1.1 第1课时 认识勾股定理（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

第1章 勾股定理 1.1 认识勾股定理 【素养目标】 1. 通过古代数学文化的简述, 了解我国古代在勾股定理研究方面的成就. 2. 掌握勾股定理,并运用它解决简单的计算题,培养运算能力和数学的语言表达能力,欣赏数学语言的优美与简洁. (重点) 3. 勾股定理的探索与推理. (难点) 【情境导入】 观看配套课件毕达哥拉斯树动图，图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树,它由若干个图形组成,而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形. 各组图形大小不一, 但形状一致, 结构奇巧. 你能说说其中的奥秘吗? 《周髀算经》的第一章曾记载了一段对话,商高对周公姬旦说:“故折矩以为勾广三,股修四,径隅五”. 在中国古代,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”,下半部分称为 “股” ,斜边称为 按照商高的说法,如果勾十股长为四, 弦长必定是五. “你知道为为什么吗? 【合作探究】 探究点一、勾股定理的初步认识 我们一起穿越回到 2500 年前, 跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客,看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面 (如图): 观察右边地面的图形,猜想毕达哥拉斯发现了什么? 问题1 图中正方形 、 、 的面积之间有何关系吗？ 问题2 在网格中一般的直角三角形, 以它的三边为边长的三个正方形 、 、 是否也有类似的面积关系? 观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位 1 ): 这两幅图中 , 的面积都好求, 该怎样求 的面积呢？ 方法一:割分割为四个直角三角形和一个小正方形. 方法二: 补补成大正方形,用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 方法三:拼将几个小块拼成若干个小正方形,图中两块红色 (或绿色) 可拼成一个小正方形. 根据前面求出的 的面积直接填出下表: 的面积 的面积 的面积 左图 右图 结论:_________________________________________________. 问题3 正方形 、、所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系? 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用 和 分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么 . 几何语言描述: 在Rt 中, , 公式变形: ( 为正数) 探究点二: 勾股定理的简单应用 如图,从电线杆离地面 处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部,那么需要多长的钢索? 例1 求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度. 例2 如图,长 的梯子 靠在墙上,梯子的底部 离墙角 的距离 为 ,求梯子的顶端 离地面 的距离 . 练一练 1.已知 . 求的长. 当堂反馈 1. 在 中, . 若 , 则 的长为 ( ) A. 50 B. 43 C. 42 D. 41 2. 如图,已知Rt 的三边分别为 , , , . (1)若 , ,则 _______； (2)若 ,则 _______. 第2题图 第3题图 第4题图 3. [教材变式]如图,在 中, , 分别以 为边向外作正方形,面积分别记为 . 若 ,则 _______. 4. 如图,某农户准备建一个蔬菜大棚,棚宽6m, 高8m,长30m,棚的斜面用塑料布遮盖,不计墙的厚度,则阳光透过的最大面积为_____ . 5. 如图,等腰三角形 中, , ,且 , . ( 1 )求 的长；( 2 ) [方程思想] 求 的长. 参考答案 探究点一:勾股定理的初步认识 问题1 以等腰直角三角形两直角边为边的小正方形的面积的和,等于以斜边为边的正方形的面积. 根据前面求出的 的面积直接填出下表: 的面积 的面积 的面积 左图 4 9 13 右图 16 9 25 探究点二: 勾股定理的简单应用 解: 由勾股定理可得 即 .答: 需要 的钢索. 例1解: (1) 正方形的面积为 325 .(2) . 例2 解: 在Rt 中,由勾股定理得, , 所以 ,解得 . 答: 梯子的顶端 离地面 的距离 为 . 练一练 1.解: 由勾股定理可得 即 . 根据三角形面积公式,得 . . 当堂反馈 1. ( D ) 2. (1) ； (2) 12 . 3. 2 4. 300. 5. 解:(1)在Rt 中, , . ( 2 ) 解:(2)设 , 则 . , .在Rt 中,根据勾股定理得 , 解得 , 即 的长为 . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $