5.3 第2课时 销售问题与和差倍分问题（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

该初中数学导学案聚焦二元一次方程组的应用，围绕百分率问题与和差倍分问题展开。课堂从生活中的百分数实例导入，联系已学方程组解法，通过利润、利润率等基础填空搭建学习支架，引导学生逐步解决复杂实际问题。 资料特色鲜明，生活化情境导入培养学生用数学眼光观察现实世界，合作探究中表格梳理量的关系、问题链设计提升推理意识，梯度习题从基础到综合，参考答案详细，助力学生自主学习，培养模型意识与应用意识，便于教师教学评估。

第5章 二元一次方程 5.4 应用二元一次方程组 第2课时 百分率问题与和差倍分问题 【素养目标】 1. 能根据题意找出等量关系,并能根据题意列二元一次方程组.(重点) 2. 正确找出问题中的两个等量关系. (难点) 3. 通过应用题教学,进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系,体会代数方法的优越性. 【情境导入】 这些广告中的 20%、半价是什么意思？你在生活中还见过哪些百分数? 【合作探究】 探究点一:用二元一次方程组解决百分率问题 1. 一种商品进价为 150 元,售价为 165 元,则该商品的利润为_________元； 2. 一种商品进价为 150 元,售价为 165 元,则该商品的利润率为_____, 3. 一种商品标价为 150 元,打八折后的售价为______元； 4. 一种商品标价为 200 元,当打_____折后的售价为 170 元. 5. 某工厂去年的总收入是 万元,今年的总产值比去年增加了 ,则今年的总收入是_______万元； 6. 若该厂去年的总支出为 万元,今年的总支出比去年减少了 ,则今年的总支出是_______万元； 7. 若该厂今年的利润为 780 万元,那么由 5 ,6 可得方程___________________. 问题1: 增长(亏损)率问题的公式? 问题2: 银行利率问题中的公式? 【合作探究】某工厂去年的利润(总产值 - 总支出) 为200万元,今年总产值比去年增加了20%,总支出比去年减少了10% ,今年的利润为780万元。去年的总产值、总支出各是多少万元? (1)这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系? (2)你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？与同伴进行交流。 设去年的总产值为 万元,总支出为 万元,则有: 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 去年 今年 根据上表, 可以列出方程组_______________________________. 解这个方程组,得____________________。 因此,去年的总收入是__________,总支出是________。 【练一练】 1. 甲、乙两种商品原来的单价和为100元, 因市场变化,甲商品降价15%,乙商品提价10%, 调价后两种商品的单价和比原来的单价和降低了5%. 求甲、乙两种商品原来的单价. 探究点二:用二元一次方程组解决和差倍分问题 【合作探究】随着养牛场规模逐渐扩大,李大叔想聘请饲养员代为管理现有的 42 头大牛和20头小牛,已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛,乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛,请问李大叔应聘请甲、乙两种饲养员各多少人才能使所有的牛都恰好能被饲养到？ 设李大叔应聘请甲种饲养员 人, 乙种饲养员 人. 甲负责 头 乙负责 头 总牛数 大牛数 小牛数 例1 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品, 每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质,每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质, 若病人每餐需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质,那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要? 设每餐甲、乙原料各 、 . 则有下表: 甲原料 x g 乙原料 所配的营养品 其中所含蛋白质 其中所含铁质 【练一练】2.某市举办中学生足球比赛,规定胜一场得3分, 平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场, 没有输过一场,共得27分,试问该队胜几场? 平几场? 当堂反馈 1. 为了保护生态环境, 某地将一部分耕地改为林地,改变后,林地的面积和耕地的面积共有18万公顷,耕地面积是林地面积的25%.设改变后耕地面积为万公顷,林地面积为万公顷,以下关于的四个方程组, 其中符合题意的是 ( ) A. B. C. D. 2. 一个两位数, 个位上的数字与十位上的数字之和为7,若这个两位数加上45恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的新两位数, 则原来的两位数是 ( ) A. 61 B. 16 C. 52 D. 25 3. 某公司用3000元购进两种货物. 货物卖出后,一种货物的利润率是10% ,另一种货物的利润率是11% , 两种货物共获利315元,则该公司购进这两种货物所用的费用分别为_________________________. 4. 某商场新购进一种服装,每套售价1000元,若将裤子降价10% , 上衣涨价5%,调价后这套服装的单价比原来提高了2% ,则调价前上衣的单价是_________元. 5. 小王家里买了150斤大米和100斤面粉,吃了一个月后,发现吃的大米和面粉一样多,而且剩的大米刚好是面粉的6倍,则大米剩__________斤. 6. 某校去年有学生1000名,今年比去年增加了4.4% , 其中寄宿学生增加了6% ,走读学生减少了2% ,问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名? 参考答案 探究点一:用二元一次方程组解决百分率问题 1. 15 ； 2. 10% , 3. 120 ； 4. 8.5 折 5. ；6. ； 7. . 问题1: 原量 新量 , 原量 新量 问题2: (利息、本金、利率) 利息 本金 利率 期数(时间) 本息和＝本金＋利息,利润=总产值-总支出 利润率=(总产值-总支出)/总产值 × 100% 【合作探究】(1) 去年的总产值, 总支出, 去年的利润;今年的总产值, 总支出, 今年的利润。 去年的总产值-去年的总支出= 200 万元, 今年的总产值-今年的总支出= 780 万元 今年的总产值= 今年的总支出= 去年总产值 去年的总支出 (2) 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 去年 y 200 今年 780 根据上表, 可以列出方程组 解这个方程组,得。 因此,去年的总收入是 2000 ,总支出是 1800 。 【练一练】 1. 解: 设甲商品原来的单价为 元,乙商品原来的单价为 元. 根据题意,得 答:甲、乙商品原来的单价分别为 60 元,40 元. 探究点二:用二元一次方程组解决和差倍分问题 【合作探究】 甲负责 头 乙负责 头 总牛数 大牛数 8x 5y 42 小牛数 4x 2y 20 解: 设李大叔应聘请甲种饲养员 人,乙种饲养员 人. 答:李大叔应聘请甲种饲养员 4 人,乙种饲养员 2 人. 例1 甲原料 x g 乙原料 所配的营养品 其中所含蛋白质 0.5x 0.7 35 其中所含铁质 0.4 40 解: 设每餐甲原料 、乙原料各 ,根据题意,得 根据题意,得方程组 化简,得 ①- ②,得 。把 代入①,得 , 即方程组的解为 所以,每餐用甲原料 、乙原料 可以恰好满足患者的需要。 【练一练】2.解: 设该队胜了 场,平了 场. 根据题意得 答: 该队胜了 8 场, 平了 3 场. 当堂反馈 1. B 2. B 3. 1500元 , 1500元 4. 800元. 5. 60. 6. 解: 设该校去年有寄宿学生 名,走读学生 名, 由题意得 解得 答: 该校去年有寄宿学生800名,走读学生200名. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $