山东省济南市2025-2026学年高三上学期摸底考试数学试题

2025一2026学年高中三年级摸底考试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A={0,1,2,3,4,5},B={x∈R|x2-7x+6≤0}，则A∩B= A.[1,5] B.[0,6] C.{2,3,4,5} D.(1,2,3,4,5} 2.已知向量a=(0,1),b=(1,2),满足a十1b与b垂直，则实数入的值为 A-号 R-吉 c号 n号 3.记S.为等差数列{an}的前n项和.若2a,一a,=4,则S,= A.12 B.24 C.36 D.48 4.已知集合A={x|e<1),B={z|lne<l),则“x∈A”是“x∈B”的 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 5已知，R分别为双自线C,等-苔-1的左右焦点，C的浙迁钱上一点A满足 AF1⊥AF2,且|AF=2|AF2|,则C的离心率为 A B号 C.2 D.5 数学试题第1页（共4页） 6.(a+2x)(1十x)的展开式中x的奇数次幂的系数之和为32，则a= A.1 B.2 C.3 D.4 1 7,已知函数fx)-e十十x,满足f(3a+2)+f(a)<1,则实数a的取值范围是 A.(-∞，-1) B.(-1,+∞) C(∞，- D.←7t∞) 8.如图所示的六面体ABCDEF中，平面BFC∥平面AED,AE=BF=2,FC=1,ED=4, 若BC⊥AD,则AD= A B.√2 D as D.22 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设z是复数，则 A.z十z∈R B.z·z∈R Cx12=z2 D.Iz= 1n.已知△ABC的面积为平，若Acos(C-B)=ineos((C-A),snC=2osB,则 4 AC=受 1 B.sinB= C.AC=2 D.AB=15 2 11.已知平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点B在y轴上，满足|AB|=3,点P满足 3A户=2A店，记P的轨迹为E,则 A.I OP I≤2 BE的方程为号+y2=1 C.当直线AB与E相切时，IOPI=5D.存在线段AB,使得△OAB内心在E外部 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若一组样本数据x1x2…,x0的平均数为8，则数据x1,2x1十4，x2,2x2十4，…，工10， 2x10十4的平均数为， 13.在四棱台ABCD-A1B1C,D1中，AB=2A,B1,设四棱台ABCD-A1B1C,D1的体积为V, 三棱能DA,CB的体积为，则台-一 14已知函数f()=60sz十分os2z+了cos3x,则f:)的最小值为 1 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 知正项数列a,)的前n项积为T,,且满足a,=元，二2n∈N） (1)求证：数列(T}为等差数列， 1 (2)令C.=T.·T -,求数列{Cn}的前n项和S。, 16.(本小题满分15分) 有四个相同的小球，分别标有数字1,2,3,4，将这些小球随机排成一列. (1)求标有数字2和4的小球不相邻的概率； (2)一个排列中，若两个相邻小球上的数字之和为5，则称这两个小球为一组“友好球”.设 X表示排列中“友好球”的组数，求X的分布列和数学期望. 17.(本小题满分15分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，∠ABC=号，PA=PC=厄. (1)证明：AC⊥PD: (2)若直线PB与直线PD所成角的余弦值为 ,且PB<PD,求直线CD与平面PBC 所成角的余弦值。 18.(本小题满分17分) 已知函数fe)=心-女-ar。 (1)讨论函数f(x)的极值点个数； (2)若函数f(x)有两个不同的极值点x1,x2,其中x1<x2, （1)证明：x1十x2<0: （1)证明：f(x1)十f(x2)>2. 19.(本小题满分17分) 已知抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点为F,A,是T上第一象限内的点.且A1到F 距离与A,到x=一1的距离相等.过A,作T的切线L1交y轴于点M. (1)求P的标准方程， (2)求证：FM⊥L; (3)记A,关于x轴的对称点为A2,l1关于x轴的对称直线为l2,A,为卫上第四象限 的点（与A2不重合），过A,做T的切线L3,分别交l1,l2于P,Q两点，若∠PFM=2∠PQF 直线FQ的斜率为1，直线FM的斜率为，试判断：是否为定值？若为定值，求会：的1 k2 若不为定值，请说明理由」2025年9月济南市高三模拟考试 数学试题参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABD BC AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.14 1.号4.-名 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】 (1)当n≥2时，an= Tn Tn 7,-2,所以n-7=2, 当m=1时，4=万=石，所以a=万=3， 所以，{T}是以3为首项，以2为公差的等差数列. (2)由(1)知，Tn=3+2(-)=2n+1, 1 =元T2n+12m+3)22n+ Sn=C1+C2+C3+…+Cm= 12-1+1-1 +…+ 11 1.1 一)= 23557 2n+12n+364n+6 16.【解析】 (1)设A=“标有数字2和4的小球不相邻”. 四个小球随机排列总数(2)=A任=24， “标有数字2和4的小球不相邻”n(4)=2×A=12, P(A)=4-121 n(2)2421 (2)由题意，=0,1,2. -1. PX=0)=2x2x2-1, A PX=0=224-81 A :PX=2)=2x2× =3 0 2 3 B(X0=0x3+1x3+2×31. 17.【解析】 (I)连接BD交AC于O,因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD 又因为PA=PC,所以PO⊥AC, 因为PO∩BD=O,所以AC⊥面PBD, 又因为PDC面PBD,所以AC⊥PD. (2)以0为原点，建系如图.所以A(0,-1,0),B(5,0,0,C(01,0),D(-√5,0,0)，由(1)得，设 P(x,0,),因为PA=2,所以x2+1+2=2,所以x2+=2=1, 因为即=K-50,D严=x+50,）,所以os(丽，D- BP.DP 5 4-3示，所 以r=t 3 因为B<D,所以…9，则：-5，所以9a5 3 因为C-L0①-停5.设酒版c的法有量为i- 5 0,令x=1,所以n=1,5,瓦) -V3x+y=0 s反-65吹反引 23√2 262 所以CD与平面PBC所成角的余弦值为巨 18.【解析】 (1)由题意f'(x)=e"-x-a,令g(x)=f'(x)=e-x-a,g'(x)=e-l,令g'(x)=0,解 得x=0. 2- g'(x),g(x)的变化情况如下表所示. (-0,0) (0,+∞) g'(x) 0 + g(x) 单调递减 1-a 单调递增 所以， ①当a≤1时，1-a≥0，f'(x)≥0，此时f(x)无极值点： ②当a>1时，1-a<0,x→-o时，f'(x)→+o,'0)=1-a<0,所以f'(x)在(0,0)上 存在唯一的零点， x→+o时，f'(x)→+o,f"(0)=1-a<0,所以f'(x)在(0，+∞)上存在唯一的零点x2. (或者取点：3-a<0,使得f'(-a)=ea-(-a)-a=ea>0,f'(0)=1-a<0,所以f'(x) 在(-∞，0)上存在唯一的零点1：3=1+V+2a>0，使得 fo)=e-0-a>号o2-0-a=51+1+2a2-1++2a)-a=0,f0)=1-a<0, 2 所以f'(x)在(0，+∞)上存在唯一的零点x2·） 当x变化时，f(x),f"(x)的变化情况如下表所示。 (-0,x1) (x,x2) X2 (x2,+∞) f'(x) × 0 0 f(x) 单调递增 单调递减 单调递增 所以(x)有两个极值点 综上所述，当a≤1时，f(x)无极值点：当a>1时f(x)有两个极值点. (2)(1)证明：令G(x)=g(x)-g-x),x>0, G(x)=g'(x)+g'(-x)=e-1+ex-1=e*+er-2>2√ex.e-2=0, 所以G(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以G(x)=g(x)-g-x)>g0)-g(0)=0,即当x>0时，有g(x)>g(-x). 令x=x2,即得g(x2)>g(-x2),又因为8(x)=g(x2),所以g()>g(-x2),又因为g(x)在 (-∞，0)上单调递减，且有<0，-x2<0,所以x1<-x2,即得+x2<0. .3 由(1)知1<0<x2, 要证：为+x2<0, 只需证：x1<-x2<0,因为g(x)在(-∞，0)上单调递减， 即证：g(x)>g(-x2),因为g(x1)=g(x2), 即证：g(x2)>g(-x2), 令G(x)=g(x)-g(-x),x>0, G(x)=g(x)+g(-x)=e*-1+ew-l=e+e-2>2We*e-2=0, 所以G(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以G(x)=gx)-g(-x)>g0)-g(0)=0, 即当x>0时，有g(x)>g(-x). 令x=x2,即得g(x2)>g(-x2),得证. (i)证明：令F(x)=f(x)+f(-x),x>0, F'x)=f'(x)-f'(-x)=(ex-x-a)-(er+x-a)=e*-er-2x, 令p(x)=F(x),则p（x)=e*+ex-2>0,所以F(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以F'(x)>F'(O)=0,从而F(x)在(O,+∞)上单调递增， 所以F(x)>FO)=2. 令x=2,即得fx2)+f(-x2)>2. 由x1+x2<0可得，<-2<0，再由f(x)在(，x2)上单调递减可得()>f(-x2), 所以f(x)+f(x2)>f(-x2)+fx2)>2. 19.【解析】 （1)由题意得抛物线的准线为x=-1,故p=2」 从而抛物线的标准方程为y2=4x. (2)设A(:,),由于A1在第一象限，估斜率存在。设直线l1的方程为y-少=k(x-)。 联立1与抛物线方程 -4- [y2=4x y=k(x-x)+y 得（低x-)+y)2-4x=0.令A=0得后=2 即直线1的方程为y=2(x+x), 令x=0得M0,2) 由愿意知FL0),故=-2丝. 考虑到4(，)在抛物线上，故有=4k,代入得名ku=-钻=-1 故FM⊥4. (3)设A2(1,-),A(,3),同(2)有12：-yy=2(x+),13:yy=2(x+). 联立3与， y=2(x+x) y3y=20+3) 解得，，=为-丛=出=丛， 片-40y-⅓)4 同理。=- 4 故xp+xe=0。设直线l3与y轴交于N,则P,关于点N对称，即NP=NQ. 类似于(1)，可得FN垂直于3，故FP=FO. 延长OF交y轴于B,则∠PFB=2∠PQF, 故∠PFB=∠PFM。从而B与M重合.即M,F,Q共线. 进酒名=与，注意到0，改会1 .5