1.1 第1课时 认识勾股定理（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

第1章  勾股定理

1.1 认识勾股定理

【素养目标】

1. 通过古代数学文化的简述, 了解我国古代在勾股定理研究方面的成就.

2. 掌握勾股定理,并运用它解决简单的计算题,培养运算能力和数学的语言表达能力,欣赏数学语言的优美与简洁. (重点)

3. 勾股定理的探索与推理. (难点)

【情境导入】

观看配套课件毕达哥拉斯树动图，图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树,它由若干个图形组成,而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形. 各组图形大小不一, 但形状一致, 结构奇巧. 你能说说其中的奥秘吗?

《周髀算经》的第一章曾记载了一段对话,商高对周公姬旦说:“故折矩以为勾广三,股修四,径隅五”.  在中国古代,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”,下半部分称为 “股” ,斜边称为 按照商高的说法,如果勾十股长为四, 弦长必定是五. “你知道为为什么吗?

 

 

 

 

【合作探究】

探究点一、勾股定理的初步认识

我们一起穿越回到 2500 年前, 跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客,看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面 (如图): 观察右边地面的图形,猜想毕达哥拉斯发现了什么?

问题1 图中正方形 、 、 的面积之间有何关系吗？

问题2 在网格中一般的直角三角形, 以它的三边为边长的三个正方形 、 、

是否也有类似的面积关系? 观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位 1 ):

这两幅图中 , 的面积都好求, 该怎样求 的面积呢？

方法一:割分割为四个直角三角形和一个小正方形.

            

方法二: 补补成大正方形,用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.

方法三:拼将几个小块拼成若干个小正方形,图中两块红色 (或绿色) 可拼成一个小正方形.                    

      

根据前面求出的 的面积直接填出下表:

	的面积	的面积	的面积
左图
右图

 

结论:_________________________________________________.

问题3 正方形 、、所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系?

              

勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用 和 分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么 .

几何语言描述:

在Rt 中, ,

公式变形:

  ( 为正数)

探究点二: 勾股定理的简单应用

如图,从电线杆离地面 处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部,那么需要多长的钢索?