4.2 第2课时 一次函数与正比例函数（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

第4章 一次函数

4.2 认识一次函数

第2课时 一次函数和正比例函数的概念

【素养目标】

1. 通过实际问题探索一次函数与正比例函数的概念, 感受函数在实际生活中的应用, 发展抽象思维能力、数学建模思想。(重点)

2. 能够概括一次函数与正比例函数的关系,培养总结概括能力,感悟从特殊到一般的思想。(难点)

3. 能根据问题信息写出一次函数的解析式,并利用一次函数解决实际问题,培养运算能力和应用能力。

【合作探究】

探究点一、一次函数与正比例函数的概念

情景一：在弹性限度内,某弹簧的长度(单位:cm)与所挂物体的质量(单位: ) 的关系如下表所示:          

	0	1	2	3	4	5
	3	3.5	4	4.5	5	5.5

(1) 随着所挂物体质量 的增加,弹簧长度 的增长是“均匀”的吗?

 

(2) 写出 与 之间的关系式,并说明理由。

 

情景二：某辆汽车油箱中原有汽油 ,汽车每行驶 耗油 4 L。

 (1)完成下表:

汽车行驶路程	0	50	100	150	200	300
耗油量	0	4	8	12	16	20

(2) 你能写出耗油量 与汽车行驶路程 之间的关系式吗?

 

(3) 你能写出油箱剩余油量 与汽车行驶路程 之间的关系式吗?

 

 

上面问题中,表示变量之间关系的函数解析式有什么共同的特点?

 

  

 

 

                   

知识要点：一次函数与正比例函数

若两个变量 间的对应关系可以表示成 的形式,则称 是 的一次函数。

函数是一次函数关系式为:

特别地,当 时,称 是 的正比例函数.

函数是正比例函数 关系式为:

【练一练】1.下列关系式中,哪些是一次函数,哪些是正比例函数?

(1) ;   (2) ;   (3) ;

(4) ;      (5) ;         (6) .

 

 

 

 

 

例1 写出下列各题中 与 之间的关系式,并判断: 是否为 的一次函数? 是否为正比例函数?

(1) 汽车以 的速度匀速行驶,行驶路程 与行驶时间 之间的关系;

 

 

(2) 圆的面积 与它的半径 之间的关系.

 

 

(3) 某水池有水 ,现打开进水管进水,进水速度为 后这个水池有水 .

 

 

【针对训练】已知函数 .

(1) 若它是一次函数,求 的值;

 

 

 

(2) 它可能是正比例函数吗？若能,求出 的值。

 

 

 

 

例2 在一次测试中,某汽车紧急刹车后,每过 其速度减少 35 km/h.

(1) 假设该汽车以 120 km/h 的速度行驶,试写出该汽车刹车后的速度 (单位:km/h) 与刹车后所经过的时间 (单位: )之间的关系式 ,并说明 和 的实际意义;

 

 

(2) 求出(1)中汽车从刹车到停止所需的时间.

 

 

【思考交流】

(1) 例1中,两个一次函数的一次项系数 和常数项 分别是多少,它们的实际意义是什么?

 

 

(2) 一般地, 对一次函数 有怎样的影响? 与同伴进行交流。

 

 

探究点二: 列一次函数关系式

探究:某单位需租一辆 45 座大客车,咨询了甲、乙两家出租车公司. 甲公司的计费标准:直接按里程计费,每千米 15 元. 乙公司的计费标准:除了每千米 10 元的里程费外,另有服务费 200 元 (不足 按 计算).

(1) 假设该单位用车里程为 ,你建议租用哪家公司的客车?

 

 

(2) 假设该单位用车里程为 ,你建议租用哪家公司的客车?

 

 

(3) 用车里程为多少千米时,两家出租车公司的收费相同？

 

 

例3 为了鼓励市民节约用水,某市采用分档计费的方式计算水费. 下表是家庭人口不超过 4 人时户年用水量及分档计费标准: