专题01 特殊的因式分解题型（压轴题专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题01 特殊的因式分解题型 目录 1 类型一、十字相乘法 1 类型二、换元法 3 类型三、分组分解法 6 类型四、拆项补项法 8 10 类型一、十字相乘法 ”形如x+(p+q)x+pq的多项式常用十字相乘法因式分解，应用时需要按照材料中的方法进行分解、验证,有时需要多次尝试， 例1．材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ； ． 变式1-1．(1)【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． 请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________． (2)【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ①  __________； ②  __________． (3)【探究与拓展】 对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ①  分解因式__________； ②  若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 变式1-2．若一个正整数a可以表示为a＝（b+1）（b﹣2），其中b为大于2的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点”．例如：28＝（6+1）（6﹣2）＝7×4．． （1）“十字点”为7的“十字数”为　 　：130的“十字点”为　 　； （2）m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，当m﹣n＝18时，求p+q的值． 类型二、换元法 换元法的实质是整体思想,当式子中多次出现较复杂的同一代数式时，可考虑用换元法简化运算: 例2．【阅读材料】 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法. 【问题解决】 （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 变式2-1．你会对多项式(x2+5x+2)(x2+5x+3)﹣12分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，能使复杂的问题简单化、明朗化．从换元的个数看，有一元代换、二元代换等． 对于(x2+5x+2)(x2+5x+3)﹣12． 解法一：设x2+5x＝y， 则原式＝(y+2)(y+3)﹣12＝y2+5y﹣6＝(y+6)(y﹣1) ＝(x2+5x+6)(x2+5x﹣1)＝(x+2)(x+3)(x2+5x﹣1)． 解法二：设x2+5x+2＝y， 则原式＝y(y+1)﹣12＝y2+y﹣12＝(y+4)(y﹣3) ＝(x2+5x+6)(x2+5x﹣1)＝(x+2)(x+3)(x2+5x﹣1)． 解法三：设x2+2＝m，5x＝n， 则原式＝(m+n)(m+n+1)﹣12＝(m+n)2+(m+n)﹣12＝(m+n+4)(m+n﹣3) ＝(x2+5x+6)(x2+5x﹣1)＝(x+2)(x+3)(x2+5x﹣1)． 按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式： (1)(x2+x﹣4)(x2+x+3)+10； (2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2； (3)(x+y﹣2xy)(x+y﹣2)+(xy﹣1)2． 变式2-2．分解因式：. 变式2-3．阅读材料A：利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴， 即：．∴． 阅读材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：令， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)请根据材料A，解答问题：若，，求的值； (2)请根据材料B，解答问题： ①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果______； ②因式分解：． (3)综合运用： 若实数x满足，求的值． 类型三、分组分解法 分组分解法在应用时一般遵循两个原则:分组后能提公因式;分组后能应用乘法公式. 例3．观察下列因式分解的过程： （1）x2﹣xy+4x﹣4y ＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组） ＝x（x﹣y）+4（x﹣y）直接提公因式） ＝（x﹣y）（x+4） （2）a2﹣b2﹣c2+2bc ＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组） ＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式） ＝（a+b﹣c）（a﹣b+c） （1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： ① ② （2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式． 变式3-1．+--4xy-1 变式3-2把下列多项式分解因式： （1） （2） （3） 变式3-3（1）阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法 例如： .. 试用上述方法分解因式 （2）利用分解因式说明：能被12整除. 类型四、拆项补项法 拆项补项法是在多项式不能直接分组分解的情况下将其中一项拆成多项，或者添加符号相反的两项后进行分组分解，配方法是其中的特殊情况，通过凑配出完全平方式进行因式分解 例4．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：a2+6a+8， 解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1 =(a+3)2－12= ②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值． 解： ∵(a-b)2≥0，∴当a=1时，M有最小值－2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解：． （2）若，求M的最小值． （3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值． 变式4-1 19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”． 根据以上方法，把下列各式因式分解： (1)； (2)． 变式4-2【阅读材料】 对于二次三项式a2+2ab+b2可以直接分解为（a+b）2的形式，但对于二次三项式a2+2ab－8b2，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式a2+2ab－8b2中先加上一项b2，使其成为完全平方式，再减去b2这项，（这里也可把－8b2拆成+b2与－9b2的和），使整个式子的值不变． 于是有： a2+2ab－8b2 =a2+2ab－8b2+b2－b2 =（a2+2ab+b2）－8b2－b2 =（a+b）2－9b2 =[（a+b）+3b][（a+b）－3b] =（a+4b）（a－2b） 我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 【应用材料】 （1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用　 　法实现分解因式． （2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式： ①m2+6m+8； ②a4+10a2b2+9b4 变式4-3【阅读材料】 对于二次三项式可以直接分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，(这里也可把拆成与的和)，使整个式子的值不变． 于是有： ， 我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法． 【应用材料】 上式中添(拆)项后先把完全平方式组合在一起，然后用______法实现分解因式． 请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式： ； 一、解答题 1．阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到； 第二步，去括号，和对比发现， 二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： (1)因式分解： ①； ②； (2)对关于的多项式因式分解：． 2．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题． 例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤： 解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2； ＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组； ＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）； ＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）； ＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底． （1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6． （2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6． 3．设a，b，c为整数，且对一切实数都有(x-a)(x -8)+1=(x-b)(x-c)恒成立．求a+b+c的值． 4． 5．根据多项式乘法法则，因此，这种因式分解的方法称为十字相乘法，按照上面方法对下列式子进行因式分解 （1）               （2）              （3） （4）                （5） 6．已知a=k+3,b=2k＋2,c=3k-1求的值 7．在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：________； (2)请你用换元法对多项式进行因式分解； (3)当________时，多项式存在最________值（填“大”或“小”）． 8．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如： ③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法． 观察得出：两个因式分别为与 例如： 分析： 解：原式 （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ②（拆项法） ③________． （2）已知：、、为的三条边，，求的周长． 9．我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解，下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法．请尝试解决下列问题： (1)试用上述方法分解因式：． (2)已知，且，求． (3)我们可以通过“拆项”后再分组分解的方式对多项式进行因式分解．利用这样的思路，可以因式分解为____________________． 10．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． a.分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如： ① ax+by+bx+ay=(ax+bx)+(ay+by)     ②2xy+y²-1+x²=x²+2xy+y²−1 =x(a+b)+y(a+b)                     =(x+y)²-1 =(a+b)(x+y)                        =(x+y+1)(x+y−1) b.拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x²+2x-3=x²+2x+1−4=(x+1)²-2²=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1) ． 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)分解因式：a²—b²+a—b； (2)分解因式：a²+4ab—5b²； (3)多项式x²-6x+1有最小值吗？如果有，当它取最小值时x的值为多少？ 7 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 特殊的因式分解题型 目录 1 类型一、十字相乘法 1 类型二、换元法 6 类型三、分组分解法 11 类型四、拆项补项法 14 18 类型一、十字相乘法 ”形如x+(p+q)x+pq的多项式常用十字相乘法因式分解，应用时需要按照材料中的方法进行分解、验证,有时需要多次尝试， 例1．材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ； ． 【答案】(1) ； ； (2) ； ． 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式．解决本题的关键是阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式． 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可． 【详解】（1）解：， ； 解：， ； （2）解：， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：； ：解， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：． 变式1-1．(1)【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． 请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________． (2)【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ①  __________； ②  __________． (3)【探究与拓展】 对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ①  分解因式__________； ②  若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 【答案】(1) (2)； (3)；43或 【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可． （2）①把二次项系数2写成，常数项写成，满足，写出分解结果即可． ②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，写出分解结果即可． （3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，写出分解结果即可． ②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，写出分解结果，计算即可． 【详解】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以 ． 故答案为：． （2）①把二次项系数2写成，，满足，所以 ． 故答案为：． ②把项系数6写成，把项系数2写成，满足， 所以 ． 故答案为：． （3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件， 所以 ． 故答案为：． ②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件， 所以m=或m=， 故m的值为43或-78． 【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键． 变式1-2．若一个正整数a可以表示为a＝（b+1）（b﹣2），其中b为大于2的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点”．例如：28＝（6+1）（6﹣2）＝7×4．． （1）“十字点”为7的“十字数”为　 　：130的“十字点”为　 　； （2）m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，当m﹣n＝18时，求p+q的值． 【答案】（1）40，12；（2）10或19． 【分析】（1）根据“十字点”的定义计算可得； （2）根据已知可得为大于2的正整数），为大于2的正整数），再根据，分来讨论即可解答． 【详解】解：（1）“十字点”为7的“十字数”为， ， 的“十字点”为12， 故答案为：40，12； （2）的“十字点”为，的“十字点”为， 为大于2的正整数），为大于2的正整数）， ， ， 整理得，， ，为大于2的正整数，为大于2的正整数， ，； ， ， 或或， （不合题意，舍去），，； 或． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，能够理解题意，根据题中所给条件将数进行正确的拆解是解题的关键． 类型二、换元法 换元法的实质是整体思想,当式子中多次出现较复杂的同一代数式时，可考虑用换元法简化运算: 例2．【阅读材料】 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法. 【问题解决】 （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】（1）．（2）；（3）见解析. 【分析】（1）把（x-y）看作一个整体，直接利用十字相乘法因式分解即可； （2）把a+b看作一个整体，去括号后利用完全平方公式即可将原式因式分解； （3）将原式转化为，进一步整理为（n2+3n+1）2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方． 【详解】（1）； （2）； （3）原式 ． ∵为正整数， ∴为正整数． ∴代数的值一定是某个整数的平方． 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． 变式2-1．你会对多项式(x2+5x+2)(x2+5x+3)﹣12分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，能使复杂的问题简单化、明朗化．从换元的个数看，有一元代换、二元代换等． 对于(x2+5x+2)(x2+5x+3)﹣12． 解法一：设x2+5x＝y， 则原式＝(y+2)(y+3)﹣12＝y2+5y﹣6＝(y+6)(y﹣1) ＝(x2+5x+6)(x2+5x﹣1)＝(x+2)(x+3)(x2+5x﹣1)． 解法二：设x2+5x+2＝y， 则原式＝y(y+1)﹣12＝y2+y﹣12＝(y+4)(y﹣3) ＝(x2+5x+6)(x2+5x﹣1)＝(x+2)(x+3)(x2+5x﹣1)． 解法三：设x2+2＝m，5x＝n， 则原式＝(m+n)(m+n+1)﹣12＝(m+n)2+(m+n)﹣12＝(m+n+4)(m+n﹣3) ＝(x2+5x+6)(x2+5x﹣1)＝(x+2)(x+3)(x2+5x﹣1)． 按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式： (1)(x2+x﹣4)(x2+x+3)+10； (2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2； (3)(x+y﹣2xy)(x+y﹣2)+(xy﹣1)2． 【答案】（1） (x+2)(x-1) (+1) (2)()2 (3) (x+y-xy-1)2 【分析】（1）令m=,原式=因式分解即可； （2）=()()+,令n=，再将原式=（n+2）n+x2进行因式分解即可； （3）令a=x+y,b=xy，代入原式即可因式分解. 【详解】（1）令m=, 原式= =m2-m-2=(m-2)(m+1) = (-2)(+1) =(x+2)(x-1) (+1) (2)=()()+, 令n=， 原式=（n+2）n+x2=n2+2n+x2 =(n+x)2=()2 (3) 令a=x+y,b=xy，原式= =(a-b)2-2(a-b)+1 =(a-b-1)2 =(x+y-xy-1)2 【点睛】此题主要考查复杂的因式分解，解题的关键是读懂材料学会材料中因式分解的方法. 变式2-2．分解因式：. 【答案】（x﹣1）（x+2）（x2+x+5） 【分析】将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了． 【详解】设x2+x=y，则 原式=（y+1）（y+2）﹣12=y2+3y﹣10 =（y﹣2）（y+5）=（x2+x﹣2）（x2+x+5） =（x﹣1）（x+2）（x2+x+5）． 【点睛】本题主要考查了因式分解-十字相乘法和换元法，对于展开后次数较高的因式分解，不要急于展开，要多观察查找规律．常用换元法来解决． 变式2-3．阅读材料A：利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴， 即：．∴． 阅读材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：令， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)请根据材料A，解答问题：若，，求的值； (2)请根据材料B，解答问题： ①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果______； ②因式分解：． (3)综合运用： 若实数x满足，求的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握利用完全平方公式分解因式和换元法分解因式． （1）根据已知条件，利用完全平方公式求出即可； （2）①设，把含有的多项式换元成含有的多项式，然后利用完全平方公式分解因式即可； ②把当作一个整体，利用完全平方公式分解因式即可； （3）设，，先求出，，根据已知条件求出，然后利用，求出即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）①设， 原式 ， 故答案为：； ②； （3）设，， ， 实数满足， ， ， ， ， ， ， ． 类型三、分组分解法 分组分解法在应用时一般遵循两个原则:分组后能提公因式;分组后能应用乘法公式. 例3．观察下列因式分解的过程： （1）x2﹣xy+4x﹣4y ＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组） ＝x（x﹣y）+4（x﹣y）直接提公因式） ＝（x﹣y）（x+4） （2）a2﹣b2﹣c2+2bc ＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组） ＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式） ＝（a+b﹣c）（a﹣b+c） （1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： ① ② （2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式． 【答案】（1）①（d﹣c）（a﹣b）；②（x﹣3+y）（x﹣3﹣y）；（2）（1+x）n+1 【分析】（1）①利用分组后直接提公因式分解； ②利用分组后直接运用公式分解； （2）把添加括号，利用分组后直接提取公因式，反复运算得结论． 【详解】解：（1）①原式 ②原式 （2）原式 【点睛】本题主要考查了多项式因式分解的分组分解法．掌握分组后直接提起公因式和分组后直接运用公式，是解决本题的关键． 变式3-1．+--4xy-1 【答案】 【分析】将分解为两个，然后利用完全平方式对两部分式子进行因式分解，最后利用平方差公式即可得出答案 【详解】原式=             =             = 【点睛】本题主要考查了因式分解中的重新分组，根据实际情况重新将式子分组再因式分解是关键 变式3-2把下列多项式分解因式： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3）； 【分析】（1）（2）（3）利用分组分解法分解即可； 【详解】解：（1） = =； （2） = = =； （3） = = = =； 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是根据所给代数式的形式灵活选择方法． 变式3-3（1）阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法 例如： .. 试用上述方法分解因式 （2）利用分解因式说明：能被12整除. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）a2+2ab+ac+bc+b2可以进行分组变成（a2+2ab+b2）+（ac+bc），则前边括号内的三项可以利用完全平方公式分解，后边的三项可以提公因式，然后再利用提公因式法即可分解． （2）先利用平方差公式将进行因式分解，之后即可得出答案. 【详解】（1）原式= = = （2） = = = ∴ 能被12整除. 【点睛】本题考查分组分解的因式分解方法，做题时先分析题中给的例子是解题关键. 类型四、拆项补项法 拆项补项法是在多项式不能直接分组分解的情况下将其中一项拆成多项，或者添加符号相反的两项后进行分组分解，配方法是其中的特殊情况，通过凑配出完全平方式进行因式分解 例4．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：a2+6a+8， 解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1 =(a+3)2－12= ②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值． 解： ∵(a-b)2≥0，∴当a=1时，M有最小值－2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解：． （2）若，求M的最小值． （3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值． 【答案】（1）；（2）；（3）4． 【分析】（1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可； （2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可； （3）先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出x、y、z的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）原式 ； （2） 当时，有最小值； （3） 解得 则． 【点睛】本题考查了利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性等知识点，读懂题意，掌握配方法是解题关键． 变式4-119世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”． 根据以上方法，把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据苏菲·热门的做法，将原式配上后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分解； （2）先分组，再利用提公因式法因式分解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 【点睛】本题考查因式分解，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，理解苏菲·热门的做法是正确进行因式分解的关键． 变式4-2【阅读材料】 对于二次三项式a2+2ab+b2可以直接分解为（a+b）2的形式，但对于二次三项式a2+2ab－8b2，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式a2+2ab－8b2中先加上一项b2，使其成为完全平方式，再减去b2这项，（这里也可把－8b2拆成+b2与－9b2的和），使整个式子的值不变． 于是有： a2+2ab－8b2 =a2+2ab－8b2+b2－b2 =（a2+2ab+b2）－8b2－b2 =（a+b）2－9b2 =[（a+b）+3b][（a+b）－3b] =（a+4b）（a－2b） 我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 【应用材料】 （1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用　 　法实现分解因式． （2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式： ①m2+6m+8； ②a4+10a2b2+9b4 【答案】（1）公式；（2）①（m+4）（m+2）；②（a2+9b2）（a2+b2） 【分析】（1）根据解题步骤及因式分解的步骤解答即可的； （2）①将原式变形为m2+6m+9﹣1＝（m+3）2﹣12分解可得；②将原式变形为a4+10a2b2+25b4﹣16b4＝（a2+5b2）2﹣（4b2）2再进一步分解可得． 【详解】解：（1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用公式法实现分解因式． 故答案为：公式； （2）①m2+6m+8 ＝m2+6m+9﹣1 ＝（m+3）2﹣12 ＝（m+3+1）（m+3﹣1） ＝（m+4）（m+2）； ②a4+10a2b2+9b4 ＝a4+10a2b2+25b4﹣16b4 ＝（a2+5b2）2﹣（4b2）2 ＝（a2+5b2+4b2）（a2+5b2﹣4b2） ＝（a2+9b2）（a2+b2）． 【点睛】本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式及因式分解的步骤． 变式4-3【阅读材料】 对于二次三项式可以直接分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，(这里也可把拆成与的和)，使整个式子的值不变． 于是有： ， 我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法． 【应用材料】 上式中添(拆)项后先把完全平方式组合在一起，然后用______法实现分解因式． 请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式： ； 【答案】（1）平方差公式；（2）①；②． 【分析】根据解题步骤及因式分解的步骤解答即可的； ①将原式变形为分解可得； ②将原式变形为再进一步分解可得． 【详解】解：上式中添(拆)项后先把完全平方式组合在一起，然后用平方差公式实现分解因式． 故答案为：平方差公式； ① ； ② ． 【点睛】本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式及因式分解的步骤． 一、解答题 1．阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到； 第二步，去括号，和对比发现， 二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： (1)因式分解： ①； ②； (2)对关于的多项式因式分解：． 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查了新定义“凑数法”因式分解，正确理解阅读材料中的思维方法是解答本题的关键． （1）①根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，进一步推理后又可凑得，，即得答案； ②根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，，进一步推理后又可凑得，，即得答案； （2）设，则，同样可先凑答案，，代入关系式得，比较系数可得，，针对b，d，可进行讨论，并逐一验证，可得，符合题意，即得答案． 【详解】（1）①由题意得，，，， 所以可凑数，， 故； ②由题意得，，，， 所以可凑数，， 则，， 又可凑数，， 故； （2）设， 则， 凑数，， ， ，， 分四种情况讨论： 当，时，代入，不成立，舍去； 当，时，代入，不成立，舍去； 当，时，代入，成立，符合题意； 当，时，代入，不成立，舍去； 所以只有，， 故． 2．阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题． 例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步骤： 解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2； ＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组； ＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）； ＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）； ＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底． （1）请你试一试分解因式x3﹣7x+6． （2）请你试一试在实数范围内分解因式x4﹣5x2+6． 【答案】（1）（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；（2） 【分析】（1）将﹣7x拆分为﹣x﹣6x，分组后分别提公因式，可得出答案； （2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案． 【详解】（1）x3﹣7x+6 ＝x3﹣x﹣6x+6 ＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1） ＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1） ＝（x﹣1）（x2+x﹣6） ＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）； （2）x4﹣5x2+6 ＝（x2﹣2）（x2﹣3） ＝（x+）（x﹣）（x+）（x﹣）． 【点睛】本题主要考查学生因式分解的知识及学以致用的能力，掌握因式分解结合题意并灵活运用是解题的关键． 3．设a，b，c为整数，且对一切实数都有(x-a)(x -8)+1=(x-b)(x-c)恒成立．求a+b+c的值． 【答案】20或28． 【分析】等式两边化简之后，利用一次项系数相等和常数项相等得到两个等式a+8＝b+c和8a+1＝bc；消去a,再因式分解得到（b﹣8）（c﹣8）＝1，进而b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，分别计算出a，b，c的值即可得出答案． 【详解】解：∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝x2﹣（a+8）x+8a+1， （x﹣b）（x﹣c）＝x2﹣（b+c）x+bc 又∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝（x﹣b）（x﹣c）恒成立， ∴﹣（a+8）＝﹣（b+c）， ∴8a+1＝bc， 消去a得： bc﹣8（b+c）＝﹣63， （b﹣8）（c﹣8）＝1， ∵b，c都是整数，故b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1， 解得b＝c＝9或b＝c＝7， 当b＝c＝9时，解得a＝10， 当b＝c＝7时，解得a＝6， 故a+b+c＝9+9+10＝28或7+7+6＝20， 故答案为：20或28． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式和因式分解变形，有一定难度．此题若直接求a，b，c的值不易，需另辟蹊径，这种解题思想很常用，需要特别注意 4． 【答案】(a﹣4)(2a+7)(2a2﹣a﹣8) 【分析】先将a2﹣9分解因式，再重新组合相乘，运用整体思想，可分解因式． 【详解】(2a+5)(a2﹣9)(2a﹣7)﹣91 =[(2a+5)(a﹣3)][(2a﹣7)(a+3)]﹣91 =(2a2﹣a﹣15)(2a2﹣a﹣21)﹣91 =(2a2﹣a)2﹣15(2a2﹣a)﹣21(2a2﹣a)+224 =(2a2﹣a)2﹣36(2a2﹣a)+224 =(2a2﹣a﹣8)(2a2﹣a﹣28) =(a﹣4)(2a+7)(2a2﹣a﹣8)． 【点睛】本题考查了因式分解，综合利用了分组分解法，公式法，十字相乘法分解因式． 5．根据多项式乘法法则，因此，这种因式分解的方法称为十字相乘法，按照上面方法对下列式子进行因式分解 （1）               （2）              （3） （4）                （5） 【答案】(1) (x+2)(x+5)；(2) (x+9)(x-2)；(3) (2x-1)(x-2)；(4) (2y+1)(3y-2)；(5)(x-2y+1)(x-y-3). 【分析】(1)观察可知10=2×5，7=2+5，由此进行因式分解即可； (2)观察可知—18=-2×9，7=-2+9，由此进行因式分解即可； (3)观察可知二次项系数2=1×2，常数项2=(-1)×(-2)，一次项系数-5=1×(-1)+2×(-2)，据此进行因式分解即可； (4)观察可知二次项系数6=2×3，常数项-2=1×(-2)，一次项系数-1=2×(-2)+3×1，据此进行因式分解即可； (5)原式前三项利用材料中的方法进行分解，然后变形为(x-2y)(x-y)+x-y-3x+6y-3，据此利用提公因式法继续进行分解即可得. 【详解】(1)原式=(x+2)(x+5)； (2)原式=(x+9)(x-2)； (3)原式=(2x-1)(x-2)； (4)原式=(2y+1)(3y-2)； (5)原式=(x-2y)(x-y)+x-y-3x+6y-3 =(x-2y)(x-y)+(x-y)-(3x-6y+3) =(x-y)(x-2y+1)-3(x-2y+1) =(x-2y+1)(x-y-3). 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，分组分解法分解因式，提公因式法分解因式，其中第(5)小题有一定的难度，读懂材料中的解题方法是解题的关键. 6．已知a=k+3,b=2k＋2,c=3k-1求的值 【答案】36 【分析】先将原式移项得到：，然后对于前三项利用完全平方式进行因式分解，中间两项提取公因式得到：，然后将看成一个整体利用完全平方式因式分解，再将已知的、的值代入计算即可 【详解】原式=             =             = 又∵a=k+3,b=2k＋2,c=3k-1 ∴原式= =36 【点睛】本题考查了因式分解的实际运用，熟练掌握相关概念公式是解题关键 7．在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：________； (2)请你用换元法对多项式进行因式分解； (3)当________时，多项式存在最________值（填“大”或“小”）． 【答案】(1) (2) (3)，小． 【分析】本题考查了因式分解的换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式，最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （2）结合材料，用换元法进行分解因式； （3）利用还原法把原式变形分解，由即可得解． 【详解】（1）解： 设， 原式 故答案为：； （2）解：设， 原式 ； （3）解：设， 原式 ∵ ∴ ∴当时，多项式存在最小值，为． 8．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如： ③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法． 观察得出：两个因式分别为与 例如： 分析： 解：原式 （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ②（拆项法） ③________． （2）已知：、、为的三条边，，求的周长． 【答案】（1）①，②，③；（2）7 【分析】（1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可； （2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出，，的值，然后求和即可得出答案． 【详解】解：（1）① ； ② ； ③； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴． ∴的周长为7． 【点睛】本题考查因式分解的方法及其在几何图形问题中的应用，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． 9．我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解，下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法．请尝试解决下列问题： (1)试用上述方法分解因式：． (2)已知，且，求． (3)我们可以通过“拆项”后再分组分解的方式对多项式进行因式分解．利用这样的思路，可以因式分解为____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是正确理解题目所给的因式分解的方法，以及熟练掌握因式分解的方法和步骤． （1）根据题目中分组分解法进行分解即可； （2）先根据分组分解法进行分解，再将式子的值代入； （3）将原式改写为，再根据题目中分组分解法进行分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ，且， ， ； （3）解： ； 故答案为：． 10．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． a.分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如： ① ax+by+bx+ay=(ax+bx)+(ay+by)     ②2xy+y²-1+x²=x²+2xy+y²−1 =x(a+b)+y(a+b)                     =(x+y)²-1 =(a+b)(x+y)                        =(x+y+1)(x+y−1) b.拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x²+2x-3=x²+2x+1−4=(x+1)²-2²=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1) ． 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)分解因式：a²—b²+a—b； (2)分解因式：a²+4ab—5b²； (3)多项式x²-6x+1有最小值吗？如果有，当它取最小值时x的值为多少？ 【答案】(1)（a—b）（a＋b＋1）； (2)（a＋5b）（a－b）； (3)多项式x²-6x+1有最小值﹣8，它取最小值时x的值为3． 【分析】（1）将前面两项利用平方差公式分解因式，进而利用提公因式法分解因式即可； （2）将前a²+4ab—5b²转化为（a²+4ab+4b²）－9b²，前三项符合完全平方公式，然后进一步分解即可； （3）将x²-6x+1转化成（x²－6x+9）－8进一步分解为（x－3）²－8，根据（x－3）²≥0，即可求得x²-6x+1的最小值，同时求得取最小值时x的值． 【详解】（1）解：a²—b²+a—b ＝（a＋b）（a—b）＋（a—b） ＝（a—b）（a＋b＋1）； （2）解：a²+4ab—5b² ＝a²+4ab+4b²－4b²－5b² ＝（a²+4ab+4b²）－9b² ＝（a＋2b）2－（3b）² ＝（a＋2b＋3b）（a＋2b－3b） ＝（a＋5b）（a－b）； （3）解：x²-6x+1 ＝x²－6x+9－9＋1 ＝（x²－6x+9）－8 ＝（x－3）²－8 ∵（x－3）²≥0， ∴（x－3）²－8≥﹣8， ∴x²-6x+1≥﹣8， ∴多项式x²-6x+1有最小值为﹣8，此时，x－3＝0，即x＝3． ∴多项式x²-6x+1有最小值﹣8，它取最小值时x的值为3． 【点睛】此题主要考查了分组分解法和拆项法，将原式分组和拆项后转化为能用提公因式法、公式法进行分解是解题的关键． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$