上学期期中测试卷02（测试范围：第1-2章+立体几何）（上海专用）2025-2026学年高二数学

2025-2026学年高二数学上学期期中测试卷02 时间：90分钟； 满分100分 测试范围：第1-2章+立体几何 一、填空题（每小题3分，共36分） 1．已知异面直线l1，l2所成角的大小为45°，直线OA∥l1且OB∥l2，则∠AOB＝ 【答案】45°或135°． 【解析】由题意知OA∥l1，OB∥l2，且异面直线l1，l2所成角为45°，则∠AOB为异面直线l1，l2所成的角或其补角，所以∠AOB＝45°或135°. 2．在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两互相垂直，且AB＝BC＝2，E是AC的中点，异面直线AD与BE所成的角的余弦值为，则四面体的体积为 【答案】． 【解析】取CD的中点F，连接BF，EF，如图，因为E是AC的中点，则EF∥AD，于是∠BEF是异面直线AD与BE所成的角或其补角，令BD＝a，而AB，BC，BD两两互相垂直，则BF＝CD＝，EF＝AD＝，在等腰△BEF中，BE＝AC＝，cos ∠BEF＝＝＝，解得a＝4，所以四面体的体积为V＝××BC×BD×BA＝×2×4×2＝. 3．如图，在四棱锥P­ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为 【答案】2 【解析】如图，取PA的中点M，连接BM，CM.因为PB⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PB⊥BC，又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA.因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BCM，所以PA⊥平面BCM.又CM⊂平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离．在等腰直角三角形PAB中，BM＝PB＝2，在Rt△BCM中，CM＝＝＝2，故点C到直线PA的距离为2； 4．经过P(0，－3)，Q(－，0)两点的直线的倾斜角为 【答案】120°； 【解析】由题意知，经过P，Q两点的直线的斜率为k＝＝－，设该直线的倾斜角为θ(0°≤θ<180°)，则k＝tan θ＝－，所以θ＝120°，即直线的倾斜角为120°； 5．直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所过的定点坐标为 【答案】(1，－1)． 【解析】直线方程x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)可以化为m(y＋1)＋y＋x＝0， 令解得 故直线所过的定点坐标为(1，－1). 6．直线l：x＋2y＋4＝0被圆C：(x－3)2＋(y＋1)2＝9截得的弦长为 【答案】4； 【解析】圆C：(x－3)2＋(y＋1)2＝9，所以圆心C(3，－1)，半径r＝3，所以弦心距为d＝＝，所以弦长为l＝2＝4； 7．已知圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：x2＋y2－2x－4y＝0交于A，B两点，则|AB|＝ 【答案】； 【解析】因为圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：x2＋y2－2x－4y＝0交于A，B两点，所以直线AB的方程即为两圆方程相减所得方程，即2x＋4y－5＝0，且圆O1：x2＋y2＝5的半径为，圆心O1(0，0)到直线2x＋4y－5＝0的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝； 8．若椭圆＋＝1上一点M到椭圆的一个焦点的距离为5，则点M到另外一个焦点的距离为 【答案】7； 【解析】由椭圆方程可知a2＝36，解得a＝6.又椭圆上一点M到两焦点的距离和为2a＝12，所以M到另一个焦点的距离为12－5＝7； 9．已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是 【答案】 (－∞，－1) 【解析】若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则解得k<－1； 10．在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>3)与双曲线－＝1有公共焦点F1，F2.设P是椭圆与双曲线的一个交点，则△PF1F2的面积是 【答案】6． 【解析】根据对称性，不妨设P在第一象限．由题设可知|F1F2|2＝4(a2－9)＝4(m2＋4)＝4c2，即a2－m2＝13，a2－c2＝9，c2－m2＝4.根据椭圆与双曲线的定义得 ⇒ 在△PF1F2中，由余弦定理得cos ∠F1PF2＝ ＝＝＝＝. 所以sin ∠F1PF2＝，S△PF1F2＝·|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2＝×(a2－m2)×＝6. 11．一座山峰的示意图如图所示，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为1 km，峰底A到峰顶S的距离为4 km，B是一条笔直的山路SA的中点．为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为 km 【答案】 ； 【解析】　以SA为分界线，将圆锥的侧面展开，可得其展开图如图．则从点A到点B的最短路径为线段A′B，l＝2π×1＝2π(km)，所以∠A′SA＝＝.过S作SP⊥A′B于点P，则公路距山顶的最近距离为SP，因为A′B＝＝2(km)，所以SP＝＝＝(km).故选D. 12．平面上动点M到定点F(3，0)的距离比M到y轴的距离大3，则动点M满足的方程为 【答案】y2＝12x(x≥0)或y＝0(x<0)． 【解析】　动点M到定点F(3，0)的距离比M到y轴的距离大3，当x≥0时，动点M到定点F(3，0)的距离等于到直线x＝－3的距离，轨迹为抛物线，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则＝3，即p＝6，所以y2＝12x；当x<0时，y＝0满足条件．综上所述，动点M的轨迹方程为y2＝12x(x≥0)或y＝0(x<0). 二、选择题（每小题3分，共12分） 13．下列说法正确的是（ ） A．四边形一定是平面图形 B．不在同一条直线上的三点确定一个平面 C．梯形不一定是平面图形 D．平面α和平面β一定有交线 【答案】B； 【解析】四边形不一定是平面图形，也可能是空间四边形，故A错误；不共线的三点确定一个平面，故B正确；梯形中，有一组对边平行，可以确定一个平面，故梯形一定是平面图形，故C错误；若平面α和平面β平行，则其没有交线，故D错误．故选B. 14．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，C1D1的中点，则直线AF与BE所成角的余弦值为（ ） A．　　 B．　　 C．　　 D． 【答案】B； 【解析】连接CA，CF，如图所示．易得BE∥CF，所以直线AF与BE所成的角为∠CFA（或其补角）.不妨设AB＝2.在△CFA中，易得AF＝3，AC＝2，CF＝，由余弦定理得cos ∠CFA＝＝，即直线AF与BE所成角的余弦值为.故选B. 15．已知点A(1，2)，B(0，－)，若经过点M(－1，0)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ） A． B．∪ C．∪ D．∪ 【答案】C； 【解析】依题意，直线MA的斜率kMA＝＝1，直线MB的斜率kMB＝＝－， 如图，若直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k满足－≤k≤1， 当－≤k<0时，直线l的倾斜角α∈，当0≤k≤1时，α∈， 所以直线l的倾斜角的取值范围为∪.故选C. 16．已知圆C：(x－1)2＋y2＝16，F(－1，0)为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F（如图），然后将纸片展开，得到一条折痕l，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（ ） A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．－＝1 D．＋＝1 【答案】A； 【解析】F(－1，0)，C(1，0)，点F关于折痕l的对称点A在圆周上，折痕l为线段AF的垂直平分线，折痕l与AC相交于点P，如图所示，则有|PA|＝|PF|，可知|PF|＋|PC|＝|PA|＋|PC|＝|AC|＝4>|FC|＝2，所以点P的轨迹是以F，C为左、右焦点的椭圆，其中长轴长2a＝4，焦距2c＝2，所以点P的轨迹方程为＋＝1，易知除点P外，折痕l上任意一点到F，C两点的距离之和均大于|PF|＋|PC|，即除点P外，折痕l上的其余点均在椭圆＋＝1外，所以折痕围成轮廓对应的圆锥曲线的方程为＋＝1.故选A. 三、解答题52分 17．（10分）求符合下列条件的直线方程： （1）直线过点A(－1，－3)，且斜率为－； （2）斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6； （3）直线过点(2，1)，且横截距为纵截距的2倍． 【解析】（1）因为，所求直线过点A(－1，－3)，且斜率为－，∴y＋3＝－(x＋1)，即x＋4y＋13＝0. （2）设直线方程为y＝x＋b，令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝－b， 所以，|b|·＝6，解得b＝±3，所以，直线方程为y＝x±3，即3x－4y±12＝0. （3）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，又直线过点(2，1)， 所以，1＝2k，解得k＝，∴直线方程为y＝x，即x－2y＝0； 当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为＋＝1， 由题意可得解得 所以，直线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0. 综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0. 【说明】求直线方程的两种方法：1、直接法：由题意确定出直线方程的形式，并直接写出直线方程； 2、待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，再由题设条件求出待定系数，进而得出直线方程； 18．（12分）过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2. （1）求抛物线C的方程； （2）若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程． 【解析】（1）抛物线C：x2＝2py(p＞0)的准线方程为y＝－，焦点为F. 因为，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2， 所以，1＋＝2，解得p＝2， 所以，抛物线C的方程为x2＝4y. （2）因为，点M(－2，y0)在抛物线C上， 所以，y0＝＝1.又F(0，1)， 易得直线l的斜率存在， 所以，设直线l的方程为y＝kx＋1. 由得x2－4kx－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4， ＝(x1＋2，y1－1)，＝(x2＋2，y2－1). 因为，MA⊥MB，所以，⊥，所以，·＝0，所以，(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0， 所以，－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0. 当k＝0时，l过点M，舍去，所以，k＝2， 所以，直线l的方程为y＝2x＋1. 19．（14分）如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点． （1）求证：PO⊥平面ABC； （2）若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离． 【解析】（1）证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.如图，连接OB. 因为AB＝BC＝AC， 所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2. 在△POB中，OB＝2，OP＝2，PB＝4， 由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB. 由OP⊥OB，OP⊥AC，且OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC知，PO⊥平面ABC. （2）如图，作CH⊥OM，垂足为H. 又由（1）可得OP⊥CH，OP∩OM＝O，OP，OM⊂平面POM，所以CH⊥平面POM，故CH的长为点C到平面POM的距离． 由题设可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°. 在△OCM中，OM2＝OC2＋CM2－2OC·CM·cos ∠MCO， 所以OM＝，则＝， 即sin ∠COM＝·CM， 又CH＝OC·sin ∠COM， 所以CH＝＝. 所以点C到平面POM的距离为. 20．（16分）已知点M(x0，y0)为双曲线－y2＝1上的动点． （1）判断直线－y0y＝1与双曲线的公共点个数，并说明理由． （2）(ⅰ)如果把（1）的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明． (ⅱ)将双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为－＝0，请利用该方程证明如下命题：若T(m，n)为双曲线C上一点，直线l：－＝1与C的两条渐近线分别交于点P，Q，则T为线段PQ的中点． 【解析】　(1)直线与双曲线只有1个公共点．理由：∵点M(x0，y0)在双曲线－y2＝1上， ∴－y＝1①， 由 得x2＋x0x－(1＋y)＝0， 将①式代入，整理得x2－2x0x＋x＝0， ∵Δ＝4x－4x＝0，∴该直线与双曲线有且只有1个公共点． (2)(ⅰ)过双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点(x0，y0)的切线方程为－＝1. (ⅱ)证明：当n＝0时，直线l的斜率不存在，此时T为双曲线与x轴的交点， 由对称性知，点T为线段PQ的中点， 当n≠0时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点N(t，s)， 由得x2＋2mx－a2＝0，由－＝1将上式整理得x2－2mx＋a2＝0，∴t＝＝m， 又∵－＝1(注意：点N(t，s)在直线l上)，∴s＝＝n，则N(m，n)， ∴点T与点N重合，∴T为线段PQ的中点． 综上，T为线段PQ的中点． 【说明】本题考法新颖，不同于以往解析几何大题先求曲线方程的常规套路，而是要求证明一个二级结论，教学过程中师生都易关注常见结论，而忽视结论的由来和证明，导致学生出现“知其然，不知其所以然”的现象，本题提示我们在学习过程中要注重数学推导过程的学习； 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中测试卷02 时间：90分钟； 满分100分 测试范围：第1-2章+立体几何 一、填空题（每小题3分，共36分） 1．已知异面直线l1，l2所成角的大小为45°，直线OA∥l1且OB∥l2，则∠AOB＝ 2．在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两互相垂直，且AB＝BC＝2，E是AC的中点，异面直线AD与BE所成的角的余弦值为，则四面体的体积为 3．如图，在四棱锥P­ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为 4．经过P(0，－3)，Q(－，0)两点的直线的倾斜角为 5．直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所过的定点坐标为 6．直线l：x＋2y＋4＝0被圆C：(x－3)2＋(y＋1)2＝9截得的弦长为 7．已知圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：x2＋y2－2x－4y＝0交于A，B两点，则|AB|＝ 8．若椭圆＋＝1上一点M到椭圆的一个焦点的距离为5，则点M到另外一个焦点的距离为 9．已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是 10．在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>3)与双曲线－＝1有公共焦点F1，F2.设P是椭圆与双曲线的一个交点，则△PF1F2的面积是 11．一座山峰的示意图如图所示，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为1 km，峰底A到峰顶S的距离为4 km，B是一条笔直的山路SA的中点．为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为 km 12．平面上动点M到定点F(3，0)的距离比M到y轴的距离大3，则动点M满足的方程为 二、选择题（每小题3分，共12分） 13．下列说法正确的是（ ） A．四边形一定是平面图形 B．不在同一条直线上的三点确定一个平面 C．梯形不一定是平面图形 D．平面α和平面β一定有交线 14．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，C1D1的中点，则直线AF与BE所成角的余弦值为（ ） A．　　 B．　　 C．　　 D． 15．已知点A(1，2)，B(0，－)，若经过点M(－1，0)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ） A． B．∪ C．∪ D．∪ 16．已知圆C：(x－1)2＋y2＝16，F(－1，0)为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F（如图），然后将纸片展开，得到一条折痕l，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（ ） A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．－＝1 D．＋＝1 三、解答题52分 17．（10分）求符合下列条件的直线方程： （1）直线过点A(－1，－3)，且斜率为－； （2）斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6； （3）直线过点(2，1)，且横截距为纵截距的2倍． 18．（12分）过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2. （1）求抛物线C的方程； （2）若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程． 19．（14分）如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点． （1）求证：PO⊥平面ABC； （2）若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离． 20．（16分）已知点M(x0，y0)为双曲线－y2＝1上的动点． （1）判断直线－y0y＝1与双曲线的公共点个数，并说明理由． （2）(ⅰ)如果把（1）的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明． (ⅱ)将双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为－＝0，请利用该方程证明如下命题：若T(m，n)为双曲线C上一点，直线l：－＝1与C的两条渐近线分别交于点P，Q，则T为线段PQ的中点． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $