S3.若S2＝4，S3＝6，则S1＝ ⁠. 第3题图 2　 当堂反馈 4. 如图，某农户准备建一个蔬菜大棚，棚宽6m， 高8m，长30m，棚的斜面用塑料布遮盖，不计墙的 厚度，则阳光透过的最大面积为 m2. 第4题图 300　 当堂反馈 5. 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC， CD⊥AB，且CD＝4cm，BD＝3cm. (1)求BC的长； 解：(1)在Rt△BDC中， BC2＝BD2＋CD2＝32＋42＝25， ∴BC＝5cm. 当堂反馈 (2)[方程思想]求AD的长. 解：(2)设AD＝xcm， 则AB＝AC＝(x＋3)cm. ∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°. 在Rt△ACD中，根据勾股定理得x2＋42＝(x＋3)2， 解得x＝ ， 即AD的长为 cm. 解：(2)设AD＝xcm， 则AB＝AC＝(x＋3)cm. ∵CD⊥AB， 在Rt△ACD中，根据勾股定理得x2＋42＝(x＋3)2， 解得x＝ ， 即AD的长为 cm. ∴∠CDA＝90°. 当堂反馈 认识勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2 利用勾股定理进行计算 课堂小结 $勾股定理是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。编号为普林顿322的巴比伦泥板中记载了很多的勾股数，这说明远在公元前约3000年的巴比伦人就知道了勾股定理。而同时古埃及人在测量土地时也运用到了勾股定理。在我国，公元前11世纪，周朝数学家商高在周髀算经中提出勾广三股修4近于无的勾股定理特例。但勾股定理的第一个证明一直到公元前6世纪，它由希腊数学家毕达哥拉斯提出。其后公元前4世纪，著名的希腊数学家欧几里德在巨著几何原本中给出一个很好的证明，在我国，最早证明勾股定理的是公元前3世纪三国时期数学家赵爽。直到现在，勾股定理已有多达500种的证明方法。今天，就让我们沿着历史的足迹，去探究勾股定理的思路和验证方法。