1.1 第2课时 验证勾股定理（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

第1章 勾股定理 1.1 认识勾股定理 第2课时 验证勾股定理 【素养目标】 1. 经历画图实验引发探索,以及利用拼图验证勾股定理的过程, 体会数形结合的思想, 发展合情推理的能力. (难点) 2. 掌握勾股定理的简单应用, 培养数学语言表达能力, 发展学生分析问题、解决实际问题的能力. (重、难点) 【情境导入】 问题: 上节课我们认识了勾股定理, 你还记得它的内容吗? 那么如何验证勾股定理呢?若去掉方格纸你还能验证勾股定理吗? 【合作探究】 探究点一: 勾股定理的验证 【活动1】 1. 准备四个全等的直角三角形(设直角边分别为 , 斜边为 ). 2. 你能用这四个直角三角形拼成正方形吗? 小组合作试一试吧! 证明: 方法一: 毕达哥拉斯证法 方法二:赵爽弦图 “赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接,巧妙地利用面积证明了这一命题,表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智,它是我国古代数学的骄傲！因此,这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽. 证法三 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法” 其他方法： 欧几里得法 刘徽证法 如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形,那么它的三边长仍然满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗？ 说说你的判断和理由, 并与同伴进行交流. ①在钝角三角形中,三边长分别为 , 其中 为最大边长, 则 _________________ ； ②在锐角三角形中, 三边长分别为 , 其中 为最大边长, 则 _________________ . 探究点二: 勾股定理的简单运用 【活动2】分小组讨论:一个门框的尺寸如图所示,一块长 ,宽 2.4 的长方形薄木板能否从门框内通过? 为什么? 例1 在一次军事演习中,红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路 处侦察,发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶. 他用红外测距仪测得汽车与他相距 ；过了 ,测得汽车与他相距 . 你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗？ 练一练1.如图,学校教学楼前有一块长为 4 米,宽为 3 米的长方形草坪,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在草坪内走出了一条“径路”,却踩伤了花草. (1)求这条“径路”的长； (2)他们仅仅少走了几步(假设 2 步为 1 米)？ 当堂反馈 1. 如图,为了测得湖两岸 点和 点之间的距离, 一个观测者在 点设桩,使 ,并测得 长为 长为 ,则 点和 点之间的距离为( ) A. B. C. D. 2. 两只小鼹鼠在地下同一处打洞,一只朝下挖,每分钟挖8cm,另一只朝左挖,每分钟挖6cm,则 10min后两只小鼹鼠相距( ) A. B. C. D. 第1题图 第3题图 3. 如图,小明在荡秋千时发现当秋千 在静止位置时,下端 离地面 ,当秋千荡到 位置时,下端 距静止时的水平距离为 ,距地面 2. ,则秋千 的长为_________m. 4. 我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式,这种方法称之为 “无字证明”,它比严谨的数学证明更为优雅与有条理.下面是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无字证明”图形.此图可以用来证明你学过的勾股定理. 若已知直角三角形两直角边长分别为 ,斜边长为 ,图①、图②的面积相等,请你根据下面两个图来验证勾股定理. 图① 图② 参考答案 探究点一: 勾股定理的验证 证明:方法一、毕达哥拉斯证法 所以 ,所以 . 方法二:赵爽弦图 证明: 因为 ,所以 证法三 证明: , ① ； ② . 探究点二: 勾股定理的简单运用 活动2、解: 连接 ,在 Rt 中,根据勾股定理, .所以 . 因为大于木板的宽2.4m,所以木板能从门框内通过. 例1 解: 根据题意,可以画出图,其中点 表示王叔叔所在位置,点 、点 表示两个时刻蓝方汽车的位置. 由于王叔叔距离公路 ,因此是直角. 由勾股定理,可得 ,也就是 ,所以 . 蓝方汽车 行驶了 , 那么它 行驶的距离为 , 即蓝方汽车这 的平均速度为 . 练一练 1. 解:(1) 在Rt 中, 根据勾股定理得 , (米) 这条“径路”的长为 5 米. (2) 他们仅仅少走了 (步). 1. B 2. B 3. 5 4. 解: 图①的面积为 , 图②的面积为 . 图①、图②的面积相等, . . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $