第4章指数与对数本章复习学案-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

第4章　指数与对数 本 章 复 习 1. 了解n次方根与根式的概念及其性质． 2. 了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 3. 理解对数的概念和运算性质，掌握换底公式，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 4. 体会转化与化归思想在指数和对数运算问题中的应用． 活动一 构建知识网络 1. 　2. 　 3. 活动二　根式与指数幂的运算　 1. ()n与的区别：()n与这两个式子非常相似，但是差别很大，一定要注意区别(可以类比平方根、立方根记忆．n为偶数时类比平方根，n是奇数时类比立方根). (1) 当n为大于1的奇数时，对于任意a∈R都有意义，它表示a在实数范围内唯一的n次方根，()n＝a. (2) 当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时有意义，当a<0时无意义，(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是－，(±)n＝a. (3) 式子对于任意a∈R都有意义，当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝　 2. 分数指数幂的规定 (1) 正数的正分数指数幂的意义：a＝(a>0，m，n均为正整数). (2) 正数的负分数指数幂的意义：a－＝＝(a>0，m，n均为正整数). (3) 0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 3. 实数指数幂的运算性质 (1) asat＝as＋t； (2) (as)t＝as t； (3) (ab)t＝atbt，其中s，t∈R，a>0，b>0. 例1　(1) 化简：(a>0，b>0)； (2) 计算：－2×()－＋－6×(－)-4. 化简下列各式(a>0，b>0)： (1) (ab)(－2ab)÷(ab)； (2) ÷(1－2)·. 解决根式与分数指数幂的化简或求值问题的通法： (1) 利用分数指数幂的性质进行根式运算时，其顺序是先将根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算性质进行化简或计算，同时需注意化简结果形式要统一，即结果中根式与分数指数幂不能同时存在． (2) 一般地，遇到小数应化成分数；遇到指数是负数，可以对调底数的分子与分母，将负指数变成正指数． 活动三　对数运算性质的应用　 例2　求下列各式的值： (1) log2.56.25＋lg 0.01＋ln －21＋log23； (2) 27－2log23×log2＋2lg (＋)； (3) . 计算： (1) log2(47×82)＋(lg 5)2＋lg 2×lg 50； (2) lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18＋6lg . 1. 解决对数运算性质的应用的通法： 对数的运算、化简需要用到对数的运算性质，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯．应用对数恒等式alogaN＝N时，一定要注意公式的结构，当指数的底数与对数的底数是同一个数时，才能使用该公式． 2. 对数式的化简与求值的常用方法和技巧： (1) 对于同底的对数的化简要用的方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差). (2) 对于常用对数的化简要充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题． (3) 对于有多重对数符号的对数的化简，应从内向外逐层化简求值． (4) 要充分运用“以1为真数的对数等于0，以底数为真数的对数等于1”等对数的运算性质. 活动四　换底公式的应用　 例3　若log23＝a，log52＝b，试用a，b表示log245. 已知log8a＋log4b2＝5，log8b＋log4a2＝7，a>0，b>0，求log2(ab)的值． 解决换底公式的应用问题的通法： 利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值和恒等变形中起了重要作用，在解题中需要注意：①针对具体问题，选择恰当的底数；②注意换底公式与对数运算法则结合使用；③换底公式的正用与逆用；④变形公式可以简化运算． 活动五　与指数、对数有关的应用问题　 例4　我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度v＝5log2(单位：m/s)，其中Q表示燕子的耗氧量，则一只两岁燕子静止时的耗氧量是________单位． 地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝(lg E－11.4).A地地震级别为9.0级，B地地震级别为8.0级，那么A地地震释放的能量是B地地震释放能量的________倍． 1. 若a＜1，则化简的结果是(　　) A. B. － C. D. － 2. (2024西安期末)星等是衡量天体光度的量．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值m1，m2和它们对应的亮度E1，E2满足关系式m2－m1＝－2.5lg (E1>0，E2>0)，则下列说法中正确的是(　　) A. 2等星的亮度是7等星亮度的100倍 B. 7等星的亮度是2等星亮度的100倍 C. 2等星的亮度是7等星亮度的10倍 D. 7等星的亮度是2等星亮度的10倍 3. (多选)下列等式中，恒成立的为(　　) A. ＝a(a∈R，n∈N，n＞1) B. 若a∈R，则(a2＋2a＋3)0＝1 C. log23×log35×log516＝4 D. logax2＝2logax(a＞0，a≠1，x≠0) 4. 已知lg 3＝a，lg 5＝b，则log915＝________．(用含a和b的式子表示) 5. (1) 计算：(lg 5)2－(lg 2)2＋8×lg －0.60＋0.2-1； (2) 已知2m＝18n＝6，求＋的值． 本 章 复 习 【活动方案】 例1　(1) 原式＝＝＝. (2) 原式＝16－2×(6－)－＋－9×-2＝16－2＋5＋2－4＝17. 跟踪训练　(1) 原式＝－8＝－8ab. (2) 原式＝÷·a＝··a＝a. 例2　(1) 原式＝2－2＋－2×3＝－. (2) 原式＝(33)－3×(－3)＋lg (＋)2＝9＋9＋lg [3＋＋2＋3－]＝18＋1＝19. (3) 原式＝ ＝＝＝1. 跟踪训练　(1) 原式＝log2(214×26)＋(lg 5)2＋lg 2×(lg 5＋1)＝log2220＋(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 2＝20＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝21. (2) 原式＝lg 14－lg ＋lg 7－lg 18＋6×lg 100＝lg ＋4＝lg 1＋4＝4. 例3　因为log245＝log2(5×9)＝log25＋log29＝log25＋2log23，log52＝b，所以log245＝2a＋＝. 跟踪训练　因为log8a＋log4b2＝5，log8b＋log4a2＝7， 所以＋＝5，＋＝7， 所以＋＝5，＋＝7， 所以lg a＋3lg b＝15lg 2，lg b＋3lg a＝21lg 2， 所以ab3＝215, ba3＝221， 所以(ab)4＝236， 所以ab＝29， 所以log2(ab)＝log229＝9. 例4　10　由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入已知函数关系式可得0＝5log2，解得Q＝10，即一只两岁燕子静止时的耗氧量是10单位． 跟踪训练　10　由R＝(lg E－11.4)，得R＋11.4＝lg E，故E＝10.设A地和B地地震释放的能量分别为E1，E2，则＝＝10＝10，即A地地震释放的能量是B地地震释放能量的10倍． 【检测反馈】 1. C　因为a＜1，所以a－1＜0，所以＝.　 2. A　设2等星的亮度是x，7等星亮度是y，则7－2＝－2.5lg ，解得lg ＝－2，所以＝，故2等星的亮度是7等星亮度的100倍． 3. BC　对于A，若n为偶数，a为负数，则不成立，故A错误；对于B，因为a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2≠0，所以(a2＋2a＋3)0＝1，故B正确；对于C，log23×log35×log516＝××＝＝＝4，故C正确；对于D，若x为负数，则不成立，故D错误．故选BC. 4. 　log915＝＝＝. 5. (1) 原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋(23)×lg 2－1＋＝(lg 5－lg 2)＋4×lg 2－1＋5＝lg 5＋lg 2－1＋5＝1－1＋5＝5. (2) 因为2m＝18n＝6，所以m＝log26，n＝log186， 故＋＝＋＝log62＋log618＝log636＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $