上学期期中测试卷01（测试范围：第1-2章）（上海专用）2025-2026学年高二数学

2025-2026学年高二数学上学期期中测试卷01 时间：90分钟； 满分100分 测试范围：第1-2章 一、填空题（每小题3分，共36分） 1．在x轴上的截距为2且倾斜角为60°的直线方程为 【答案】y＝x－ y－2＝0 【解析】由题可知直线的斜率k＝tan 60°＝，所以直线方程为y＝(x－2)，即y＝x－2. 2．点F(，0)到直线x－y＝0的距离为 【答案】 ； 【解析】由点到直线的距离公式得点F(，0)到直线x－y＝0的距离为＝. 3．直线＋＝t被两坐标轴截得的线段长度为1，则t＝________ 【答案】±； 【解析】直线与x，y轴的交点分别为(3t,0)和(0,4t)，所以线段长为＝1，解得t＝±. 4．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为 【答案】－； 【解析】因为，方程y＝ax2表示的是抛物线，所以，a≠0，∴x2＝＝2··y， 所以，抛物线y＝ax2的准线方程是y＝－＝2，解得a＝－； 5．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝________. 【答案】－1； 【解析】直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，则a＋1＝0∴a＝－1. 故答案为－1；答案：－1 6．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为 【答案】6； 【解析】因为，圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点， 所以，x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，解得m＝6. 7．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________． 【答案】2； 【解析】由－＝1得a＝，b＝，c＝. 所以，e＝＝＝，即m2－4m＋4＝0，解得m＝2. 8．若直线x＋y＋m＝0上存在点P，过点P可作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PA，PB，切点为A，B，且∠APB＝60°，则实数m的取值范围为 【答案】[－2，2]； 【解析】若∠APB＝60°，则|OP|＝2，直线x＋y＋m＝0上存在点P，过点P可作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PA，PB，等价于直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝4有公共点，由点到直线的距离公式可得≤2， 解得m∈[－2，2]； 9．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为 【答案】6； 【解析】根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6. 10．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为 【答案】 ( 1 , 3] 【解析】因为，|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2|PF2|， 所以，PF1|＝4a，|PF2|＝2a， 因为，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|， 所以，6a≥2c，所以，3a≥c，e＝≤3，所以，e∈(1,3]． 11．下列命题是真命题的是________(将所有真命题的序号都填上)． ①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；④若点P到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆． 【答案】②④； 【解析】①<2，故点P的轨迹不存在；②因为2a＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)；④点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和为4>8，故点P的轨迹为椭圆．故填②④；答案：②④ 12、设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝ 【答案】17． 【解析】根据题意及双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或|PF2|＝17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17. 二、选择题（每小题3分，共12分） 13．斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是（ ） A．0°＜α＜45° B．45°＜α＜90° C．90°＜α＜135° D．135°＜α＜180° 【答案】B； 【解析】因为斜率为1的直线的倾斜角是45°，斜率为2的直线的倾斜角大于45°，倾斜角大于90°且小于180°时，直线的斜率是负值，所以斜率为2的直线的倾斜角α的范围是45°<α<90°，故选B. 14．已知椭圆＋＝1(a>5)的两个焦点为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1 ，则△ABF2的周长为（ ） A．10 B. 20 C. 2 D．4 【答案】D； 【解析】由题意可得椭圆＋＝1的b＝5，c＝4，a＝＝， 由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a， 即有△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4；故选D. 15．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4；则C的实轴长为（ ） A. B．2 C．4 D．8 【答案】C ； 【解析】设等轴双曲线C：－＝1. 因为，抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)， 所以，|AB|＝2＝4， 所以，a＝2，∴2a＝4.所以，C的实轴长为4. 16．已知抛物线C的方程为x2＝y，过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（ ） A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.∪ C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－)∪(，＋∞) 【答案】D ； 【解析】据已知可得直线AB的方程为y＝x－1，联立直线与抛物线方程，得， 消元整理，得2x2－x＋1＝0，由于直线与抛物线无公共点，即方程2x2－x＋1＝0无解， 故有2－8<0，解得t>或t<－.；答案：D 三、解答题52分 17．（10分）已知Rt△ABC的顶点坐标A(－3,0)，直角顶点B(－1，－2)，顶点C在x轴上． （1）求点C的坐标； （2）求斜边所在直线的方程． 【解析】 (1)解法一：依题意，Rt△ABC的直角顶点坐标为B(－1，－2)， 所以，AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1. 又因为，A(－3,0)，所以，kAB＝＝－，所以，kBC＝－＝， 所以，边BC所在的直线的方程为y＋2＝(x＋1)，即x－y－3＝0. 因为，直线BC的方程为x－y－3＝0，点C在x轴上，由y＝0，得x＝3，即C(3,0)． 解法二：设点C(c,0)，由已知可得kAB·kBC＝－1，即·＝－1，解得c＝3，所以点C的坐标为(3,0)． (2)由B为直角顶点，知AC为直角三角形ABC的斜边． 因为，A(－3,0)，C(3,0)，所以，斜边所在直线的方程为y＝0. 18．（12分） 已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0. （1）判断直线l与圆C的位置关系； （2）若直线l与圆C交于不同的两点A，B，且|AB|＝3，求直线l； 【解析】(1)将圆C的方程化为标准方程为x2＋(y－1)2＝5，所以圆C的圆心为C(0,1)，半径r＝，圆心C(0,1)到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离d＝＝＜1＜，因此直线l与圆C相交． (2)设圆心C到直线l的距离为d， 则d＝＝. 又d＝，则＝，解得m＝±1，所以所求直线方程为x－y＝0或x＋y－2＝0. 19．（14分）．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证： （1）y1y2＝－p2，x1x2＝； （2）＋为定值； （3）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 【解析】证明：(1)由已知得抛物线焦点坐标为. 由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px， 得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.(*) 由y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2. 因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2， 所以x1x2＝＝＝. (2)＋＝＋ ＝. 因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p， 代入上式， 得＋＝＝(定值)． (3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N， 则|MN|＝(|AC|＋|BD|) ＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|. 所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 20．（16分） 已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B. （1）求椭圆M的方程； （2）若k＝1，求|AB|的最大值； （3）设P(－2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C，D和点Q共线，求k. 【解析】 (1)由题意得2c＝2，所以c＝， 又e＝＝，所以a＝， 所以b2＝a2－c2＝1， 所以椭圆M的标准方程为＋y2＝1. (2)设直线AB的方程为y＝x＋m， 由消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0， 则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＝48－12m2>0，即m2<4， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝， 则|AB|＝|x1－x2|＝·＝， 易得当m2＝0时，|AB|max＝， 故|AB|的最大值为. (3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， 则x＋3y＝3　①，x＋3y＝3　②， 又P(－2,0)，所以可设k1＝kPA＝， 直线PA的方程为y＝k1(x＋2)， 由消去y可得(1＋3k)x2＋12kx＋12k－3＝0， 则x1＋x3＝－，即x3＝－－x1， 又k1＝，代入①式可得x3＝， 所以y3＝，所以C， 同理可得D. 故＝，＝， 因为Q，C，D三点共线，所以－＝0， 将点C，D的坐标代入化简可得＝1，即k＝1. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中测试卷01 时间：90分钟； 满分100分 测试范围：第1-2章 一、填空题（每小题3分，共36分） 1．在x轴上的截距为2且倾斜角为60°的直线方程为 2．点F(，0)到直线x－y＝0的距离为 3．直线＋＝t被两坐标轴截得的线段长度为1，则t＝________ 4．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为 5．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝________. 6．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为 7．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________． 8．若直线x＋y＋m＝0上存在点P，过点P可作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PA，PB，切点为A，B，且∠APB＝60°，则实数m的取值范围为 9．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为 10．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为 11．下列命题是真命题的是________(将所有真命题的序号都填上)． ①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；④若点P到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆． 12、设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝ 二、选择题（每小题3分，共12分） 13．斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是（ ） A．0°＜α＜45° B．45°＜α＜90° C．90°＜α＜135° D．135°＜α＜180° 14．已知椭圆＋＝1(a>5)的两个焦点为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1 ，则△ABF2的周长为（ ） A．10 B. 20 C. 2 D．4 15．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4；则C的实轴长为（ ） A. B．2 C．4 D．8 16．已知抛物线C的方程为x2＝y，过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（ ） A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.∪ C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－)∪(，＋∞) 三、解答题52分 17．（10分）已知Rt△ABC的顶点坐标A(－3,0)，直角顶点B(－1，－2)，顶点C在x轴上． （1）求点C的坐标； （2）求斜边所在直线的方程． 18．（12分） 已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0. （1）判断直线l与圆C的位置关系； （2）若直线l与圆C交于不同的两点A，B，且|AB|＝3，求直线l； 19．（14分）．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证： （1）y1y2＝－p2，x1x2＝； （2）＋为定值； （3）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 20．（16分） 已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B. （1）求椭圆M的方程； （2）若k＝1，求|AB|的最大值； （3）设P(－2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C，D和点Q共线，求k. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $