7.1 为什么要证明（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

第7章 命题与证明 7.1 为什么要证明 【素养目标】 1. 经历观察、归纳、验证等活动过程,在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠。 (重点) 2. 初步感受证明的必要性, 发展推理意识。 (难点) 3. 仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的,必须进行有根有据地证明,培养科学严谨的学习态度。 【情境导入】 如果有一天有人这样告诉你:“你可以沿着一段一直向上的台阶(或楼梯)走,最终能回到出发点.” 你会怎样回答? “彭罗斯阶梯”埃舍尔的著名版画作品《升与下降》 【想一想】 (1) 两图的中间圆大小一样吗？ (2) 观察下面图片,是运动的还是静止的？ 【合作探究】 探究点一:数学的结论必须经过严格的论证 问题1: (1) 线段 与线段 哪个比较长? (2) 图中的四边形是正方形吗? 有时候视觉受周围环境的影响, 往往误导我们得出错误的结论,所以仅靠经验、观察是不够的,只有通过科学的实验进行严格的推理,才能得出最准确的结论. 新知探究 探究点一:数学的结论必须经过严格的论证 (3) 如图,把地球看成球形,假如用一根比地球赤道长 的铁丝将地球赤道围起来,铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大? 能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下, 再具体算一算,看看与你的感觉是否一致,并与同伴进行交流。 【思考】 (1) 代数式 的值是质数吗？取 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5试一试,你能否由此得到结论“对于所有的自然数 的值都是质数”? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 13 17 23 31 41 53 67 83 101 质数/合数 质数 质数 质数 质数 质数 质数 质数 质数 质数 质数 质数 (2) 如图,在 中,点 分别是 的中点,连接 与 有怎样的位置关系和数量关系? 请你先猜一猜,再设法检验你的猜想. 你能肯定你的结论对所有的 都成立吗? 与同伴进行交流. 【归纳与总结】 (1) 直觉有时会产生错误,不一定可信； (2) 图形的性质并不都是通过测量得出的； (3) 少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论, 并不能保证一般情况下都成立. 判断一个数学结论是否正确, 仅靠观察、猜想、 实验还不够, 必须经过一步一步、有根有据地推理. 探究点二: 检验数学结论的常用方法 例1 先观察再验证. 可以借助实验的方法验证 (1) 图 ① 中的实线是直的还是弯曲的? (2) 图 ② 中两条线段 与 哪一条更长？ (3) 图 ③ 中的直线 与直线 平行吗？ 例2 如图,从点 出发作出四条射线、 ,已知 . (1) 若 ,求 和 的度数; (2) 若 ,求 和 的度数； (3) 由 (1) (2) 你发现了什么? (4) 你能说明一下你的理由吗？ 【方法总结】 检验数学结论具体经历的过程是: 观察、度量、实验 猜想归纳 推理 正确结论. 当堂反馈 1. 下列语句中说法正确的是 ( ) A. 一个锐角与一个钝角的和等于一个平角 B. 任何一个角的补角都比这个角大 C. 一个锐角加上一个锐角的和是钝角 D. 任意两个直角都相等 2. 下列推理正确的是 ( ) A. 因为 ,所以 B. 因为 ,所以 C. 因为 ,所以 D. 因为 ,所以 3. 甲、乙、丙、丁在比身高,甲说:“我最高.” 乙说:“我不是最矮.” 丙说:“我没有甲高,但还是有人比我矮. ”丁说:“我最矮.” 实际测量表明只有一人说错了,则身高从高到低排第三位的是______. 4. [教材变式] 当 为正整数时,代数式 的值都等于1吗? 参考答案 探究点一:数学的结论必须经过严格的论证 问题1（1） （2） 是正方形 (3) 解: 设赤道周长为 ,则铁丝与地球赤道之间的间隙为 . 它们的间隙不仅能放进一个红枣,而且也能放进一个拳头. 【思考】(1) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 13 17 23 31 41 53 67 83 101 质数/合数 质数 质数 质数 质数 质数 质数 质数 质数 质数 质数 质数 当 时, 的值为 , 所以,对于所有自然数 的值未必都是质数. (2) 位置关系: ，数量关系: 验证方法: 测量推理 不一定正确对所有的 都成立 探究点二: 检验数学结论的常用方法 例1 解: 通过观察可能得出的结论是: (1) 实线是弯曲的. (2) 更长一些. (3) 与 不平行. 而我们用科学的方法验证后发现: (1) 实线是直的. (2) 与 一样长. (3) 平行于 . 例2 解: (1) 因为 , 所以 . 因为 , 所以 , . (2) , . (3) 发现 . (4) 因为 , , 所以 .所以 . 当堂反馈 1. D 2. B 3. 丙 . 4. 解: 当 时, ; 当 时, ； 当 时, ； 当 时, ； 当 时, . 所以当 为正整数时,代数式 的值不一定等于1. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $