精品解析：安徽省宁国市2022～2023学年九年级下学期第二次调研考试数学试卷

2022～2023学年九年级第二次调研考试 数学 注意事项： 1.满分150分，答题时间为120分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的倒数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 今年我省继续加强农村危房改造，将各地摸底的户农村困难群众危房全部纳入年改造计划，已下达中央和省级补助资金万元，推进农村困难群众危房动态清零．其中万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果为（ ） A B. C. D. 5. 在数据，，，，中，若将数据更改为，则下列说法正确的是（ ） A. 平均数和中位数都不变 B. 平均数和众数都不变 C. 只有众数不变 D. 中位数和众数都不变 6. 将矩形和平行四边形按如图方式放置，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，内接于，，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 在实验室中有四瓶试剂，分别是稀盐酸、溶液、溶液以及水，现小马准备从四瓶试剂中任选两瓶做实验，则选出的两瓶试剂可以发生化学反应的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 若实数满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则 10. 如图，在中，，过点作，且，连接，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解集为______． 12. 分式方程的解为_____． 13. 如图，反比例函数图象经过的顶点，边与轴交于点，若，，则______． 14. 已知二次函数． （1）若二次函数的图象经过点，则______． （2）将二次函数的图象向下平移2个单位长度，所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15 计算：． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的端点在格点（网格线的交点）上． （1）将线段先向右平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到线段，画出线段．（分别为的对应点） （2）以点旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，画出线段． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 草莓是大家非常喜欢的水果，随着草莓的上市，某草莓经销商将收购的草莓根据个头的大小包装成两类包装盒共100盒，若市场上类草莓每盒35元，类草莓每盒20元，设类草莓有盒． （1）请直接用含的代数式表示出该经销商将这批草莓销售完后获得的销售总额．（结果需化成最简形式） （2）若销售完后，类草莓的销售额比类草莓的销售额多200元，求该经销商获得的销售总额． 18. 观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，回答下列问题： （1）直接写出第5个等式：______． （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 小马准备利用所学的解直角三角形知识来估算小区前道路上的某辆汽车速度，如图，小马站在距离公路的点处，这时公路上的点处驶来一辆汽车，此时测得，经过后汽车到达点处，此时测得，求这辆汽车的速度．（结果精确到0.1，参考数据：，，，） 20. 如图，是直径，是圆上一点，点在圆外，过点作于点，交弧于点，交于点，且，连接． （1）求证：是的切线． （2）已知，若，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 随着气温的上升，为了增强学生防溺水意识，某校团委在全校学生中随机抽取若干名学生进行防溺水知识测试，所有参加测试的学生成绩均不低于分．将全部测试成绩（单位：分）进行整理后分为五等级（.，.，.，.，.），并绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图： 请根据所给信息，解答下列问题： （1）本次测试共抽取了______名学生，在扇形统计图中，等级对应扇形的圆心角的大小为______，并通过计算补全条形统计图． （2）判断抽取的学生防溺水知识测试成绩的中位数在哪个等级．（直接写出结果） （3）若测试成绩达到80分及以上为防溺水意识强，请你估计全校2400名学生中防溺水意识强的学生人数． 七、（本题满分12分） 22. 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立平面直角坐标系（以中点为原点，抛物线对称轴所在直线为轴），拱桥高度，跨度，为了使观景拱桥更加坚固，在拱桥内部修建一个“”型支架，其中点在拱桥上，点在上，点在上． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若，用含的式子表示出图形“”的长为，并求出的最大值． 八、（本题满分14分） 23. 在菱形中，，分别是边上的点，连接． （1）如图1，若，求的度数． （2）如图2，是的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转至的位置，连接，且点在一条直线上． ①求证：． ②若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022～2023学年九年级第二次调研考试 数学 注意事项： 1.满分150分，答题时间为120分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的倒数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 利用倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，即可求得结果． 【详解】解：的倒数是， 故选：D． 2. 今年我省继续加强农村危房改造，将各地摸底的户农村困难群众危房全部纳入年改造计划，已下达中央和省级补助资金万元，推进农村困难群众危房动态清零．其中万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数，正确确定及的值即可． 【详解】解：万． 故选：B ． 3. 如图，几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，掌握俯视图是从上面看到的图形是解题的关键．根据俯视图的确定方法：看得见的棱线画实线，看不见的棱线画虚线，找出从上面看几何体得到的图形即可解答． 【详解】解：几何体的俯视图为： 故选：C． 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方与同底数幂的除法运算，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．先计算积的乘方和幂的乘方，再根据同底数幂的除法运算即可． 【详解】解：． 故选：A ． 5. 在数据，，，，中，若将数据更改为，则下列说法正确的是（ ） A. 平均数和中位数都不变 B. 平均数和众数都不变 C. 只有众数不变 D. 中位数和众数都不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据平均数、众数、中位数的概念分别求出原数据和更改后新数据的平均数、众数、中位数即可． 【详解】解：将原数据排序后：，，，，， 平均数为，中位数为，众数为， 新数据为：，，，，， 平均数为，中位数为，众数为， 综上，两组数据的中位数和众数都不变，平均数有变化． 故选：D ． 6. 将矩形和平行四边形按如图方式放置，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，多边形的内角和定理．先由平行四边形与矩形得到，，再由五边形的内角和可得，即可解答． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵在五边形中，， 又，， ∴， ∴， 即． 故选：D 7. 如图，内接于，，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．连接，，可得，根据勾股定理在中求出，即可解答． 【详解】解：连接，， ∵，， ∴， ∵在中，，， ∴， 即的半径为． 故选：B 8. 在实验室中有四瓶试剂，分别是稀盐酸、溶液、溶液以及水，现小马准备从四瓶试剂中任选两瓶做实验，则选出的两瓶试剂可以发生化学反应的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，通过列表列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：设稀盐酸、溶液、溶液以及水分别为A、B、C、D，其中只有稀盐酸与溶液可以发生化学反应， 列表如下： A B C D A B C D ∴共有12种可能结果，其中选出的两瓶试剂可以发生化学反应的有2种， ∴选出的两瓶试剂可以发生化学反应的概率为， 故选：A． 9. 若实数满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及一元一次不等式的性质，解题的关键是先用含的代数式表示出、的值．先联立已知的等式，通过解二元一次方程组用含的代数式表示出、的值，然后通过等式和不等式的性质逐项判断各选项即可． 【详解】解：联立， 由得，， 把代入得，，解得， 把代入得，， ，的值未定， 无法确定正负性，即无法确定，故A选项结论不符合题意； 若，则，故B选项结论不符合题意； ，故C选项结论符合题意； 若，则，故D选项结论不符合题意． 故选：C ． 10. 如图，在中，，过点作，且，连接，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定，结合图形构造三角形外接圆求线段最值是解题的关键． 作的外接圆，过点作交延长线于点，连接，则，，由题意得，利用等腰直角三角形的性质得到，，进而得到，利用勾股定理求出的长，再利用两点之间线段最短的性质即可求出的最大值． 【详解】解：如图，作的外接圆，过点作交延长线于点，连接， 则，， 由题意得，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当三点共线时，有最大值． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解集为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法，是解题的关键．按照移项、合并同类项、系数化为1，即可解得一元一次不等式． 【详解】解：， 移项得，， 合并同类项得，， 解得：， 故答案为：． 12. 分式方程的解为_____． 【答案】x=2 【解析】 【详解】分析：根据解分式方程的步骤解方程即可. 详解：去分母得： 解得： 经检验x=2是分式方程的解． 故答案为x=2. 点睛：考查解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 13. 如图，反比例函数的图象经过的顶点，边与轴交于点，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，作轴于D，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变，由平行线分线段成比例定理，三角形面积公式，求出的面积即可． 【详解】解：作轴于D， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 已知二次函数． （1）若二次函数的图象经过点，则______． （2）将二次函数的图象向下平移2个单位长度，所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值，关键是掌握平移的性质． （1）把代入二次函数解析式，解方程即可． （2）把二次函数解析式化为顶点式，根据平移的性质得出平移后的二次函数解析式，从而得到新函数的顶点坐标，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：（1）二次函数的图象经过点， ，解得， 故答案：． （2）， 将该二次函数的图象向下平移个单位长度， ， 所得到的二次函数顶点纵坐标为， ， ， 所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质和负整数指数幂计算，然后计算乘法，再算加减法即可． 【详解】解： ． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的端点在格点（网格线的交点）上． （1）将线段先向右平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到线段，画出线段．（分别为的对应点） （2）以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，画出线段． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了平移作图，旋转作图，根据题意结合网格特点画出图形是解题关键． （1）根据所给平移方向作图即可； （2）根据所给旋转方式作图即可． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求． 【小问2详解】 解：如图，线段即为所求． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 草莓是大家非常喜欢的水果，随着草莓的上市，某草莓经销商将收购的草莓根据个头的大小包装成两类包装盒共100盒，若市场上类草莓每盒35元，类草莓每盒20元，设类草莓有盒． （1）请直接用含的代数式表示出该经销商将这批草莓销售完后获得的销售总额．（结果需化成最简形式） （2）若销售完后，类草莓的销售额比类草莓的销售额多200元，求该经销商获得的销售总额． 【答案】（1） （2）2600元 【解析】 【分析】本题主要考查代数式的建立及一元一次方程的应用，涉及根据实际问题列代数式和解方程的能力． （1）根据A、B两类包装盒的数量关系，直接写出销售总额的代数表达式，并化简． （2）利用A类销售额与B类销售额的差值建立方程，求出类数量后计算总销售额． 【小问1详解】 解：根据题意，类草莓有盒，则B类草莓有盒， 总销售额为：， 答：总销售额为元． 【小问2详解】 解：根据题意列方程：， 解得：， 将代入总销售额表达式得：． 18. 观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，回答下列问题： （1）直接写出第5个等式：______． （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律、分式的加减运算等知识点，观察各个等式并从中找到规律成为解题的关键． （1）仿照提供的算式写出第5个算式即可； （2）根据规律归纳出第个等式（用含的式子表示），然后运用分式的加减运算法则证明即可． 【小问1详解】 解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． …… 第n个等式：． 证明： ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 小马准备利用所学的解直角三角形知识来估算小区前道路上的某辆汽车速度，如图，小马站在距离公路的点处，这时公路上的点处驶来一辆汽车，此时测得，经过后汽车到达点处，此时测得，求这辆汽车的速度．（结果精确到0.1，参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过作于，根据，，求出、，再求出，最后根据计算速度即可． 【详解】解：过作于，由题意可得， ∴，， ∴，， ∴， ∴这辆汽车的速度为． 20. 如图，是的直径，是圆上一点，点在圆外，过点作于点，交弧于点，交于点，且，连接． （1）求证：是的切线． （2）已知，若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）1 【解析】 【分析】（1）连接，根据即可得到，根据等边对等角即可得到，根据对顶角相等即可得到，进一步得到，即可判断出结论成立； （2）根据同弧所对圆周角相等即可得到，根据即可得到，根据为公共角即可判断出，即可得到，根据即可求出的长度，进一步求出的长度，即可得到的长度，根据垂径定理即可求出的长度，进一步求出答案． 【小问1详解】 解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径，是的弦，， ， ． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，垂径定理，切线的判定，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 六、（本题满分12分） 21. 随着气温的上升，为了增强学生防溺水意识，某校团委在全校学生中随机抽取若干名学生进行防溺水知识测试，所有参加测试的学生成绩均不低于分．将全部测试成绩（单位：分）进行整理后分为五等级（.，.，.，.，.），并绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图： 请根据所给信息，解答下列问题： （1）本次测试共抽取了______名学生，在扇形统计图中，等级对应扇形的圆心角的大小为______，并通过计算补全条形统计图． （2）判断抽取的学生防溺水知识测试成绩的中位数在哪个等级．（直接写出结果） （3）若测试成绩达到80分及以上为防溺水意识强，请你估计全校2400名学生中防溺水意识强的学生人数． 【答案】（1），，统计图见解析 （2）抽取的学生防溺水知识测试成绩的中位数在等级 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，中位数的定义，样本估计总体； （1）根据等级的人数除以占比，求得总人数，根据等级的占比乘以，得出对应的扇形统计图的圆心角，进而求得等级的人数，补全统计图，即可求解； （2）根据总人数为，中位数为第，个，结合条形统计图，即可求解； （3）用样本估计总体，根据等级人数的占比乘以，即可求解． 小问1详解】 本次测试共抽取了名学生，在扇形统计图中，等级对应扇形的圆心角的大小为， 等级的人数为：， 补全统计图如图， 故答案为：，． 【小问2详解】 ，， ∴抽取的学生防溺水知识测试成绩的中位数在等级． 【小问3详解】 ， 估计全校2400名学生中防溺水意识强的学生为人． 七、（本题满分12分） 22. 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立平面直角坐标系（以中点为原点，抛物线对称轴所在直线为轴），拱桥高度，跨度，为了使观景拱桥更加坚固，在拱桥内部修建一个“”型支架，其中点在拱桥上，点在上，点在上． （1）求抛物线函数表达式． （2）若，用含的式子表示出图形“”的长为，并求出的最大值． 【答案】（1） （2），的最大值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出抛物线的表达式是解题的关键． （1）由题意得，，，再利用待定系数法即可求解； （2）由抛物线的对称性可得，则，，，进而得到，用含的式子表示出周长，再利用二次函数的性质即可求出的最大值． 【小问1详解】 解：（1）由题意得，，， 设抛物线的函数表达式为， 代入得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由抛物线的对称性可得， ∴，，， 当时，；当时，； ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 同理可得，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，的最大值为． 八、（本题满分14分） 23. 在菱形中，，分别是边上的点，连接． （1）如图1，若，求的度数． （2）如图2，是的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转至的位置，连接，且点在一条直线上． ①求证：． ②若，求的面积． 【答案】（1） （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质． （1）根据菱形的性质，判断△ABC是正三角形，证明△ABE≌△ACF，进而得到答案； （2）①取中点N，连接，，根据菱形的性质可推出，由（1）可知，则，，证明即可得出结论； ②先根据菱形的性质和等边三角形的性质得，再由①知，得，则，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：如图，取的中点N，连接，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， 由（1）知， ∴，， 由（1）知是等边三角形，且是的中点， ∴， ∴， ∵将绕点按逆时针方向旋转至的位置， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵四边形是菱形，， ∴， ∵是等边三角形，是的中点， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 由①知， ∴， ∴， 由①知， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $