上学期期中测试卷02（测试范围：第1-5章）（上海专用）2025-2026学年高一数学

2025-2026学年高一数学上学期期中测试卷02 时间：90分钟； 满分100分 测试范围：第1-5章 一、填空题（每小题3分，共36分） 1．已知集合，，则 . 【答案】 【解析】因为，，所以,故答案为： 2．已知实数且，，则 ； 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则计算可得； 【解析】因为 所以 故答案为： 3．若集合，则的值为 【答案】12 【解析】因为，所以集合可表示为，所以.故答案为：12. 4．已知一个矩形的周长为定值4，则它面积的最大值为 【答案】 【解析】设矩形的长和宽为，因为，所以， 所以面积，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为，故答案为：. 5．已知p：，q：，且p是q的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 【答案】 【解析】由p是q的充分非必要条件， p：，q：， 可得，即，则实数a的取值范围是,故答案为： 6．甲、 乙两人同时解关于的方程：.甲写错了常数，得两根为及；乙写错了常数，得两根及，则这个方程的真正的根为 【答案】或 【分析】利用对数方程的解法进行分析即可求解. 【解析】原方程可变形为： 甲写错了，得到根为及，； 又乙写错了常数，得到根为及，； 原方程为，即， 或，或. 故答案为：或. 7．若关于x的不等式的解集是，则的解集为 . 【答案】 【解析】∵不等式的解集是，∴方程的两个根为 则.由得，即， 解得，所以不等式的解集为.故答案为：. 8．已知幂函数的图象过点，则的解集为 . 【答案】 【分析】先由幂函数定义结合它图象上的点把表达式求出来，然后根据单调性、偶函数性质解表达式即可. 【解析】依题意，设，则，解得，于是得， 显然是偶函数，且在上单调递增， 而， 即有，解得或， 所以的解集为. 故答案为：. 9．已知正数、满足，且，则 . 【答案】或 【分析】由，得出，由得出解出的值，进而得出的值，从而得出的值. 【解析】，，由得出， 由换底公式可得，，可得或. ①当时，，此时，，则； ②当时，，此时，，则. 因此， 或，故答案为或. 10．已知，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用换元法，和对数的运算法则化简表达式，然后利用基本不等式求解最小值即可． 【解析】令，则， 所以， 所以，当且仅当时取等号，故的最小值为3. 【点睛】本题考查对数值的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值不等式和对数性质的合理运用． 11．若规定集合的子集为的第个子集， 其中，则的第211个子集是 ． 【答案】 【分析】正确理解的含义，时，即要先求出满足的，即的第211个子集应含有的元素，计算出，再要求满足的，即的第211个子集应含有的元素，如此类推即得. 【解析】因，则的第211个子集必包含7，此时； 又因则的第211个子集必包含6，此时； 又则的第211个子集必包含4，此时； 又则的第211个子集必包含1；而. 综上所述，的第211个子集是.故答案为：. 12．设函数，集合，则下列命题正确的有 . ①当时，集合；②当时，； ③当，则的取值范围是； ④若（其中），则. 【答案】①④ 【分析】对于①，画出的图象，当时，解得或，数形结合解得； 对于②，当时，，解得，②错误； 对于③，令，不妨设，此时满足，但，③错误； 对于④，分析出至少一个为负值，不妨令，对应的解只有一个，为，故要对应3个解，故，则，，结合，求出，④正确. 【解析】对于①，画出的图象，如下： 当时，，解得或， 显然由图象可知，需令，解得， 需令，解得，故，①正确； 对于②，当时，，解得， 由图象可知，需令，解得，故，②错误； 对于③，令，则， ，解得， 设的两根分别为，则，不妨设， 当，即，由图象可知，， 当，即，令，解得， 满足，但此时，③错误； 对于④，（其中）， 由于，故至少一个为负值，不妨令， 对应的解只有一个，为，故要对应3个解， 故，此时设对应的3个解分别为， 则，，故， 又，故，解得， 则，④正确.故答案为：①④ 二、选择题（每小题3分，共12分） 13．如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以，所以.故选：A 14．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 【答案】D 【分析】假设结论的反面成立即可． 【解析】自然数都不是偶数的反面为自然数至少有一个是偶数.故选：D 15．下列不等式中，与不等式解集相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以不等式等价于不等式.故选：D. 16．已知有限集，如果A中元素 满足，就称A为“完美集” ①集合不是“完美集”， ②若，是两个不同的正数，且是“完美集”，则，至少有一个大于2； ③有且仅有两个元素的“完美集”只有有限多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且 其中正确结论的个数有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由“完美集”的定义即可判断①错误；由“完美集”的定义可知可以看成一元二次方程的两正根，则可得，则可判断②正确；③错误；设，由“完美集”的定义可知，结合，可知，，由此即可判断④正确. 【解析】由题意， 对于①：，， 故，所以集合是“完美集”，故①错误； 对于②：集合是“完美集”，设， 则可以看成一元二次方程的两正根，则，解得：（舍）或， 即，因为为正数，若都小于等于2，则，所以至少有一个大于2， 故②正确； 对于③：由B可知，一元二次方程当取不同值时， 的值是不同的，因而二元“完美集”有无穷多个，故③错误； 对于④：设，则， 所以，又， 当时，，此时“完美集”不存在， 当时，，则，不合题意， 当时，，所以只能是，由，代入解得， 所以此时“完美集”只有一个，为，故④正确.综上，正确结论的个数有个. 故选：B. 三、解答题52分 17．（10分）已知函数（其中，且）. (1)若，求的值.(2)求关于的方程的解. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）将代入函数解析式，结合完全平方公式可求得的值. （2）将代入函数解析式可得具体方程，再结合完全平方公式可解得方程的解. 【解析】（1）因为，所以， 所以，所以. （2）因为，则， 所以，又因为，且，所以. 18．（12分）某种型号的特殊运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米，根据规定（单位：千米/小时）. 假设汽油的价格为每升6元，送货卡车每小时耗油升，司机的工资是每小时140元. （1）求这次行车总费用y关于x的表达式； （2）当x为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用.（x精确到0.1千米/小时，总费用精确到0.01元，） 【答案】(1)，.(2)当时，总费用最低，为元. 【分析】（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式. （2）利用基本不等式求最值即得结果. 【解析】（1）卡车行驶的时间为：， 所以卡车这次行车的油费为：元，司机的工资为：元. 所以这次行车总费用为：， （2）因为（当且仅当即时取 “”）. 所以当时，总费用最低，为元. 19．（14分）（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）解对数方程，其中；（2）有意义，要求真数大于0；（3）通过化简变为有且仅有一个解，对进行分类讨论，注意变形中的真数要始终成立，所以要检验. 【解析】（1）∵，∴，∴ （2）对数有意义，则，解得：或， 所以实数x的取值范围为或； （3） 即 =① 方程两边同乘x得： 即② 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当且时方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即 若是方程①的解，则，即 则要使方程①有且仅有一个解，则 综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是 20．（16分）若函数对任意的均有，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）全集为，函数，试证明具有性质； （3）具有性质，且，求证：对任意均有. 【答案】(1)具有性质，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）直接将解析式代入不等式后化简，再结合基本不等式判断是否对任意实数都成立即可. （2）将函数分段讨论，每一段都根据性质P的定义判断是否具有性质P，再得出在R上是否具有性质P. （3）利用反证法，先提出假设为大于0的值，再结合性质P的定义可推导出，与题干条件相矛盾，从而得出. 【解析】（1）因为， 则因为，所以由基本不等式， ，且，所以， 所以任意的成立，即函数具有性质. （2）当为有理数时，具有性质，理由如下： ， ， 所以恒成立， 即对于任意有理数恒成立， 故具有性质； 当为无理数时，具有性质，理由如下： ， 故具有性质P . 综上所述：当时，均有， 故函数具有性质. （3）假设为中第一个大于0的值， 则， 因为具有性质， 所以， 所以， 所以， 这与矛盾， 故原假设不成立， 所以对任意均有. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期中测试卷02 时间：90分钟； 满分100分 测试范围：第1-5章 一、填空题（每小题3分，共36分） 1．已知集合，，则 . 2．已知实数且，，则 ； 3．若集合，则的值为 4．已知一个矩形的周长为定值4，则它面积的最大值为 5．已知p：，q：，且p是q的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 6．甲、 乙两人同时解关于的方程：.甲写错了常数，得两根为及；乙写错了常数，得两根及，则这个方程的真正的根为 7．若关于x的不等式的解集是，则的解集为 . 8．已知幂函数的图象过点，则的解集为 . 9．已知正数、满足，且，则 . 10．已知，若，则的最小值为 ． 11．若规定集合的子集为的第个子集， 其中，则的第211个子集是 ． 12．设函数，集合，则下列命题正确的有 . ①当时，集合；②当时，； ③当，则的取值范围是； ④若（其中），则. 二、选择题（每小题3分，共12分） 13．如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 14．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 15．下列不等式中，与不等式解集相同的是（   ） A． B． C． D． 16．已知有限集，如果A中元素 满足，就称A为“完美集” ①集合不是“完美集”， ②若，是两个不同的正数，且是“完美集”，则，至少有一个大于2； ③有且仅有两个元素的“完美集”只有有限多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且 其中正确结论的个数有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题52分 17．（10分）已知函数（其中，且）. (1)若，求的值.(2)求关于的方程的解. 18．（12分）某种型号的特殊运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米，根据规定（单位：千米/小时）. 假设汽油的价格为每升6元，送货卡车每小时耗油升，司机的工资是每小时140元. （1）求这次行车总费用y关于x的表达式； （2）当x为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用.（x精确到0.1千米/小时，总费用精确到0.01元，） 19．（14分）（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 20．（16分）若函数对任意的均有，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）全集为，函数，试证明具有性质； （3）具有性质，且，求证：对任意均有. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $