2.1 第1课时 认识无理数（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

八年级上册数学（北师版） 2.1 认识实数 第1课时 认识无理数 第 2 章 实数 1. 经历无理数的探究过程，理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数，培养自主学习的习惯，发展理论与实践相结合的能力. (重点) 2. 借助计算器对无理数进行估算，培养动手能力. (难点) 素养目标 古希腊的毕达哥拉斯学派认为，所有的数量都可以用整数或整数的比表示，这个论断正确吗？你能求出面积为 2 的正方形的边长吗？它能用整数或分数（即有理数）来表示吗？ 点击视频观看 情境导入 活动1 请大家以四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为 1 的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形. 探究点一：无理数的概念及认识 新知探究 1 1 拼接前后两个图形的面积保持不变. 新知探究 问题1：(1)设大正方形的边长为 a ，a 满足什么条件？ (2) a 能是整数吗？说说你的理由. a 不能是整数. 探究点：无理数的概念及认识 因为 S大正方形 = 2，所以 a2 = 2. a 1 从“数”的角度： 因为 a2 = 2，而 12 = 1，22 = 4， 所以 12 < a2 < 22. 所以 1< a < 2，故 a 不是整数. 新知探究 (3) a 能是分数吗？说说你的理由，并与同伴进行交流. 讨论：① a 是分母为 2 的分数吗？ ② a 是分母为 3 的分数吗？ ③ a 是分母为 4 的分数吗？ ④ a 是分母为多少的分数？ a2 = 2 不是 总结：事实上，满足等式 a² = 2 的 a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数。 不是 ··· ··· ··· 不是 新知探究 思考：(1) 如下图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少? (3) b 是有理数吗? (2) 设该正方形的边长为 b ，b 满足什么条件? 1 2 b b2 = 12 + 22 = 5，正方形的面积是 5 . b 满足 b2 = 5。 b 不是有理数 探究点一：无理数的概念及认识 总结：上面的两个问题中，数 a，b 确实存在，但都不是有理数。 新知探究 问题2：(1) 如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？ 1 a 2 面积为 2 活动2：面积为 2 的正方形边长 a 是多少？ 面积为 1 面积为 4 1＜a＜2 探究点一：无理数的概念及认识 新知探究 (2) a 的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？借助计算器进行计算： 1×1＜ a2＜2×2 ， a 的整数部分为 1 1.4×1.4 =1.96 ，a2 = 2 ，1.5×1.5 = 2.25。 所以 a 的十分位是 4 。 1.42＜ a2＜1.52， 同理可以得到百分位和千分位上的数。 分别计算 1 和 2 之间一位小数的平方： 1.12=1.21， 1.22=1.44， 1.32=1.69， 1.42=1.96， 1.52=2.25， 探究点一：无理数的概念及认识 新知探究 边长 a 正方形面积 S 1 < a < 2 1.4 < a < 1.5 1.41 < a < 1.42 1.414 < a < 1.415 1.414 2 < a < 1.414 3 1 < S < 4 1.96 < S < 2.25 1.988 1 < S < 2.016 4 1.999 396 < S < 2.002 225 1.999 961 64 < S < 2.000 244 49 (3) 小明将他的探索过程整理如下： 还可以继续算下去吗？a 可能是有限小数吗? 探究点一：无理数的概念及认识 新知探究 (4) a 可能是有限小数吗？它会是一个怎样的数呢？ a = 1.414 213 56···，它是一个无限不循环小数. (5) 面积为 5 的正方形的边长 b 的值是多少？ b 可能是有限小数吗？ b = 2.236 067 977···，它是一个无限不循环小数. 探究点一：无理数的概念及认识 总结：事实上，a =1.414 213 56···，b = 2.236 067 977···，它们都不是有理数，都是无限不循环小数。 新知探究 活动3：把下列有理数写成小数的形式： 探究点一：无理数的概念及认识 新知探究 思考2：像 π 这样的无限不循环小数属于有理数吗？ 不属于。因为有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，不能化成有限小数或无限循环小数的数不是有理数。 思考1：观察运算结果，请问你有什么发现? 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。 探究点一：无理数的概念及认识 新知探究 思考3：如果无限不循环小数不属于有理数，通过阅读教材 P26-27 说说它属于哪一类数? 无理数 0.585 885 888 588 885… (相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1) 想一想：你能找到其他的无理数吗？ 如 π = 3.14159265…， 总结：无限不循环小数称为无理数 新知探究 例1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14，- ，0.57，0.101 000 100 0001…（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2）。 . . 无理数有：0.101 000 100 000 1… 解：有理数有：3.14， ， 0.57； . . （相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2）。 新知探究 【解析】因为 3.14 是小数， 是分数， 是无限循环小数，所以选项 A，B，D 都是有理数； 是无限不循环小数，所以是无理数。 【练一练】1. 下列各数中，是无理数的为（ ） A. 3.14 B. C. 0.305305530555··· D. C 新知探究 2. 下列各数中，是无理数的有 （填序号）. ① 1 ② -π ③ 0 ④ 3.14 ⑤ 0.312 ⑥ π - 3.14 ⑦2.020020002 ⑧ ⑨ 1.23456… ⑩ 32 · · ②⑥⑨ 无省略号，为有限小数 新知探究 (1) 无理数是无限不循环小数，而有理数可以用有限小数或无限循环小数表示； 【方法总结】有理数与无理数的主要区别: (2) 任何一个有理数都可以化为分数形式，而无理数则不能。 新知探究 1. 下列各数中是无理数的是(　B　) A. －1 B. π C. 3.14 D. 2. 一个长方形的长和宽分别是 6 cm和 3 cm，它的对 角线的长的值是一个(　D　) A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 无理数 B D 当堂反馈 3. 下列语句正确的是(　D　) A. 3.787 887 888 788 88是无理数 B. 无理数分正无理数、零、负无理数 C. 无限小数不能化成分数 D. 无限不循环小数是无理数 D 当堂反馈 4. 若边长为a的正方形的面积为3，则a是 ⁠数. 5. [教材变式]下列各数：①3.1415926，②－ ， ③ 2. ，④6.7517551755517…(相邻 7，1 之间 5 的个 数逐次加1)，⑤0，⑥ ，⑦－ . 其中有理数 是 ⁠ ，无理数是 .(填序号) 无理 ①②③⑤⑥　 ④⑦　 当堂反馈 认识无理数 无理数的概念及认识 有理数与无理数的区别 课堂小结 Lavf58.20.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $第一次数学危机，公元前470年无理数的出现。在公元前5世纪的古希腊，出现了一位伟大的数学家毕达哥拉斯。毕达哥拉斯发现了著名的勾股定理定理，并证明了该定理。在那个时代，毕达哥拉斯就是数学界的权威，他组建了毕达哥拉斯学派，汇集了当时古希腊一流的数学人才。毕达哥拉斯有一个观点，就是所有的数字都可以表示成整数或者整数之比，比如0.3333可以表示为3分之1。有一天，毕达哥拉斯学派的一个学生西帕索斯发现等腰直角三角形的斜边无法用整数来表示，于是告诉了毕达哥拉斯。毕达哥拉斯一开始没觉得有什么问题，猜想一定是这位学生算错了，结果自己算了算，也发现了不能用整数表达的数。如果他不承认这个结果，就说明他发现的勾股定理是错的。毕达哥拉斯当然不能否定自己，于是煽动学派成员把西帕索斯扔进爱琴海淹死了。但是数学就是这样，它不以人的意志为转移，处死西帕索斯并不能解决这个悖论。直到1872年，德国数学家戴德金才以有理数分割的理论结束了第一次数学危机，无理数正式纳入了数学体系当中。此时距离西帕索斯殉难已经过了2300多年了。