专题01 因式分解（期中专项训练）八年级数学上学期新教材湘教版

专题01 因式分解 题型1 因式分解的概念辨析（易错） 题型6 综合提公因式和公式法分解因式（重点） 题型2 提公因式法分解因式（重点） 题型7 实数范围内分解因式（难点） 题型3 平方差公式分解因式 题型8 十字相乘法（难点） 题型4 完全平方公式分解因式 题型9 分组分解法 题型5 综合运用公式法分解因式（常考点） 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一因式分解的概念辨析（共4小题） 1．（23-24八年级上·四川乐山·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是(　　) A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川成都·期中）下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）下列变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·四川成都·期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解且正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 提公因式法分解因式（共5小题） 5．（2025·浙江杭州·二模）因式分解： ． 6．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 7．（24-25八年级下·四川成都·期中）分解因式： ． 8．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）分解因式：． 9．（24-25九年级下·宁夏银川·期中）先因式分解，再计算求值．，其中． 题型三 平方差公式分解因式（共5小题） 10．（24-25八年级上·四川眉山·期中）设为整数．则能被下列哪个数整除．（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．（23-24八年级上·四川乐山·期中）如果，则 ． 12．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 13．（24-25八年级下·四川成都·期中）一个正整数能写成（，均为正整数），则称为“美满数”，，为的一个美满分解，并规定：．如果一个两位正整数（十位数字大于个位数字，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数与原数是4752的一个美满分解，则的值为 ． 14．（24-25九年级下·河北廊坊·期中）发现：比任意一个奇数大的数与此奇数的平方差能被整除． 验证： （1）____________． （2）设奇数为，试说明：比大的数与的平方差能被整除． 延伸： （3）请利用整数说明“比任意一个整数大的数与此整数的平方差被除的余数为”． 题型四 完全平方公式分解因式（共5小题） 15．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（   ） A．B． C． D． 16．（23-24八年级下·四川成都·期中）若可以用完全平方公式来分解因式，则m的值为 ． 17．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）若多项式能用完全平方公式因式分解，则n的值是 ． 18．（24-25八年级下·四川成都·期中）若，则的值是 ． 19．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 题型五 综合提公因式和公式法分解因式（共5小题） 20．（23-24九年级下·北京西城·开学考试）分解因式： ． 21．（2024·山东东营·中考真题）因式分解： ． 22．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）将下列多项式分解因式 (1) (2) 23．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）因式分解： (1)； (2)． 24．（24-25八年级下·四川成都·期中）分解因式： (1) ； (2)； (3)． 题型六 实数范围内分解因式（共3小题） 25．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）在实数范围内分解因式： ． 26．（24-25八年级下·上海·期中）将在实数范围内分解因式 ． 27．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）在实数范围内分解因式： ． 题型七 十字相乘法（共4小题） 28．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，根据所示的拼图过程，因式分解： ． 29．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知二次三项式（k为常数）有一个因式是，则另一个因式为 ． 30．（23-24九年级上·青海西宁·期中）探究：将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①分解二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． 根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)． 31．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知是的算术平方根，是的立方根，将关于的多项式分解因式． 题型九 分组分解法（共2小题） 32．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 33．（24-25七年级下·河北·期中）（1）计算： （2）化简： （3）因式分解 $专题01 因式分解 题型1 因式分解的概念辨析（易错） 题型6 综合提公因式和公式法分解因式（重点） 题型2 提公因式法分解因式（重点） 题型7 实数范围内分解因式（难点） 题型3 平方差公式分解因式 题型8 十字相乘法（难点） 题型4 完全平方公式分解因式 题型9 分组分解法 题型5 综合运用公式法分解因式（常考点） 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一因式分解的概念辨析（共4小题） 1．（23-24八年级上·四川乐山·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的概念，根据因式分解的特征逐项判断即可．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式． 【详解】A、是因式分解，运用平方差公式分解，符合因式分解的定义，本选项符合题意； B、不是因式分解，此选项是将前两个整式做了乘法，不符合因式分解的定义，本选项不合题意； C、不是因式分解，此选项是整式的乘法，不符合因式分解的定义，本选项不合题意； D、不是因式分解，等号右边几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义，本选项不合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·四川成都·期中）下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．根据因式分解的定义，需将多项式转化为几个整式的乘积形式，逐一分析选项，判断是否符合条件即可． 【详解】A、右边出现分式，分解结果非整式乘积，不是因式分解，不符合题意； B、左边为完全平方式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法而非因式分解，不符合题意； C、右边为平方与常数的和，仍是多项式形式，未转化为乘积，不是因式分解，不符合题意； D、左边为平方差，右边分解为，是整式的乘积，是因式分解，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）下列变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式乘积的形式，根据因式分解的定义解答即可． 【详解】解：A．，是整式乘法运算，不是因式分解，故选项A不符合题意； B．，等式右边不是整式乘积的形式，故选项B不符合题意； C．，从左到右的变形是因式分解，故选项C符合题意； D. ，等式右边不是整式乘积的形式，故选项D不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级下·四川成都·期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解且正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，和提取公因式法因式分解，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，结合因式分解的定义和方法进行判断即可． 【详解】解：A中，是乘法运算，不是因式分解，则选项不符合题意， B中，中等号右边不是积的形式，不是因式分解，则选项不符合题意， C中，，故该选项因式分解错误，则选项不符合题意， D中，，是因式分解且正确，则选项符合题意， 故选：D． 题型二 提公因式法分解因式（共5小题） 5．（2025·浙江杭州·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】先找出多项式各项的公因式，提取公因式后，再观察剩余多项式能否继续分解即可．本题主要考查了提公因式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的基本方法以及准确找出公因式是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 7．（24-25八年级下·四川成都·期中）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．提公因式即可． 【详解】解： 故答案为： 8．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．提出公因式，即可求解． 【详解】解： 9．（24-25九年级下·宁夏银川·期中）先因式分解，再计算求值．，其中． 【答案】40 【分析】本题主要考查因式分解，代入求值，掌握提取公因式法因式分解是关键，根据题意，先提取公因式化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型三 平方差公式分解因式（共5小题） 10．（24-25八年级上·四川眉山·期中）设为整数．则能被下列哪个数整除．（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解本题的关键． 根据平方差公式，将分解成，即可解得． 【详解】解： 为整数， 的值一定能被4整除． 故选：A． 11．（23-24八年级上·四川乐山·期中）如果，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了因式分解，把直接代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：10 12．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题可利用平方差公式对原式进行因式分解，需要先将原式变形为平方差的形式，再逐步分解．本题主要考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式的形式以及多次运用公式的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·四川成都·期中）一个正整数能写成（，均为正整数），则称为“美满数”，，为的一个美满分解，并规定：．如果一个两位正整数（十位数字大于个位数字，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数与原数是4752的一个美满分解，则的值为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是根据“美满数”的定义列出关于、的方程组． 先设出原两位正整数的十位数字和个位数字，根据新数与原数是4752的一个美满分解列出方程组，可得，求出、的值，进而得出的值． 【详解】解：设原两位正整数的十位数字为，个位数字为均为正整数），则原数为，新数为， 新数与原数是4752的一个美满分解，， 又 ， 将，代入， 可得：（均为正整数） 此方程有两组符合题意的解， 分别为：或 当时，， ， 当时，， ， 综上，的值为或． 故答案为：或． 14．（24-25九年级下·河北廊坊·期中）发现：比任意一个奇数大的数与此奇数的平方差能被整除． 验证： （1）____________． （2）设奇数为，试说明：比大的数与的平方差能被整除． 延伸： （3）请利用整数说明“比任意一个整数大的数与此整数的平方差被除的余数为”． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式因式分解的应用，数字变化的规律，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）利用平方差公式因式分解即可； （2）设任意的整数为，则比大的数为，利用平方差公式因式分解即可； （3）利用平方差公式和提取公因式法因式分解即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：；； （2） ， ∵为整数， ∴是的倍数， 即比大的数与的平方差能被整除； （3）设任意的整数为，则比大的数为， ∵ ， 又∵为整数， ∴被除余， 即比任意一个整数大的数与此整数的平方差被除的余数为． 题型四 完全平方公式分解因式（共5小题） 15．（23-24七年级上·湖南湘潭·期中）下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（   ） A．B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用完全平方公式因式分解， 有三项，且符合公式即可． 本题考查了因式分解，熟练运用平方差公式进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：A.，是先提取公因式，后用完全平方公式， 故本选项正确． B.，是先提取公因式，后用完全平方公式， 故本选项正确． C.，是完全平方公式分解．故本选项正确． D.无法用公式因式分解．故本选项错误． 故选：ABC． 16．（23-24八年级下·四川成都·期中）若可以用完全平方公式来分解因式，则m的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【详解】解：可以用完全平方公式来分解因式， ． 故答案为：9． 17．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）若多项式能用完全平方公式因式分解，则n的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解－运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：∵多项式能用完全平方公式因式分解， ， ， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·四川成都·期中）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，由 ，代入已知式子的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 19．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题可先根据多项式乘法法则将原式展开，然后利用完全平方公式进行因式分解．本题主要考查了因式分解中完全平方公式的应用，熟练掌握多项式乘法法则和完全平方公式的结构特征是解题的关键． 【详解】解： ． 题型五 综合提公因式和公式法分解因式（共5小题） 20．（23-24九年级下·北京西城·开学考试）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式法，再利用平方差公式进行因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 21．（2024·山东东营·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，注意分解要彻底．根据提公因式法，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 22．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）将下列多项式分解因式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可； （2）先根据平方差公式分解因式，再根据完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）提取公因式，即可求解． （2）先用平方差公式，再用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解： （2）解： ． 24．（24-25八年级下·四川成都·期中）分解因式： (1) ； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． （1）根据提公因式法分解因式即可； （2）先变形，再提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ． 题型六 实数范围内分解因式（共3小题） 25．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查实数范围内因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式， 故答案为： 26．（24-25八年级下·上海·期中）将在实数范围内分解因式 ． 【答案】 【分析】本题考查求根公式法分解因式．把某些二次三项式分解因式，先求出方程的两个根，再根据即可因式分解． 【详解】解：方程的两个根为：，， ， 故答案为：． 27．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解即可． 本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型七 十字相乘法（共4小题） 28．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，根据所示的拼图过程，因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，利用左边4个图形的面积和等于右边长为和宽为的面积求解即可． 【详解】由拼图可得，左边4个图形的面积和为 右边长方形的面积为 ∵左边4个图形的面积和等于右边长方形的面积 ∴ 故答案为：． 29．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知二次三项式（k为常数）有一个因式是，则另一个因式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，正确假设出另一个因式是解题的关键． 利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案． 【详解】解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得， ∴另一个因式为． 故答案为：． 30．（23-24九年级上·青海西宁·期中）探究：将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①分解二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． 根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，进而根据乘法原理解答即可； （）利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，进而根据乘法原理解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握十字相乘法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴方程可化为， ∴或， ∴，； （2）解：∵，， 又∵， ∴方程可化为， ∴或， ∴，． 31．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知是的算术平方根，是的立方根，将关于的多项式分解因式． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的定义，解二元一次方程组，分解因式，根据立方根和算术平方根的定义可得方程组，解方程组得到，再把代入所求式子中并利用十字相乘法分解因式即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： 解得：， 当时，． 题型九 分组分解法（共2小题） 32．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，求整式的值；进行因式分解得，整体代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 故选：C． 33．（24-25七年级下·河北·期中）（1）计算： （2）化简： （3）因式分解 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，分组分解法分解因式等知识，掌握乘法法则及乘法公式是解题的关键； （1）分别计算积的乘方与单项式乘单项式，再合并同类项即可； （2）用平方差公式、多项式乘多项式展开，再合并同类项即可； （3）先分组，把后三项作一组，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． $