第1章 问题解决策略：反思（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

第1章 勾股定理 问题解决策略：反思 【素养目标】 1. 理解将立体图形展开为平面图形的原理,根据立体图形的特征,合理选择展开方式,构建正确的平面图形模型.(重、难点) 2. 掌握将立体图形展开成平面图形,利用“两点之间, 线段最短”原理求解最短路径问题.(重点) 3. 经历从特殊到一般的探究过程, 学会运用数学建模思想解决问题. 【情境导入】 问题情境:有一只蚂蚁要正方体形状的从桌子脚的 点(图中正方体的一个顶点)沿正方体桌子的外表面爬行到 点,怎样爬行路线最短 ? 【合作探究】 探究点一、正方体中的最短路径问题 例1 如图,有一个正方体形状的桌子,正方形是它朝上的桌面,点是正方形的四个顶点,桌高是 . (1) 一只蚂蚁要从正方形桌面 的 点爬行到 点,请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线, 并说明理由:_____________________； (2) 另有一只蚂蚁要从桌子脚的 点(图中正方体的一个顶点)沿正方体桌子的外表面爬行到 点,怎样爬行路线最短？请画出最短路线示意图.(画出一种即可) 探究点二、长方体的最短路径问题 问题: 看到小蚂蚁终于找到食物的兴奋劲儿, 小明灵光乍现,又拿出了长方体形状的牛奶盒,把小蚂蚁放在了点 处,并在点 处滴了一滴蜂蜜,你能帮小明求出蚂蚁找到蜂蜜的最短路线么? 解: 由题意知有三种展开方法, 例2 如图,正方体的梭长为 ,已知点 与点 间的距离为 ,一只蚂蚁沿着正方体的表面从点 爬到点 ,需要爬行的最短距离为__________. 探究点三、圆柱体中的最短路径问题 问题 如图,一个圆柱的高为 ,底面圆的周长为 . 在圆柱下底面的点 处有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点 相对的点 处的食物, 那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少? 理解问题 (1)在这个问题中,已知条件有哪些？你认为已知条件足够解决这个问题吗？ (2)沿侧面爬行的可能路线有哪些？什么情况下路线最短? 请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下. 请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下. 拟定计划 (1)以前研究过最短路线问题吗？这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同? (2)如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题? 各个点的位置如何确定? 实施计划 (1)如图,将圆柱侧面剪开,确定展开图的形状, 以及与圆柱的对应关系. (2) 在图中标出点 的位置. (3) 在图中确定 两点之间最短的路线, 并计算它的长度. 【练一练】1.一只蚂蚁从 点沿圆柱侧面爬到顶面相对的 点处,如果圆柱高为 ,底面半径为 , 那么蚂蚁爬过的最短路径 的长为_____. 例3 有一个圆柱形油罐,要从 点环绕油罐建梯子, 正好建在点的正上方点 处,问梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半径是 ,高 是 ,取3) 【练一练】2. 当小蚂蚁爬到距离上底 的点 时,小明同学拿饮料瓶的手一抖, 一滴甜甜的饮料就顺着瓶子外壁滑到了距离下底 的点 处,小蚂蚁到达点 处的最短路程是多少? ( 取 3 ) 当堂反馈 1. 如图,一只蚂蚁沿棱长为 的正方体侧面从顶点 爬到顶点 ,现将正方体侧面沿 剪开,在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线,正确的是( ) 2. 如图,长方体的长、宽、高分别是 12, 8, 30, 在 中点 处有一滴蜜糖,一只小虫从 处爬到 处去吃,有无数种走法,则它爬行的最短路程是( ) A. 15 B. 25 C. 35 D. 45 第2题图 第3题图 第4题图 3. 如图,圆柱的底面周长是 ,圆柱高为 , 一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点 爬到与之相对的上底面点 ,那么它爬行的最短路程为 ( ) A. B. C. D. 4. 如图,一个底面为正六边形的直六棱柱,从顶点 到顶点 沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝,已知此六棱柱的高 为 ,底面边长为 ,则这圈金属丝的长度至少为( ) A. B. C. D. 5. 如图,学校实验楼前一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为 、 、点 和点 是这个台阶上两个相对的端点,点有一只蚂蚁,想到点处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为 . 6. 如图,这是一个供滑板爱好者使用的 U 型池的示意图,该 型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是直径为 m 的半圆, 其边缘 ,点 在 上, ,一滑板爱好者从 点滑到 点,求他滑行的最短距离. 参考答案 探究点一:正方体中的最短路径问题 例1 (1)理由:两点之间线段最短； (2)如图, 即为所求最短路线. (答案不唯一) 探究点二：长方体的最短路径问题 问题: 解: 由题意知有三种展开方法, 如图. 由勾股定理得 . 小蚂蚁找到蜂蜜的最短路线为 . 例2 解析: 如图①, .如图②, . , 需要爬行的最短距离为 . 探究点三、圆柱体中的最短路径问题 问题 (1)已知圆柱高 、底面圆周长 及 、 点位置. 条件够, 可确定展开图长和宽求最短路程. (2)路线有无数条, 如螺旋上升.将侧面展开,根据 “两点之间线段最短”,连接展开图 、 的线段最短. 拟定计划 (1)以前研究平面最短路线,依据 “两点之间线段最短”而本题是在研究圆柱曲面. (2)需将圆柱曲面展开成平面求解.把圆柱侧面沿母线剪开展开成长方形. 【练一练】1.解析: 连接 ,因为圆柱的底面半径为 ,所以 ,在Rt 中, , ,即蚂蚁爬行的最短路径长为 . 例3 解: 油罐的展开图如图,则 为梯子的最短长度. , 由勾股定理得 , 所以 ,即梯子最短约需 . 【练一练】1. 解: 如图,可知 为直角三角形,由勾股定理,得 当堂反馈 1. A 2. B 3. D 4. A 5.解析:如图所示,因为它的每一级的长、宽、高、分别为 , , ,所以 (d m).即蚂蚁沿着台阶面爬行到点 的最短路程是 . 6.解: 如图是其侧面展开图: , , 在 中, ,解得 (负值舍去), 故他滑行的最短距离约为 25(m) 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $